Soustava částic a tuhé těleso Věta o hybnosti, střed hmotnosti => Zákon zachování hybnosti Práce vnitřních a vnějších sil a energie soustavy Srážky Rotace, kinetická energie soustavy/tělesa, moment setrvačnosti Věta o momentu hybnosti => Zákon zachování momentu hybnosti Rovnováha tělesa HRW kap. 9 – 13 HRW2 kap. 9 – 12

Věta o hybnosti, střed hmotnosti

Věta o hybnosti soustava n částic výsledná síla působící na i-tou částici sečteme:

Věta o hybnosti soustava n částic zatím jsme zjistili: Levá strana = “vytkneme” celkovou hmotnost soustavy definice středu hmotnosti

podle 3. Newtonova zákona je roven nule Věta o hybnosti soustava n částic zatím jsme zjistili: Pravá strana = součet všech sil působících na soustavu = součet všech vnitřních sil působících na soustavu podle 3. Newtonova zákona je roven nule součet všech vnějších sil působících na soustavu

Věta o hybnosti soustava n částic zatím jsme zjistili: Výsledek výpočtu: Věta o hybnosti (první impulzová věta)

Věta o hybnosti soustava n částic střed hmotnosti soustavy zrychlení středu hmotnosti soustavy celková hmotnost soustavy součet všech vnějších sil působících na soustavu

Definice středu hmotnosti (pro soustavu částic) střed hmotnosti soustavy

Střed hmotnosti vs. těžiště střed hmotnosti soustavy

Definice středu hmotnosti pro... soustavu n částic spojité prostředí (např. tuhé těleso) celková hmotnost střed hmotnosti

Definice středu hmotnosti - poznámky střed hmotnosti soustavy n částic střed hmotnosti tuhého tělesa Platí: střed hmotnosti symetrického tělesa (soustavy) leží v rovině, ose nebo středu symetrie.

poloha SH původní desky: poloha SH zbytku desky: (ze symetrie) poloha SH vyříznutého čtverce:

Co říká věta o hybnosti o středu hmotnosti? Důsledek:

Co říká věta o hybnosti o středu hmotnosti? Důsledek:

Co říká věta o hybnosti o středu hmotnosti? Důsledek:

(a) poloha středu hmotnosti se nemění [podobně HRW2, kap. 9 úloha 120] (a) poloha středu hmotnosti se nemění (zákon zachování hybnosti) obě rychlosti vzhledem k zemi vzhledem k žebříku: (b) balon se také přestane pohybovat

Hybnost hmotného bodu (částice) definice hybnosti částice: (výsledná síla působící na částici) platí: jiné vyjádření 2. Newtonova zákona Důkaz:

Hybnost soustavy částic soustava n částic Definice: Hybnost soustavy částic = součet hybností jednotlivých částic snadno vyjádříme pomocí rychlosti SH:

Věta o hybnosti soustava n částic jiné vyjádření věty o hybnosti (z předchozí stránky) (podle věty o hybnosti) jiné vyjádření věty o hybnosti [HRW]

Zákon zachování hybnosti (věta o hybnosti) (zákon zachování hybnosti)

Vodorovná složka hybnosti se zachovává Výslednice (svisle)

(jako dokonale nepružná srážka) [podobně HRW2, kap. 9 úloha 113] soustava (jako dokonale nepružná srážka) sáně :) voda

Práce vnitřních a vnějších sil a energie soustavy [HRW2, kap. 8-7, 8-8]

Napřed formální pohled Formální pohled – vede ke správnému výsledku, ale nevystihuje podstatu: soustavu (krasobruslařka) nahradíme hmotným bodem. Změna mechanické energie = práce nekonzervativních sil (obecně) (konkrétně pro krasobruslařku)

Lepší pohled: práce vnitřních a vnějších sil Lepší pohled (nenahrazujeme hmotným bodem): Změna mechanické energie soustavy = práce nekonzervativních interakčních (vnitřních) sil soustavy (int) + práce vnějších sil (ext) [HRW2 (8.27)]

Změna celkové energie a práce vnějších sil Změna celkové energie soustavy = práce vnějších sil [HRW2 (8.35)] Celková energie soustavy = součet všech myslitelných forem energie (mechanická = kinetická + všechny potenciální, vnitřní, ostatní) spjatých se soustavou.

Princip zachování energie Změna celkové energie soustavy = práce vnějších sil [HRW2 (8.35)] pro izolovanou soustavu je nula Princip zachování energie: Celková energie izolované soustavy se nemění. [HRW2 (8.36)]

Práce vnitřních a vnějších sil a energie soustavy (formální pohled) Změna celkové energie soustavy = práce vnějších sil [HRW2 (8.35)] pro izolovanou soustavu je nula Princip zachování energie: Celková energie izolované soustavy se nemění. [HRW2 (8.36)]

[podobně HRW2, kap. 8 úloha 105] (c) (d)

Srážky Nemusí dojít k přímému kontaktu, např. průlet kosmické sondy kolem planety. Poznatky o subatomárních částicích získány ze srážkových experimentů.

Srážky Nemusí dojít k přímému kontaktu, např. průlet kosmické sondy kolem planety. Poznatky o subatomárních částicích získány ze srážkových experimentů.

Změna hybnosti a impulz síly např. pro těleso P

(a) (b)

Srážky

Srážky Zvláštní případ - pružná srážka: Nepružná srážka: celková kinetická energie se nezachovává

Pružná přímá srážka dvou těles kinetická energie se zachovává

[podobně HRW2, kap. 9 úloha 60]

Pružná přímá srážka dvou těles kinetická energie se zachovává

Nepružná přímá srážka dvou těles kinetická energie se zachovává

Dokonale nepružná srážka

Postup: (1) určení rychlosti po srážce V (2) určení stlačení x [podobně HRW2, kap. 9 úloha 58] Dva děje: - srážka (hybnost se zachovává) - stlačování (energie se zachovává) Postup: (1) určení rychlosti po srážce V (2) určení stlačení x (1) (2)

Šikmé srážky ? x y

Rotace, ..., věta o momentu hybnosti, zákon zachování momentu hybnosti

Rotace tuhého tělesa kolem pevné osy Jak popsat rotaci

Rotace tuhého tělesa kolem pevné osy Jak popsat rotaci? úhlová poloha otočení úhlová rychlost úhlové zrychlení

[HRW2, kap. 10 úloha 103] (a) (b)

Rotace Jsou úhlové veličiny vektorové?

Rotace Jsou úhlové veličiny vektorové?

Vztah mezi obvodovými a úhlovými veličinami

Kinematické veličiny (shrnutí)

(a) (b) (výpočet opět jako u auta v neklopené zatáčce)

Kinetická energie… - částice - tělesa (soustavy) = součet kinetických energií jednotlivých částic Těleso se pohybuje translačně Těleso rotuje kolem pevné osy (důkaz na další straně)

Kinetická energie rotujícího tělesa (kolem pevné osy) i mi i

Moment setrvačnosti

Moment setrvačnosti

Moment setrvačnosti Jak počítat? výpočet sumy nebo integrálu HRW2 Tab. 10.2 str. 264 (HRW Tab. 11.2 str. 274) Steinerova věta

Moment setrvačnosti

Moment setrvačnosti

Moment setrvačnosti

Moment setrvačnosti Jednoduchý příklad výpočtu integrálu:

Moment setrvačnosti Jednoduchý příklad výpočtu integrálu:

vzdálenost obou rovnoběžných os Steinerova věta Moment setrvačnosti vzhledem k ose vedené bodem P Moment setrvačnosti vzhledem k rovnoběžné ose vedené SH vzdálenost obou rovnoběžných os

Steinerova věta - důkaz dm má polohu x,y poloha SH je 0,0

Cvičení: ověřte Steinerovu větu h SH SH

(a) (b)

Jak závisí rychlost na dráze (nebo úhlová rychlost na otočení)?

Můžeme určit zrychlení?

Můžeme určit všechny síly?

Valení

Valení 73

jako kombinace posuvného a otáčivého pohybu Valení jako kombinace posuvného a otáčivého pohybu čistě otáčivý pohyb čistě posuvný pohyb valivý pohyb

Valení jako otáčivý pohyb čistě otáčivý pohyb čistě posuvný pohyb valivý pohyb

Valení: kinetická energie čistě otáčivý pohyb čistě posuvný pohyb valivý pohyb Vztahy jsou ekvivalentní. Důkaz: 76

Kinetická energie (shrnutí známých vztahů) tělesa, které se pohybuje translačně rotujícího tělesa rotační těleso se valí

[HRW2, kap. 11 úloha 11]

Moment síly (definice) (vzhledem k pevnému bodu)

Moment hybnosti částice (definice) (vzhledem k pevnému bodu)

Věta o momentu hybnosti (pro částici) Důkaz: Jak to bude pro pro soustavu částic?

Věta o momentu hybnosti (pro soustavu částic) (druhá impulsová věta) Moment hybnosti soustavy částic (vzhledem k pevnému bodu) vektorový součet momentů všech sil působících na všechny částice Věta o momentu hybnosti (pro soustavu částic)

Otáčení tělesa kolem pevné osy

Otáčení tělesa kolem pevné osy Moment hybnosti tuhého tělesa vzhledem k pevné ose = průmět L do této osy

Věta o momentu hybnosti pro otáčení tuhého tělesa kolem pevné osy

Pozn. k výpočtu momentu síly při otáčení tělesa kolem pevné osy pokud F leží v rovině kolmé na pevnou osu otáčení, můžeme definovat „moment síly vzhledem k ose“ = průmět M do této osy = Mz

Shrnutí Lze dokázat, že platí i pro osu otáčení procházející středem hmotnosti (jojo, valení)

Připomenutí: Věta o hybnosti Důsledek:

Kde působí homogenní gravitační síla? (tíhová síla) [HRW2 kap. 12-4] Poloha těžiště = náhradního bodu, ve kterém působí výsledná gravitační síla Pokud je pole homogenní, splývá těžiště se středem hmotnosti tělesa (V nehomogenním poli poloha středu hmotnosti není polohou těžiště.)

Ještě jednou pomocí pohybových rovnic.

= konst. (HRW2 kap. 11-5)

Práce a výkon při otáčení tělesa kolem pevné osy Platí i pro tuhé těleso.

Zákony zachování Zákon zachování hybnosti Zákon zachování momentu hybnosti

Zákon zachování momentu hybnosti

[HRW2, kap. 11 úloha 53]

Rovnováha tělesa P = 0 L = 0 Statická rovnováha (podmínky rovnováhy tělesa)

Stabilní, labilní a volná rovnováha

[HRW2, kap. 12 úloha 5] (b) (a)

[HRW2, kap. 12 úloha 5] P vzhledem k P: (b) vzhledem k Q: Q (a)