1. přednáška Úvod, vektorový počet, funkce více proměnných Fyzika pro OI 1. přednáška Úvod, vektorový počet, funkce více proměnných Ing. Jaroslav Jíra, CSc.

Úvod Přednášející: prof. Ing. Stanislav Pekárek, CSc., pekarek@fel.cvut.cz , místnost 49A Ing. Jaroslav Jíra, CSc., jira@fel.cvut.cz , místnost 42 Studijní materiály: http://aldebaran.feld.cvut.cz/ , odkaz fyzika Fyzika pro OI Skripta: Physics I, Pekárek S., Murla M. Physics I - seminars, Pekárek S., Murla M. Internetové testy: https://fyzlab.feld.cvut.cz/auth/oitest

Bodovací systém pro Fyziku pro OI Za semestr je možné získat na cvičeních maximálně 100 bodů. Body ze semestru si studenti nesou ke zkoušce, kde body tvoří podle pravidel ústní zkoušky část konečné známky. Podmínky pro získání zápočtu:: - získat alespoň 40 bodů z cvičení, - změřit 6 laboratorních úloh; všechny úlohy musí být odevzdány a přijaty učitelem Body ze semestru lze získat: - písemnými testy, max. 50 bodů. Dva testy po max. 25 bodech. (8. a 13 týden) - referáty z laboratoří, max. 30 bodů. Posledních 5 referátů je bodově hodnoceno až 6 body každý. - testy na internetu, max. 20 bodů. Je k dispozici 10 elektronických testů sestávajících z 8 otázek. Správné zodpovězení VŠECH otázek znamená zisk 2 bodů za příslušný test.

Zkouška – první část: Každý student musí u zkoušky nejprve vyřešit určitý počet příkladů v závislosti na počtu bodů ze semestru. Počet příkladů k řešení Body ze semestru 1 90 a více 2 75 – 89 3 65 – 74 4 55 – 64 5 méně než 55

Zkouška – druhá část: Student po úspěšném vyřešení příkladů dostane písemný test, ze kterého je možné získat až 30 bodů. Následuje ústní zkouška, kde student obhajuje známku dle uvedené tabulky. Je brán v potaz sloupeček s výhodnější známkou. Písemný test semestr + písemný test A výborně 1 25 120 B velmi dobře 1- 23 110 C dobře 2 20 100 D uspokojivě 2- 18 90 E dostatečně 3 15 80

Vektorový počet - základy Vektor – standardní zápis pro tři dimenze Jednotkové vektory i,j,k jsou vektory o velikosti 1 ve směru souřadných os x,y,z . Velikost vektoru Polohový vektor je vektor r směřující z počátku na aktuální pozici kde x,y,z, jsou projekce r na souřadné osy.

Příklad násobení vektoru skalárem v rovině Sčítání a odčítání vektorů Násobení vektoru skalárem Příklad násobení vektoru skalárem v rovině

Násobení vektoru skalárem v programu Mathematica

Příklad sčítání tří vektorů v rovině Zadané vektory: Numerický součet nám dává Grafické řešení:

Sčítání tří vektorů v Mathematice

Příklad odčítání dvou vektorů v rovině Zadané vektory: Numerický rozdíl nám dává Grafické řešení:

Rozdíl dvou vektorů v Mathematice

Časová derivace a časový integrál vektorové funkce

Příklad časové derivace vektoru Pohyb hmotného bodu je popsán vektorovou rovnicí Určete pro libovolné : a) b) velikost tečného a normálového zrychlení

Časová derivace vektoru v Mathematice

Časová derivace vektoru v Mathematice - pokračování Co se stane bez Assuming a Refine Co se stane bez Simplify Grafický výstup pro

Příklad časového integrálu vektoru Určete časovou závislost vektoru rychlosti a polohového vektoru u šikmého vrhu. Počáteční rychlost v0=(10,20) m/s a tíhové zrychlení g=(0,-9.81) m/s2.

Časový integrál vektoru v Mathematice Study of balistic projectile motion, when components of initial velocity are given Vypočtená trajektorie vrhu:

Skalární součin Skalární součin – je definován jako: kde Θ je menší úhel mezi vektory a a b a S je výsledný skalár. Pro třísložkové vektory můžeme psát Geometrická interpretace – skalární součin je roven ploše obdélníka se stranami a a b.cosΘ. Modrá a červená šipka představují původní vektory a a b. Základní vlastnosti skalárního součinu

Vektorový součin Vektorový součin – je definován jako: kde Θ je menší úhel mezi vektory a a b, a n je jednotkový vektor kolmý k rovině obsahující vektory taining a and b. Geometrická interpretace – velikost vektorového součinu může být interpretována jako plocha A rovnoběžníka o stranách a a b. Složkový tvar Základní vlastnosti vektorového součinu

Skalární a vektorový součin v Mathematice

Směr výsledného vektoru u vektorového součinu může být určen pravidlem pravé ruky nebo pravidlem pravotočivého šroubu Vektorový součin tří vektorů Geometrickou interpretací skalárního součinu tří vektorů je objem rovnoběžnostěnu V Skalární součin tří vektorů

Skalární pole a gradient Skalární pole přiřazuje skalární veličinu ke každému bodu v prostoru. Toto přiřazení může být popsáno skalární funkcí f a může být také časově závislá. (např. teplota, hustota nebo rozložení tlaku vzduchu). Gradient skalárního pole je vektorové pole, jehož velikost je úměrná rychlosti růstu či poklesu skalárního pole. Platí pro něj vztah: Příklad: gradient funkce f(x,y) = −(cos2x + cos2y)2 zobrazený jako vektor projektovaný na spodní rovinu.

Příklad 2 – nalezení extrému skalární funkce Najděte extrémy funkce: Extrémy lze najít za předpokladu: V tom případě: Odpověď: máme dva extrémy

Extrémy skalárních funkcí v Mathematice

Vektorové operátory Gradient (Nabla operátor) Divergence Rotace Laplacián

Základní mechanické veličiny a jejich analogie pro přímočarý a rotační pohyb Přímočarý pohyb Rotační pohyb s, r dráha, polohový vektor [ m ] φ úhel [ rad ] v rychlost [ m*s-1 ] ω úhlová rychlost [ rad*s-1] a zrychlení [ m*s-2 ] ε úhlové zrychlení [ rad*s-2 ] F síla [ N ] M moment síly [ N*m] m hmotnost [ kg ] J moment setrvačnosti [ kg*m2 ] p hybnost [ kg*m*s-1] b moment hybnosti [kg*m2*s-1] Práce W= F s Práce W= M φ Kinetická energie Ek= ½ m v2 Kinetická energie Ek= ½ J ω2 Pohybová rovnice F = m a Pohybová rovnice M = J ε