Analytická geometria kvadratických útvarov Kružnica a priamka

Vzájomná poloha t a b sečnica a dotyčnica t nesečnica b

Sečnica a je priamka, ktorá má s kružnicou dva spoločné body. Pre vzdialenosť stredu kružnice od priamky v a veľkosť polomeru kružnice r platí: v < r A v B k r S a

Dotyčnica Dotyčnica t je priamka, ktorá má s kružnicou práve jeden spoločný bod T. Pre vzdialenosť stredu kružnice od priamky v a veľkosť polomeru kružnice r platí: v = r T v r k S t

Nesečnica b je priamka, ktorá nemá s kružnicou žiadny spoločný bod. Pre vzdialenosť stredu kružnice od priamky v a veľkosť polomeru kružnice r platí: v > r v k r S n

Riešenie vzájomnej polohy Polohu priamky a kružnice riešime riešením sústavy dvoch rovníc o dvoch neznámych. Jedna je rovnica kružnice k: x2 + y2 = r2. Druhá je rovnica priamky (môže byť všeobecná rovnica aj v smernicovom tvare alebo parametrické vyjadrenie). Rovnicu alebo vyjadrenie priamky dosadíme do rovnice kružnice a upravíme. Dostaneme kvadratickú rovnicu, ktorú štandardne riešime. Podľa hodnoty diskriminantu určíme vzájomnú polohu nasledovne: D > 0 ide o sečnicu – rovnica má dve riešenia, z ktorých dostaneme súradnice dvoch bodov, v ktorých sa priamka s kružnicou pretína. D < 0 ide o nesečnicu – rovnica nemá riešenie. D = 0 ide o dotyčnicu – rovnica má jedno riešenie, pomocou ktorého dostaneme súradnice dotykového bodu. http://www.priklady.eu/sk/Riesene-priklady-matematika/Kvadraticke-utvary-v-rovine/Kuzelosecky.alej

Vzorové riešenie 1 Určte vzájomnú polohu priamky a kružnice sečnica 4 Získali sme x-ové súradnice priesečníkov, Dosadením za y dostaneme ich y-ové súradnice. -3 Priamka pretína kružnicu v bodoch

Vzorové riešenie 2 Určte vzájomnú polohu priamky a kružnice nesečnica Priamka nepretína kružnicu – je nesečnicou kružnice.

Vzorové riešenie 3 Určte parameter a tak, aby priamka bola dotyčnicou kružnice z priamky vyjadríme x dosadíme do rovnice kružnice umocníme uložíme v poradí kvadratickej rovnice, v ktorej je neznáma y, z dvoch členov vyjmeme y vyjadríme diskriminant, ktorý sa pri dotyčnici musí rovnať O dopočítame a Priamka, ktorá je dotyčnicou kružnice má rovnicu

Príklady na precvičenie Určte vzájomnú polohu priamky a kružnice, ak je dané: Polohu Priamky Kružnice Nájdite také číslo c, že priamka bude dotyčnicou kružnice Tak Riešime Riešením sústavy dvoch rovníc o dvoch neznámych.