Rozklad mnohočlenů na součin Opakování znalostí o výrazech Odvození rozkladných vzorců (vzorců pro rozklad výrazů na součin) Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Radomír Macháň.

Opakování – algebraický výraz = předpis jedné nebo více matematických operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení, umocňování…) Připomínají Vám něco následující výrazy? Které matematické operace obsahují? Výraz známe jako část vzorce pro výpočet obvodu trojúhelníku. Výraz známe jako část vzorce pro výpočet objemu kvádru. Výraz známe jako část vzorce pro výpočet obvodu čtverce. Výraz je částí vzorce pro výpočet obsahu lichoběžníku. Výraz je částí vzorce pro výpočet měrné tepelné kapacity. = předpis, který obsahuje blíže neurčené znaky (a; b; c; v; z1; z2; Q; m; t… – mohou to být konstanty či proměnné a nemusíme znát ani jejich hodnotu), čísla a matematické operátory (sčítání, odčítání, násobení, dělení, umocňování…)

Opakování – číselný a algebraický výraz Existují dva druhy výrazů podle toho, z čeho jsou sestaveny: 1) Výrazy, v nichž se vyskytují jenom čísla: Číselné výrazy 7 : (6 – 3 . 2) – 2 . 3 5 . (4 – 3) – 6 : 3 4 . 2,5 – 6 + 22 2) Výrazy, v nichž se vyskytují proměnné, které zastupují čísla z určité množiny: Algebraické výrazy (x + 2) / 4 x – 6 + 3x y2 – 6y + 9

Opakování – mnohočleny Mnohočlen = zvláštní typ výrazů Mnohočleny obsahují pouze přirozené mocniny neznámých (jedné nebo více). … Mnohočlen s jednou proměnnou … Mnohočlen dvou proměnných … Není mnohočlen (x je ve jmenovateli, tzn. záporná mocnina x) … Není mnohočlen (obsahuje odmocninu z x, tzn. mocnina ve tvaru zlomku) … Je mnohočlen (sice obsahuje zlomek, ale bez neznámé ve jmenovateli)

Opakování – sčítání mnohočlenů Sčítat můžeme jen stejné členy se stejnou proměnnou a se stejným mocnitelem. proměnné jen s proměnnými, To znamená čísla jen s čísly, proměnné na druhou jen s proměnnými na druhou atd. 3 + 4 = 7 3x2 + 4x2 = 7x2 3x + 4x = 7x Příklad: (3x2 + 7x – 5) + (-2x2 – 4x + 1) = 3x2 + 7x – 5 – 2x2 – 4x + 1 = = 3x2 – 2x2 + 7x – 4x – 5 + 1 = x2 + 3x – 4

Opakování – odčítání mnohočlenů Odečíst mnohočlen znamená přičíst mnohočlen k němu opačný. K danému mnohočlenu utvoříme mnohočlen opačný, změníme-li znaménka všech jeho členů na opačná. –2x2 – 4x + 1 2x2 + 4x – 1 Příklad: (3x2 + 7x – 5) - (-2x2 – 4x + 1) = 3x2 + 7x – 5 + 2x2 + 4x - 1 = = 3x2 + 2x2 + 7x + 4x – 5 - 1 = 5x2 + 11x – 6

Opakování – násobení mnohočlenů Každý člen prvního mnohočlenu násobíme s každým členem druhého mnohočlenu a výsledné členy pak sečteme. (2x – 1)(2x2 – 4x + 1) = = 4x3 - 8x2 + 2x - 2x2 + 4x - 1 Příklad: (3x2 + 7x – 5).(-2x2 – 4x + 1) = = -6x4 - 12x3 + 3x2 - 14x3 - 28x2 + 7x + 10x2 + 20x - 5 = = -6x4 - 12x3 - 14x3 + 3x2 - 28x2 + 10x2 + 7x + 20x - 5 = = -6x4 - 26x3 - 15x2 + 27x - 5

Rozklad mnohočlenu na součin Obdobně jako v případě počítání s číselnými výrazy (zlomky), můžeme i v případě lomených výrazů s proměnnou, za dodržení podmínek krácení (tj. dělíme čitatele i jmenovatele stejným číslem, výrazem, mnohočlenem různým od nuly), krátit výrazy (mnohočleny) nad sebou a v případě součinu i do kříže. Proto se naučíme rozkládat mnohočleny na součin.

A na závěr ještě sečteme „co se dá“. Rozklad mnohočlenu na součin – pomocí rozkladných vzorců Jako vždy nebudeme nikomu věřit a na základě znalostí, které již máme, si vzorce postupně odvodíme sami! Uprav daný výraz umocněním závorky: Pokračovat můžeme znalostmi o násobení mnohočlenů. Tzn. tím, že každým členem jednoho mnohočlenu vynásobíme každý člen mnohočlenu druhého. Využijeme toho, co o umocňování víme. Tzn. že druhou mocninu daného základu můžeme zapsat i jako součin těchto základů. Tak ještě jednou obecněji: A na závěr ještě sečteme „co se dá“.

A máme první vzorec na světě: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 Rozklad mnohočlenu na součin – pomocí rozkladných vzorců A máme první vzorec na světě: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 Tak jako vždy nebudeme nikomu věřit a vzorce si sami na základě znalostí, které již máme postupně odvodíme sami! Uprav daný výraz umocněním závorky: Tak ještě jednou obecněji:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 Příklady na ujasnění: Rozklad mnohočlenu na součin – pomocí rozkladných vzorců Příklady na ujasnění: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 Uprav daný výraz již jen pomocí vzorce: a b a2 + 2ab + b2

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 Příklady na ujasnění: Rozklad mnohočlenu na součin – pomocí rozkladných vzorců Příklady na ujasnění: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 Uprav daný výraz již jen pomocí vzorce: a b a2 + 2ab + b2

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 Příklady na ujasnění: Rozklad mnohočlenu na součin – pomocí rozkladných vzorců Příklady na ujasnění: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 Uprav daný výraz již jen pomocí vzorce: a b a2 + 2ab + b2

A na závěr ještě sečteme „co se dá“. Rozklad mnohočlenu na součin – pomocí rozkladných vzorců A dokud nám to jde, tak pokračujeme. Uprav daný výraz umocněním závorky: Pokračovat budeme znalostmi o násobení mnohočlenů. Tzn. tím, že každým členem jednoho mnohočlenu vynásobíme každý člen mnohočlenu druhého. Opět využijeme toho, co o umocňování víme. Tzn. že druhou mocninu daného základu můžeme zapsat i jako součin těchto základů. Tak ještě jednou obecněji: A na závěr ještě sečteme „co se dá“.

A druhý vzorec je na světě: (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 Rozklad mnohočlenu na součin – pomocí rozkladných vzorců A druhý vzorec je na světě: (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 A dokud nám to jde, tak pokračujeme. Uprav daný výraz umocněním závorky: Tak ještě jednou obecněji:

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2 Příklady na ujasnění: Rozklad mnohočlenu na součin – pomocí rozkladných vzorců Příklady na ujasnění: (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 Uprav daný výraz již jen pomocí vzorce: a b a2 – 2ab + b2

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2 Příklady na ujasnění: Rozklad mnohočlenu na součin – pomocí rozkladných vzorců Příklady na ujasnění: (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 Uprav daný výraz již jen pomocí vzorce: a b a2 – 2ab + b2

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2 Příklady na ujasnění: Rozklad mnohočlenu na součin – pomocí rozkladných vzorců Příklady na ujasnění: (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 Uprav daný výraz již jen pomocí vzorce: a b a2 – 2ab + b2

A na závěr ještě sečteme „co se dá“. Rozklad mnohočlenu na součin – pomocí rozkladných vzorců A když nám to tak krásně jde, pokusíme se do třetice všeho dobrého ještě o jeden vzorec. Uprav: I nyní využijeme znalostí o násobení mnohočlenů. Tzn. toho, že každým členem jednoho mnohočlenu vynásobíme každý člen mnohočlenu druhého. Tak ještě jednou obecněji: A na závěr ještě sečteme „co se dá“.

A třetí vzorec je už také na světě: (a + b).(a – b) = a2 – b2 Rozklad mnohočlenu na součin – pomocí rozkladných vzorců A třetí vzorec je už také na světě: (a + b).(a – b) = a2 – b2 A když nám to tak krásně jde, pokusíme se do třetice všeho dobrého, ještě o jeden vzorec. Uprav: Tak ještě jednou obecněji:

(a + b).(a – b) = a2 – b2 Příklady na ujasnění: Rozklad mnohočlenu na součin – pomocí rozkladných vzorců Příklady na ujasnění: (a + b).(a – b) = a2 – b2 Uprav daný výraz již jen pomocí vzorce: a + b a – b a2 – b2

(a + b).(a – b) = a2 – b2 Příklady na ujasnění: Rozklad mnohočlenu na součin – pomocí rozkladných vzorců Příklady na ujasnění: (a + b).(a – b) = a2 – b2 Uprav daný výraz již jen pomocí vzorce: a + b a – b a2 – b2

(a + b).(a – b) = a2 – b2 Příklady na ujasnění: Rozklad mnohočlenu na součin – pomocí rozkladných vzorců Příklady na ujasnění: (a + b).(a – b) = a2 – b2 Uprav daný výraz již jen pomocí vzorce: – a + b a b a2 – b2

To ale až zase příští hodinu! Rozkladné vzorce Všechny tři vzorce však budeme mnohem častěji používat obráceně, tzn. tak, abychom pomocí nich rozkládali dané mnohočleny na součin. To ale až zase příští hodinu! (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 a2 – 2ab + b2 = (a – b)2 (a + b).(a – b) = a2 – b2 a2 – b2 = (a + b).(a – b)

Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze. Použité obrázky: Všechny uveřejněné odkazy [cit. 2010–25–06]. Dostupné pod licencí Creative Commons na http://www.clker.com. Obrázek na pozadí:[cit. 2010-10-19]. Dostupný pod licencí Public domain na www: <http://www.clker.com/clipart-blackboard.html> Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Radomír Macháň. Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.