RIEŠENIE LINEÁRNYCH ROVNÍC A NEROVNÍC MATEMATIKA 8. ROČNÍK RIEŠENIE LINEÁRNYCH ROVNÍC A NEROVNÍC

Riešenie lineárnych rovníc pomocou ekvivalentných úprav Čo už vieme: Rovnosť dvoch matematických výrazov s tou istou neznámou x upravíme na tvar : a . x = b, x je neznáma, a, b sú čísla, a 0. Číslom a je vynásobená neznáma, nazýva sa koeficient pri neznámej Riešenie (koreň) rovnice je číslo Takúto rovnicu nazývame lineárna rovnica (rovnica prvého stupňa) s jednou neznámou.  Zisti, ktoré zo zápisov sú rovnice: a) 3x – 6 = 2x + x b) 15x +12 = 3.(4 x – 3) c) – 7x + 8 = - 7x + 8 N A N V rovnostiach a) a c) je po úprave a = 0 – teda nie sú rovnice

lineárna rovnica s jednou neznámou 2x = 2 . 0,5 –1,2 + 0,6 : 3 2x = 1 – 1,2 + 0,2 2x = 0 x = 0 lineárna rovnica s jednou neznámou 2x + 5x – 6x = -2 . 3 x = - 6 lineárna rovnica s jednou neznámou 10x – 10x = 7 0x = 7 0x = 0 - taký zlomok neexistuje a neexistuje číslo, ktoré rovnosti vyhovuje – daná rovnosť nie je lineárna rovnica - taký zlomok neexistuje a existuje nekonečne veľa čísel, ktoré rovnosti vyhovujú –daná rovnosť nie je lineárna rovnica

hodnota neznámej – koreň Každá lineárna rovnica s jednou neznámou má práve jedno riešenie (koreň). postup riešenia Riešenie rovnice hodnota neznámej – koreň Čo už vieme: Ekvivalentné úpravy rovníc - výmena ľavej a pravej strany rovnice - pričítanie (odčítanie)toho istého čísla alebo mnohočlena k obidvom stranám rovnice - vynásobenie (vydelenie) obidvoch strán rovnice tým istým nenulovým číslom

Rieš rovnice a doplň tabuľku: a) 2x – (8x – 1) – ( - x + 2) = 9 b) 2,5x –3. (1,5x – 1) = 9 c) d) Koreň rovnice Ľ P a) b) c) d) e) e)

Vyjadrenie neznámej zo vzorca Vzorec upravíme ekvivalentnými úpravami tak, aby neznáma, ktorú máme vyjadriť, bola na ľavej strane a ostatné premenné na pravej strane rovnosti. Zo vzorca na výpočet obsahu obdĺžnika vyjadri stranu a . Zo vzorca na výpočet obsahu trojuholníka vyjadri výšku na stranu a . S = a . b a . b = S /:b 2.S = a . va Obvod štvorca má dĺžku 48 cm. Aká je dĺžka jednej strany? Najskôr vyjadri zo vzorca, potom dosaď a vypočítaj o = 4 . a a = o : 4 a = 48 : 4 = 12 o = 4 . a o = 4 . 12 o = 48 cm

Slovné úlohy riešené lineárnymi rovnicami Text úlohy: Rozdeľ 130 orechov na 2 časti tak, aby menšia časť zväčšená 4-krát sa rovnala väčšej časti zmenšenej 3-krát. Rozbor úlohy: Menšia časť ............... x, zväčšená 4-krát ....... 4.x Väčšia časť ..........130 – x, zmenšená 3-krát ......(130 – x):3 = Zostavenie a riešenie rovnice: Skúška: Menšia č. .. 10, zväčšená 4-krát ..... 40 Väčšia č....130 – 10=120, zmenš. 3-krát=40 Odpoveď: Menšia časť je 10, väčšia časť je 120

Slovné úlohy o rovnomernom pohybe rýchlosť .... v; dráha .... s; čas .... t; s = v . t; Auto ide priemernou rýchlosťou 70 km/h, rýchlik má rýchlosť 21 m/s. Ktorý dopravný prostriedok ide rýchlejšie? 70km/h = 70000m/s 1 h = 60 min. = 3600s auto 19,44 m/s, rýchlik ....... 21 m/s alebo 21m/s = 21 . 3600 m/h = 75600 m /h = 75,6 km/h auto .... 70 km/h, rýchlik .... 75,6 km/h Väčšiu rýchlosť má rýchlik.

Lietadlá sa míňajú 2000 km od prvého letiska. 27 / 14: 1.L – 6.30 2.L – 7.00 1.L ...... v 1 = ( x + 60) km/h , t1 = 2,5 hod., s1 = 2,5 (x + 60) 2.L ...... v 2 = x km/h , t2 = 2 hod., s2 = 2x 2,5 (x + 60 ) + 2 x = 3480 Sk.: s1 = 2,5 (740 + 60) = 2,5 . 800 = 2000 km x = 740 s2 = 2x = 2 . 740 = 1480 km Lietadlá sa míňajú 2000 km od prvého letiska. Spolu : 3 480 km Dva objekty sa pohybujú po dráhe oproti sebe. Na dráhu vyrazia súčasne. Platí: Na dráhe sú rovnaký čas. Celková dráha, ktorú objekty prešli sa rovná súčtu jednotlivých dráh.

Na vojenskom cvičení vyrazila ráno o 8. 00hod Na vojenskom cvičení vyrazila ráno o 8.00hod. z hlavného tábora kolóna tankov priemernou rýchlosťou 20 km/h. O hodinu neskôr poslali za kolónou spojku, ktorá sa pohybovala rýchlosťou 50 km /h. Dobehne spojka kolónu tankov pred 10.00 h ? s1 8.00 h. s2 s1 = s2 9.00 h. Tanky:.... v1 = 20 km/h., t 1 = (x + 1) h, s1 = 20 . (x + 1) spojka:.... v2 = 50 km/h., t 2= x h, s2 = 50 . x 20 . (x + 1) = 50 . x Sk.: s1 = 20 . ( + 1) = km x = 40 minút 9 hod. + 40 min. = 9h 40min. s2 = 50 . = km Spojka dobehne kolónu o 9.40 h, teda pred 10.00 h.

Chodec:.... v1 = 6 km/h., t 1 = (x + 0,5) h, s1 = 6 . (x + 0,5) Dva objekty sa pohybujú za sebou, vyšli z toho istého miesta s časovým odstupom. Dráha, ktorú prešli po miesto stretnutia je rovnaká. Na trati sú mestá A a B vzdialené 42 km. Z mesta A vyjde chodec rýchlosťou 6 km /h opačným smerom, ako je B. O pol hodinu vyjde z B cyklista rýchlosťou 24 km/h. Za aký čas dobehne cyklista chodca a v akej vzdialenosti od B? A 42km B Chodec:.... v1 = 6 km/h., t 1 = (x + 0,5) h, s1 = 6 . (x + 0,5) cyklista:.... v2 = 24 km/h., t 2= x h, s2 = 24 . x s = 24 . 2,5 = 60 km 6 . (x + 0,5) + 42 = 24 . x x = 2,5 hod. Cyklista dohoní chodca o 2,5 hodiny, 60 km od B.

Slovné úlohy o spoločnej práci Pri riešení úloh o spoločnej práci vyjadríme: 1. Akú časť práce vykoná jeden zúčastnený za 1 časovú jednotku (deň, hodina, minúta...) x časových jednotiek 2. Akú časť práce vykonajú všetci zúčastnení za x časových jednotiek Chodec prešiel dráhu za 6 hodín. Akú časť dráhy prešiel za: a) 1 hodinu, b) 5 hodín, c) x hodín za 1 hodinu ..... , b) za 5 hodín .... , c) za x hodín ...

Majster by splnil úlohu za 20 hodín, učeň za 30 hodín Majster by splnil úlohu za 20 hodín, učeň za 30 hodín. Za koľko hodín splnia úlohu, keď budú pracovať spoločne? Majster za 20 hodín, za 1 hodinu ... za x hodín ..... učeň za 30 hodín, za 1 hodinu... za x hodín .... Za x hodín splnia celú prácu. Zostavenie rovnice a jej riešenie: Skúška: Majster ... Učeň ... Spolu.... Spolu urobia prácu za 12 hodín

Riešenie lineárnych nerovníc Čísla: - prirodzené: 5, 8, 46, 150, ... - celé: -7, 25, -48, 0 .... - racionálne: 6,8; -0,25; - iracionálne: Reálne čísla -2 -1 1 2,5 4 Reálna číselná os – je tvorená obrazmi reálnych čísel

5 > -1; 8 < 15; - 7 < - 1; ... - platné nerovnosti x< 2 x > -1 -1 0 1 2 3 -1 0 1 2 3 ostré nerovnosti x > -1 x< 2 -1 0 1 2 3 -1 0 1 2 3 neostré nerovnosti 5 > -1; 8 < 15; - 7 < - 1; ... - platné nerovnosti 5 > 10; 8 < - 5; - 7 < - 12; ... - neplatné nerovnosti

pravá strana nerovnice 12 = 5 – neplatná rovnosť oprava 12 = 15 12 >12 –neplatná nerovnosť oprava 12 ≤ 12 Nerovnica s neznámou x 7 x + 10 > 24 Ľavá strana nerovnice pravá strana nerovnice znak nerovnosti Vypíš všetky celé čísla, pre ktoré platí: a) – 2 < x < 2 b) – 2 ≤ x < 2 c) – 2 ≤ x ≤ 2 Riešenie: a) - 1; 0; 1 b) – 2; - 1; 0; 1 c) – 2; - 1; 0; 1; 2

V obore reálnych čísel rieš nerovnicu. Over svoje riešenie: 4.(x – 3) = 2. (x + 5) Riešenie: - 4.(x – 3) < 2. (x + 12) - 4x + 12 < 2x + 24 - 4x – 2x < 24 - 12 - 6 x < 12 /.( - 6) x > 2 Overenie: - 4.(3 – 3) < 2. (3 + 12) - 4. 0 < 30 0 < 30 Ľ < P

18 Doplň chýbajúce písmená a napíš celú vetu: Logická úloha: Doplň chýbajúce písmená a napíš celú vetu: N . . T . ÄČ . . J Š . OD . . AD S . . A . E . Ý .AS ! NIET VäČŠEJ ŠKODY NAD STRATENÝ ČAS ! Spočítaj všetky trojuholníky na obrázku: 8 + 8 + 2 = 18