Rovinné nosníkové soustavy II Stavební statika, 1.ročník bakalářského studia Rovinné nosníkové soustavy II Rovinný kloubový příhradový nosník Mimostyčníkové zatížení Grafické řešení příhradových nosníků Průsečná metoda Katedra stavební mechaniky Fakulta stavební, VŠB - Technická univerzita Ostrava

Mimostyčníkové zatížení prutu 4 V prutu č. 4 vznikne v důsledku mimostyčníkového zatížení rovněž V a M. q = konst. d e 4 5 1 h=3 3 7 Rax a b 2 c 6 Raz F1 Rbz b=4 b=4

Mimostyčníkové zatížení – uvolnění prutu 4 q = konst. Postup řešení: N4 N4 d e Zatížení styčníkové Rd Zatížení mimostyčníkové Re Rd Re N4 N4 1) Reakce celé příhradové konstrukce (obr. na předešlém snímku) 2) Uvolnění prutu 4 3) Reakce prutu 4 (jsou to vnitřní vazby (interakce) mezi prutem 4 a zbývající části konstrukce v bodech d a e) 4) Zatížit zbývající část konstrukce interakcemi Rd a Re (zákon akce a reakce) → zatížení mimostyčníkové převedeno na styčníkové 5) Vyřešit vnitřní síly v prutech N1 – N7 (metoda výpočtu libovolná) 6) Vyřešit vnitřní síly prutu 4 (viz následující snímek) d e 4 1 5 3 7 Rax a b 2 c 6 Raz F1 Rbz

Mimostyčníkové zatížení - řešení prutu 4 Q = q.l4 Reakce q = konst. N4 N4 d e Posouvající síla l4 Rd Re N - N4 + p V Ohybový moment - + M 2º

Grafické řešení – Cremonovy obrazce F1=5kN F2=12kN Raz Rax N1 N2 a c e N4 N7 Styčník e N5 Luigi Cremona (1830-1903) N3 F2 N6 d N2 N7 e Tlak F2 N7 Rbx b Počáteční bod N2 Tah Měřítko např. 3kN = 1cm rovnoběžka s prutem 7 Důležité pravidlo pro vykreslování uzavřeného obrazce sil: Jako první vynášíme známé síly a potom síly neznámé. Nutno dodržet pořadí všech vynášených sil (proti směru hod. ručiček-více na přednášce) F2=12kN=4cm rovnoběžka s prutem 2 Koncový bod

Ukázky dobových výpočtů grafickým řešením

Nezatížené pruty – tzv. nulové pruty Působí-li ve styčníku 3 síly, z nichž 2 mají společnou nositelku, třetí síla je vždy nulová. Působí-li ve styčníku 4 síly, z nichž 2 mají společnou nositelku a jedna je nulová, potom čtvrtá síla je vždy nulová. Důkaz: ze silové podmínky rovnováhy: Součet všech sil působících ve styčníku ve směru kolmém ke společné nositelce dvou sil je roven nule. N8 N9 N21=0 N20=0 x´ z´ N10 N11 N21=0 7

Nezatížené pruty – význam tzv. nulových prutů 10 9 l10 l9 Význam nulových prutů: „zkracují“ délky prutů a tím zabraňují velkým deformacím a ztrátě stability prutů. Více v předmětu Pružnost a plasticita 8

Průsečná metoda přeruší se 3 pruty neprotínající se v témže bodě. Princip: Myšleným řezem lze nosník rozdělit na dvě samostatné části tak, že: přeruší se 3 pruty neprotínající se v témže bodě. Pro každou část lze sestavit 3 podmínky rovnováhy, ve kterých figurují vnější síly (zatížení + složky reakcí vnějších vazeb) i vnitřní síly (interakce v přerušených prutech). (a) (b) Průsečná metoda

Průsečná metoda – příklad: geometrie a důkaz stat. určitosti Zadání: Určit síly v prutech 4 a 5 F1=5kN Geometrie konstrukce F2=3kN 4 5 1 h=3 3 7 Rax a b 2 c 6 F3=10 kN Raz Rbz Analýza: b=4 b=4 Staticky určitá konstrukce

Průsečná metoda – příklad: reakce Výpočet reakcí: F1=5kN F2=3kN 4 5 h=3 1 3 7 Rax a b 2 c 6 F3=10 kN Raz Rbz 1. b=4 b=4 2. 4. 3. Kontrola

Průsečná metoda – příklad: princip Výpočet sil N4 , N5 a N6 : F1 F2 4 5 1 3 7 Rax a b 2 c 6 F3 Raz I II Rbz Prutovou soustavou je veden řez přes pruty 4-5-6, který rozdělí soustavu na dvě části: I a II

Průsečná metoda – příklad: princip F1 F2 N4 N4 4 d e 4 N5 5 1 5 3 7 N5 Rax a 2 6 6 b c N6 N6 F3 Raz Rbz I II Účinek odstraněných částí nahradí interakce N4, N5 a N6. Je-li celá konstrukce v rovnováze, budou v rovnováze i její oddělené části I a II, pro které lze napsat tři statické podmínky rovnováhy. (Obě oddělené části tvoří obecné rovinné rovnovážné soustavy sil)

Průsečná metoda – příklad: levá část Část I Podmínky rovnováhy oddělené levé části: Neznámé N4, N5 a N6 Raz Rax a F1 1 5 3 2 6 4 c d F3 N5 N6 N4 b=4 h=3 1. 2. 3. Kontrola: (např:)

Průsečná metoda – příklad: pravá část Část II Podmínky rovnováhy oddělené pravé části: Neznámé N4, N5 a N6 1. N4 F2 4 e 2. N5 3. 5 h=3 7 N6 Kontrola: (např:) b c 6 Rbz b=4

Výhody a nevýhody průsečné metody K výpočtu osové síly prutu soustavy není nutno znát osové síly jiných prutů August Ritter (1826-1908) Nevýhody průsečné metody: Při obecném geometrickém tvaru a zatížení konstrukce představují 3 podmínky rovnováhy soustavu 3 rovnic o 3 neznámých Nevýhodu lze odstranit použitím Ritterovy úpravy průsečné metody, kde každou neznámou osovou sílu vnitřního prutu kloubové prutové konstrukce lze určit přímo z jedné rovnice.

Ritterova úprava průsečné metody (momentový střed) F1 b=4 Každou neznámou osovou sílu vnitřního prutu příhradové konstrukce lze určit přímo z jedné rovnice. N4 d e=o6 4 Momentovou podmínku rovnováhy je možné řešit k libovolnému bodu (statickému středu) 1 h=3 3 N5 5 Rax a 2 6 Správnou volbou momentového středu získáme v rovnici pouze jednu neznámou - hledanou vnitřní sílu. c=o4 N6 Raz F3 b=4 Momentový střed síly oN je v průsečíku zbývajících dvou sil z příslušného řezu. Momentovou podmínku rovnováhy ke statickému středu hledané síly lze využít pouze v případě, že momentový střed neleží v nekonečnu (zbývající 2 síly jsou různoběžné). Tady body c (o4) a e (o6).

Ritterova úprava průsečné metody (momentový střed v ) F1 b=4 Pokud momentový střed leží v nekonečnu (zbývající 2 síly jsou rovnoběžné), nelze neznámou vnitřní sílu počítat z momentové podm. rovnováhy. Tady síla N5. N4 d e=o6 4 1 h=3 3 N5 5 Rax a 2 6 Neznámou vnitřní sílu nutno řešit ze správně zvolené silové podmínky rovnováhy: c=o4 N6 Raz F3 b=4 Součet všech sil působících na uvolněnou část konstrukce ve směru kolmém ke dvěma zbývajícím (neznámým) rovnoběžným silám je roven nule. o5 leží v

Ritterova úprava průsečné metody – levá část F1 b=4 Část I N4 Neznámé N4, N5 a N6 d e=o6 4 1. 1 h=3 3 N5 5 Rax a 2 6 c=o4 N6 Raz F3 b=4 2. 3. o5 leží v

Ritterova úprava průsečné metody – pravá část II e=o6 F2 N4 Část II Neznámé N4, N5 a N6 N5 5 7 N6 6 b c=o4 Rbz 1. 2. 3. o5 leží v

Určete momentové středy prutů 2, 3, 5, 6, 14, 15, 17 Pozn: U řešení prutů 2, 3, 4 5, 6 možné 2 varianty řezů. 21

Domácí úkol: vypracovaný donést do cvičení v 10. týdnu -Dokažte, že je konstrukce staticky určitá -Proveďte geometrický rozbor (jednoduché – pouze jeden úhel) -Určete nulové pruty -Průsečnou metodou v Ritterově úpravě spočítejte vnitřní síly v prutech 3, 6,14,15 -V samostatných náčrtech zřetelně označte jednotlivé řezy pro výpočet N sil -Výpočet proveďte vždy pro obě části konstrukce -V případě, že jsou 2 možnosti řezu kce, proveďte řešení pro obě varianty -Výsledky zapište do tabulky Nápověda (hodnoty reakcí a N sil v kN): Rax = 0,5 (←) Raz =5,5 (↓) Rbz = 7,5 (↑) 4.5, -6.0, 0.5, -0.707 22

Okruhy problémů k ústní části zkoušky Podmínka statické určitosti rovinného kloubového příhradového nosníku Výpočet osových sil v prutech rovinného kloubového příhradového nosníku zjednodušenou styčníkovou metodou Výpočet osových sil v prutech rovinného kloubového příhradového nosníku průsečnou metodou Výpočet osových sil v prutech rovinného kloubového příhradového nosníku průsečnou metodou v Ritterově úpravě Výpočet vnitřních sil v prutech rovinného kloubového příhradového nosníku namáhaného mimostyčníkovým zatížením