Priamkové plochy

Priamkové plochy Obsah: P1 Základné pojmy P2 Rozvinuteľné priamkové plochy P3 Nerozvinuteľné priamkové plochy P3.1 Cylindroidy P3.1.1a Konoidy P3.1.1b Hyperbolický paraboloid P3.2 Konusoidy P4 Súhrnné cvičenia P5 Aplikácie priamkových plôch v architektúre

Kapitola P1 Základné pojmy Priamková plocha Torzálna a netorzálna priamka Rozvinuteľné a nerozvinuteľné priamkové plochy

Priamka, ktorá leží na ploche sa nazýva tvoriaca priamka plochy. Priamková plocha Plocha sa nazýva priamková, ak každým jej bodom prechádza aspoň jedna priamka, ktorá na nej leží. Priamka, ktorá leží na ploche sa nazýva tvoriaca priamka plochy. Poznámka: Každý bod tvoriacej priamky je bodom priamkovej plochy, t. j. celá priamka leží na ploche. Pri aplikáciách priamkových plôch v architektúre používame len časti priamkových plôch, teda pracujeme s úsečkami, ktoré ležia na ploche. Santiago Calatrava Lyon-Saint-Exupéry TGV Francúzsko http://www.desura.com/groups/france/images/l-aroport-de-lyon1 http://thefullcalatrava.wordpress.com/2013/09/04/gare-tgv-saint-exupery-lyon-fr/

Tvoriaca priamka p priamkovej plochy môže byť buď torzálna, alebo netorzálna priamka plochy. Tvoriaca priamka p plochy sa nazýva torzálna priamka plochy, ak dotykové roviny plochy vo všetkých regulárnych bodoch priamky p sú totožné. Príklad: Nech je priamka p ľubovoľná tvoriaca priamka rotačnej valcovej plochy V. Nech sú body A, B, C rôzne body priamky p. Dotyčnice tA, tB, tC sú dotyčnice rovnobežkových kružníc valcovej plochy V. Dotykové roviny rotačnej valcovej plochy v bodoch A, B, C sú: A = (p, tA) B = (p, tB) C = (p, tC). Dotyčnice tA, tB, tC sú rovnobežné a tvoriaca priamka p patrí všetkým rovinám A, B, C, teda dotykové roviny A, B, C sú totožné. Dotykové roviny valcovej plochy vo všetkých bodoch priamky p sú totožné. Každá tvoriaca priamka p valcovej plochy je torzálna priamka. tC C  p tB B tA A Tereňová

Osou tohto zväzku rovín je priamka p. Netorzálna priamka Tvoriaca priamka p plochy sa nazýva netorzálna priamka plochy, ak existuje bijekcia medzi regulárnymi bodmi tvoriacej priamky p a dotykovými rovinami plochy v daných bodoch. Platí: V každom regulárnom bode tvoriacej priamky p existuje iná dotyková rovina plochy. Všetky dotykové roviny v bodoch netorzálnej tvoriacej priamky p vytvárajú zväzok rovín. Osou tohto zväzku rovín je priamka p. Poznámka: Vzťah medzi bodmi netorzálnej priamky p a dotykovými rovinami plochy v regulárnych bodoch priamky p vyjadruje Chaslesova veta (pozri [Píska, Medek]). Príklad: Nech je priamka p ľubovoľná tvoriaca priamka jednodielneho rotačného hyperboloidu H. Nech sú body A, B, C rôzne body priamky p. Dotyčnice tA, tB, tC sú dotyčnice rovnobežkových kružníc plochy H. Dotykové roviny rotačnej plochy H v bodoch A, B, C sú: A = (p, tA) B = (p, tB) C = (p, tC). Dotyčnice tA, tB, tC sú mimobežné priamky a tvoriaca priamka p patrí všetkým rovinám A, B, C, teda dotykové roviny A, B, C vytvoria zväzok rovín s osou zväzku v priamke p. Ak A ≠ B ≠ C, tak A ≠ B ≠ C. Každá tvoriaca priamka p rotačného jednodielneho hyperboloidu je netorzálna priamka. kC tC C B A C kB tB B p Tereňová tA A kA

Priamkové plochy rozdeľujeme na: – rozvinuteľné priamkové plochy – všetky priamky plochy sú torzálne priamky, – nerozvinuteľné priamkové plochy – aspoň jedna z priamok plochy je netorzálna. Poznámka: Rozvinuteľná priamková plocha sa dá rozvinúť (zobraziť) do roviny. Pri jej rozvinutí sa zachovávajú dĺžky kriviek na ploche. Takéto zobrazenie plochy do roviny, pri ktorom sa zachovávajú dĺžky kriviek, sa nazýva izometrické zobrazenie. Podrobnejšie pozri [Medek, Zámožík, str. 537] alebo [Velichová, str. 143].