KMT/DIZ1 Věty, poučky a jejich důkazy ve školské matematice Problémy spojené s dokazováním (matematická věta, obrácená a obměněná věta, typy důkazů, důkazy vět ve vyučování, úsudek) Logická organizace matematické látky Květoň, Luhan Jaká znáte tvrzení, která se na ZŠ vyučují?

Jiná pojmenování matematických vět Matematická věta Co to je? Jaký má tvar? Jiná pojmenování matematických vět - pravdivý výrok o matematických objektech - výrok většinou převoditelný na implikaci P  T - v P  T je P předpoklad (podmínka), T je tvrzení (závěr) - postačující a nutná podmínka mat. věta objeví se heuristicky (indukce) vyvodí se ze známých tvrzení (dedukce) obměny vět s více předpoklady – negT -> negP1 v negP2, negT A P1 obrácené věty s více předpoklady ! v příkladech uvedené věty nejsou výroky ! lemma – pomocné tvrzení x Zornovo lemma kritérium – objektivní měřítko, podle něhož posuzujeme objekt, výrazný znak objektu, v M posouzení platnosti tvrzení kritérium dělitelnosti 9 (znak dělitelnosti 9), kritérium rovnoběžnosti, B.-C. kritérium konvergence řady, kritéria konvergence řad pravidlo – Cramerovo, Sarrusovo, L‘Hospitalovo, odvozovací pravidla teorém 4 barev unsolved problems, millenium problems, Hilbertovy problémy Goldbachova hypotéza – každé sudé číslo větší než dva lze zapsat jako součet dvou prvočísel zákon – komutativní, asociativní – něco, co platí, mohu použít pro úpravu - lemma, kritérium, pravidlo, tvrzení - hypotéza, teorém - axiom, zákon

Obměněná a obrácená věta Co je obměněná věta? Co je obrácená věta? Jaký je rozdíl mezi obměněnou a obrácenou větou? - původní věta: P  T - obměněná věta: T  P - původní věta: P  T - obrácená věta: T  P

d. jednotlivého tvrzení – individuální m.věty Typy důkazů - dle tvaru výroku d. jednotlivého tvrzení – individuální m.věty d. obecného tvrzení (obsahuje ) d. existenčního tvrzení (obsahuje ) d. výroku obsahující  d. výroků obsahující obecný i existenční kvantifikátor - dle postupu d. přímý d. nepřímý důkazy – prostor pro deduktivní myšlení používají se odvozovací pravidla dedukce – logické odvození formálního charakteru, věty se vyvozují z jiných na základě vztahu mezi jejich formou a strukturou, nezávisle na konkrétním obsahu - důkazy obsahují deduktivní úvahy, při deduktivních úvahách se používají odvozovací pravidla

Důkazy vět ve vyučování Cíl naučit hotové důkazy – součást matematické teorie naučit dokazovat věty samostatně Pravidla výuky důkazů pochopili Ž obsah věty správně? -> zopakovat vše potřebné pro důkaz vědí Ž, že argumenty použité v důkazu jsou pravdivé? -> logické mezery vyplníme pokusem, názorem, intuicí, znalostmi odjinud vyvolání potřeby důkazu (od cca 8. třídy), přímé důkazy - diferenciace výuky (slabé Ž nenutíme do důkazů) Didaktické problémy spojené s dokazováním př. Důkaz věty sss.

Příklady V rovnoramenném trojúhelníku ABV se základnou AB sestrojte jeho těžnici tv = VS. Zdůvodněte (dokažte), že ASV  BSV. Prodos, M7, 47/1 1. AV je shodné s BV protože jsou to ramena trojúhelníku 2. AS je shodné s BS, protože S je středem AB 3. VS je shodné s VS, protože je to společná strana obou trojúhelníků Z toho plyne, že trojúhelníky jsou shodné podle sss.

premisa 1 1. Jestliže Kašpar zpronevěřil Usuzování premisa 1 1. Jestliže Kašpar zpronevěřil premisa 2 mnoho peněz, pak mají …………….. úsudek Kašparovi na auto. premisa n 2. Kašparovi mají na auto. závěr Z. ? 1. Jestliže 6 dělí 54, pak 3 dělí 54. 2. 6 dělí 54 Z. ? usuzování jako způsob tréninku deduktivního myšlení na základě vztahů mezi premisami vytvoříme/odvodíme nové tvrzení pravidla usuzování Je-li x = 2, pak x^2 = 4. x je různé od 2 x^2 je různé od 4