KVANTOVÁ MECHANIKA

Kvantová mechanika popisuje pohyb v mikrosvětě vlnový charakter a pravděpodobnost výskytu částice rozdílné rovnice a zákony od klasické fyziky souvislost mezi klasickou a kvantovou fyzikou princip korespondence Kvantová mechanika je část kvantové fyziky, která se zabývá pohybem částic v mikrosvětě pod vlivem působících sil. Na rozdíl od klasické Newtonovy mechaniky bere v úvahu vlnový a pravděpodobnostní charakter pohybu částic. Proto její rovnice a zákony vypadají úplně jinak než zákony klasické fyziky. Přesto ale mezi klasickou fyzikou a kvantovou fyzikou existuje souvislost. Budeme-li přecházet od částic k makroskopickým tělesům, budou se vlnové délky de Broglieových vln a Planckova konstanta h jevit nekonečně malé a zákony kvantové fyziky by měly přecházet v zákony klasické mechaniky. Tak tomu skutečně je a tento přechod se nazývá princip korespondence. Podobně zákony relativistické fyziky přecházejí v zákony klasické (nerelativistické) fyziky v případě, že jsou velikosti rychlosti částic mnohem menší než je rychlost světla ve vakuu, tj. lze považovat velikost rychlosti světla za nekonečně velkou vůči velikosti rychlosti částic. Ilustrativní obrázek. 1/12

Volná částice v potenciálové jámě volná částice pohybující se podél osy x de Broglieho rovinná vlna dvě nekonečně vysoké stěny vzdálenosti L kolmé k ose x pružný odraz částice nekonečně hluboká potenciálová jáma pohyb vázán na úsečku applet Uvažujme volnou částici, která se bude pohybovat podél osy x podle Newtonova zákona setrvačnosti rovnoměrným přímočarým pohybem. Podle de Broglieovy hypotézy lze na tuto částice pohlížet jako na rovinnou vlnu. Částici nyní uzavřeme mezi dvěma rovnoběžnými, nekonečně vysokými stěnami kolmými k ose x a vzdálenými o délku L, od nichž se může částice pružně odrážet. Stěny musí být „nekonečně vysoké“, jinak by se částice „protunelovala“ ven - nastal by tunelový jev. Říkáme, že částice se nachází uvnitř nekonečně hluboké potenciálové jámy a její pohyb je vázán na úsečku. Na obrázku vlevo rozložení amplitud při stojatém vlnění upevněné napjaté struny, které je analogické tvaru vlnové funkce, vpravo rozložení hustoty pravděpodobnosti výskytu částice uzavřené mezi dvěma nekonečně vysokými stěnami. 2/12

Klasický pohled libovolná energie libovolná rychlost energie se nemění pohyb střídavě oběma směry stejnou rychlostí pravděpodobnost výskytu stejná Z hlediska klasické fyziky může mít taková částice libovolnou rychlost a energii. Při pružných odrazech se její energie nebude měnit a částice se bude pohybovat rychlostí o téže velikosti střídavě oběma směry. „Pravděpodobnost výskytu“ této klasické částice bude stejná ve všech bodech úsečky. Jinými slovy: z hlediska klasické fyziky neexistují na uvažované úsečce žádné privilegované body, v nichž by se měla částice vyskytovat častěji (resp. méně častěji) než v ostatních bodech. Na obrázku ilustrativní pohled na pohyb klasické částice. 3/12

Vlnový pohled odrazy částice na stěnách potenciálové jámy stojaté vlnění interferencí přímého a odraženého vlnění (1) stavy charakterizovány frekvencí a rozložením kmiten a uzlů podobně elektron ve stavech charakterizovaných přirozenými čísly n energie En , vlnová funkce ψn a rozložení pravděpodobnosti výskytu |ψn|2 Z hlediska vlnového charakteru částic bude situace jiná. Po odrazech částice na stěnách potenciálové jámy vznikne stojaté vlnění na základě interference odraženého a přímého vlnění. Situace je analogická vzniku vlny na napnuté struně u kytary. Struna přitom ale nemůže kmitat jakkoliv, ale jen tak, aby se po celé délce struny rozložil celočíselný počet půlvln; v místech upevnění struny jsou přitom uzly vzniklého stojatého vlnění. Musí tedy platit uvedené vztahy (1). Struna se nachází v kmitavých stavech, které jsou charakterizovány určitou frekvencí a rozložením kmiten a uzlů podél struny. Analogicky se bude chovat elektron jakožto objekt mikrosvěta. Elektron vázaný na úsečku se může nacházet jen v určitých stavech charakterizovaných přirozenými čísly n. V každém takovém stavu bude mít určitou energii a jeho pohyb bude popsán vlnovou funkcí s příslušným rozložením pravděpodobnosti výskytu podél úsečky. Toto rozložení hustoty pravděpodobnosti pro jednu z možných superpozic je znázorněno na obrázku. 4/12

Řešení kvantově mechanické rovnice energie En a pravděpodobnost výskytu správné hodnoty i po dosazení vlnové délky volné částice (2) kinetická energie jedné částice má tvar (3) a možné hodnoty energie (4) Určit energii a pravděpodobnosti výskytu částice je možné pouze řešením příslušné kvantově mechanické rovnice. Ukazuje se ale, že správné hodnoty energie je možné dostat i tehdy, použijeme-li výraz pro de Broglieho vlnovou délku platnou pro volně se pohybující částici (2). Kinetická energie částice pak má tvar (3), ze vztahu (2) pro vlnovou délku vyjádříme velikost rychlosti v a dosadíme-li do vztahu pro energii, obdržíme dále (3). Dosadíme-li za vlnovou délku podmínku (1) udávající rozložení kmiten a uzlů stojatého vlnění, dostaneme pro možné hodnoty energie vztah (4). Vzhledem k tomu, že uvažujeme volnou částici (tj. částici, na kterou nepůsobí žádné vnější síly), je potenciální energie částice nulová. Proto má veškerá energie částice formu kinetické energie. 5/12

Vlnové chování částice pohyb částice v omezeném prostoru kvantování energie částice pouze na určitých energetických hladinách určených kvantovým číslem n základní stav pro n=1 pohyb vázán na L (5) s rostoucím n se energetické hladiny od sebe vzdalují a nazývají se vzbuzené, excitované Vlnové chování částice, která se pohybuje v určité omezené oblasti prostoru, vede tedy ke kvantování energie. Částice se může nacházet pouze na určitých energetických hladinách určených kvantovým číslem n. V základním stavu je energie částice, jejíž pohyb je vázán na úsečku délky L, rovna (5). S rostoucím n se pak energetické hladiny od sebe vzdalují. Vyšší stavy než základní stav se nazývají vzbuzené stavy (excitované stavy). Na rozdíl od pohybu klasického tělesa (kulička, pingpongový míček) budou na úsečce místa, kde bude výskyt částice nejpravděpodobnější, kde se bude těleso „zdržovat nejvíce“. Tato místa odpovídají polohám kmiten chvějící se struny. Naproti tomu v místech, která odpovídají uzlům, bude pravděpodobnost výskytu částice nulová. Je ale zbytečné, chtít si zde představit, „jak to částice dělá“. 6/12

Vlastnosti částice rozložení pravděpodobnosti výskytu se nemění – stacionární zisk nebo ztráta energie pouze přechodem z jednoho kvantového stavu do druhého vyšší → nižší stav = vyzáření energie nižší → vyšší stav = pohlcení energie předání energie i srážkou vždy kvantováno přechod ze stavu o energii En do stavu nižší energie Em vyzáření nebo předání kvanta energie o frekvenci fnm Rozložení pravděpodobnosti výskytu částice na dně nekonečně hluboké potenciálové jámy (obr. 20) se během času nemění – je stacionární a částice neztrácí žádnou energii. Analogicky je v čase stálé rozložení kmiten a uzlů na kmitající struně. V makrosvětě je ovšem každý pohyb vždy postupně utlumen třením a odporem prostředí, a proto rozkmitaná struna brzy dozní. Částice mikrosvěta může ztrácet nebo získávat energii pouze tak, že přejde skokem z jednoho kvantového stavu do druhého. Při přechodu z vyššího stavu do nižšího se energii vyzáří (např. v podobě fotonu), při opačném přechodu částice energii pohltí. Energie se může předávat i jiným způsobem než zářením - např. srážkou částic, ale vždy pouze v kvantech odpovídajících rozdílu energetických hladin. Přechází-li částice z jednoho kvantového stavu do kvantového stavu s jinou energií vyzáří, pohltí nebo jinak předá kvantum energie o uvedené frekvenci. Ionizační energie atomu nebo molekuly je energie potřebná k odtržení jednoho elektronu z izolovaného, plynného atomu nebo iontu (nazýváme též ionizační potenciál – viz [3]). Tato veličina vyjadřuje snahu atomu nebo iontu udržet si elektron, tzn. „sílu“ jakou je elektron vázán v elektronovém obalu. Větší ionizační energie znamená obtížnější odtržení elektronu z atomu. Na obrázku zobrazeny možné kvantové stavy atomu vodíku. 7/12

Obecný pohyb částic v prostoru vliv různých sil Schrödingerova rovnice vlnová funkce a pravděpodobnost výskytu řešení jen pro určité hodnoty energie = kvantové stacionární stavy Kvantová mechanika zkoumá obecný pohyb částic v prostoru pod vlivem různých sil (Coulombovských elektrostatických sil, jaderných sil, …). Jednou možnou formulací kvantové mechaniky je hledání vlnové funkce jako řešení tzv. Schrödingerovy rovnice, která je pojmenovaná podle rakouského fyzika Erwina Rudolfa Josefa Alexandera Schrödingera (1887 – 1961, Nobelova cena za fyziku z roku 1933). Pomocí této rovnice je možné určit vlnové funkce a pravděpodobnosti výskytu částice v prostoru. Tato rovnice pro stacionární, tj. časově neproměnný, systém dává řešení právě jen pro určité hodnoty energie (tzv. energetické hladiny), které odpovídají kvantovým stacionárním stavům. Pokud je částice v tomto stavu, nijak se navenek neprojevuje. Teprve při přechodech mezi stacionárními stavy vydává nebo přijímá energii. Na fotografii E. R. J. A. Schrödinger. 8/12

ze vztahu pro energii plyne zvětšení délky L, energie daného stavu klesá, rozdíl sousedních energetických hladin se zmenšují pro nekonečné L částice volná, energie již není kvantována zmenšení délky L, energie daného stavu roste, rozdíl sousedních energetických hladin se zvětšují energie atomů řádově eV, energie menších částic řádově MeV a více Heisenbergovy relace neurčitosti Budeme-li zvětšovat délku úsečky L, po níž se částice pohybuje mezi dvěma rovnoběžnými nekonečně vysokými stěnami kolmými k ose x, energie daného stavu bude klesat v souladu se vztahem a rozdíly mezi sousedními energetickými hladinami se budou zmenšovat. Pro nekonečné L bude již částice volná a její energie přestane být kvantována. Může nastat i situace, kdy částice bude konat neomezený pohyb, ale musí přitom překonávat bariéry periodicky rozložené podél přímky. Takovýto „překážkový běh“ vykonává např. elektron při pohybu v krystalu kovu nebo polovodiče. Jeho energie je přitom kvantována tak, že může nabývat hodnot uvnitř určitých energetických pásů. Naopak bude-li se délka L zmenšovat, tj. budeme-li se snažit částici sevřít stěnami na stále kratší vzdálenosti, energie částice poroste. To je v souladu s tím, co víme o energii atomů, atomových jader a částic. Atomům s rozměry řádově 10-10 m odpovídají energie v řádech elektronvoltů, jádrům s rozměry 10-15 m energie v řádech megaelektronvoltů, částicím s ještě menšími rozměry pak energie v řádech gigaelektronvoltů. To je projevem dalšího zákona kvantové mechaniky, který nemá obdobu v makrosvětě - tzv. Heisenbergových relací neurčitosti. 9/12

Heisenbergovy relace neurčitosti německý fyzik Werner Heisenberg dvojice veličin, u nichž není možné současně naměřit naprosto přesnou hodnotu vybereme-li foton, je možné změřit přesně jeho frekvenci f a tedy jeho energii E a hybnost p, ale ne jeho polohu při dopadu elektronu na fluorescenční stínítko lze určit přesně jeho polohu, ale ne energii a hybnost Werner Heisenberg (1901 – 1976) byl německý fyzik (na fotografii), nositel Nobelovy ceny z roku 1932 za svou roli ve vytváření kvantové mechaniky. Heisenbergův princip neurčitosti (též relace neurčitosti) je matematická vlastnost dvou kanonicky konjugovaných veličin. Nejznámějšími veličinami tohoto typu jsou poloha a hybnost elementární částice v kvantové fyzice [3]. Heisenbergův princip říká, že čím přesněji určíme jednu z konjugovaných vlastností, tím méně přesněji můžeme určit tu druhou - bez ohledu na to, jak dobré přístroje máme. To také znamená, že představa z klasické fyziky, že můžeme předpovědět chování systému pokud známe jeho počáteční stav, je v praxi k ničemu: počáteční stav systému nikdy nemůžeme zjistit dostatečně přesně (protože nelze dostatečně přesně zjistit oba tyto konjugované parametry). dle[3] V mikrosvětě existují dvojice veličin, u nichž není možné současně naměřit naprosto přesnou hodnotu (ostrou hodnotu). vybereme-li ze světelného svazku jeden foton, je možné změřit snadno přesně jeho frekvenci f a tedy jeho energii E a hybnost p, ale ne jeho polohu analogicky je tomu s elektronem v katodových trubicích - můžeme přesně určit jeho hybnost, ale nikoliv polohu při dopadu elektronu na fluorescenční stínítko lze určit přesně jeho polohu, ale ne energii a hybnost 10/12

Opakování kvantová mechanika popisuje pohyb částic mikrosvěta vlnová funkce ψn hustota pravděpodobnosti výskytu částice |ψn|2 částice se nepohybuje po určité trajektorii určitou rychlostí potenciálová jáma délky L energie kvantována dle kvantového stavu částice n = 1, 2, … při přechodu z jednoho stavu energie En do jiného stavu energie Em částice vyzáří či pohltí kvantum energie 11/12

POUŽITÉ ZDROJE Štoll I.: Fyzika pro gymnázia/ Fyzika mikrosvěta, Prometheus, Praha 2008. http://fyzika.jreichl.com http://cs.wikipedia.org http://www.freedigitalphotos.net http://phet.colorado.edu Grafická stránka a ilustrace: Marie Cíchová 12/12