2. časť - kolmá axonometria Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK 112 Margita Vajsáblová Axonometria 2. časť - kolmá axonometria

Kolmá axonometria Vlastnosti axonometrického trojuholníka  XYZ: Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK 113 Definícia 3: Axonometriu, ktorej smer premietania je kolmý na priemetňu nazývame kolmá axonometria. – priemetňa, s, Axonometrické stopy súradnicových rovín (strany axonometrického XYZ):  (x, y)   = p,  (x, z)   = n,  (y, z)   = m. Súradnicová sústava (O, x, y, z )  (Oa, xa, ya, za) za x   = X, y   = Y, z   = Z,  XYZ - axonometrický trojuholník. Z m . . n z Oa za . Z xa X p Y ya m Vlastnosti axonometrického trojuholníka  XYZ: . Oa Axonometrický  XYZ je ostrouhlý. s . n  O y Axonometrické priemety súradnicových osí sú výšky axonometrického  XYZ, xa  m, ya  n, za  p. . Y ya p Axonometrický priemet začiatku súradnicovej sústavy Oa je priesečník výšok (ortocentrum) axonometrického  XYZ. X x Obrazy kladných polpriamok súradnicových osí v kolmej axonometrii zvierajú tupé uhly. xa

Kolmá axonometria môže byť daná: Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK 114 a, axonometrickým trojuholníkom XYZ  obrazy osí zostrojíme ako výšky axonometrického XYZ b, axonometrickým obrazom súradnicových osí xa, ya, za  strany axonometrického XYZ sú kolmé na obrazy osí. za za Z Z Oa Oa X Y X Y xa ya xa ya Všetky rovnoľahlé trojuholníky so stredom rovnoľahlosti Oa, ktorých výšky sú obrazy súradnicových osí, určujú jednu kolmú axonometriu.

Otáčanie súradnicových rovín v kolmej axonometrii Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK 115 Otáčanie súradnicovej roviny (x, y) okolo stopy p = XY do priemetne : Keďže platí x  y, potom bude x0  y0 , teda otočená poloha bodu O je O0, ktorý leží na Thalesovej kružnici nad priemerom XY a OaO0  p. Medzi axonometrickými priemetmi bodov roviny  a ich otočenými polohami je vzťah perspektívnej afinity, ktorej osou je p , smer je kolmý na os a Oa  O0 . z za Z za Z n . m m Oa s . . n O Y . y Oa . y0 ya xa A0 x . p X p = oA xa Y O0 sA ya x0 Aa y0  x0 X . O0 Poznámka: Podobne otáčame súradnicovú rovinu  (x, z) okolo stopy n = XZ do priemetne . x  z  x0  z0, teda O0 leží na Thalesovej kružnici nad priemerom XZ a OaO0  n.  Poznámka: Podobne otáčame súradnicovú rovinu (y, z) okolo stopy m = YZ do priemetne . y  z  y0  z0, teda O0 leží na Thalesovej kružnici nad priemerom YZ a OaO0  m.

Príklad Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK 116 V kolmej axonometrii danej XYZ zostrojte obraz pravidelného 6-uholníka, ktorý leží v súradnicovej rovine . Stred 6-uholníka ABCDEF je v bode O a daný je vrchol A. za 1. Otočíme rovinu  okolo XY do axonometrickej priemetne . 2. V perspektívnej afinite: o = XY, Oa Oo, zobrazíme AaAo (OaAa  o = 1  1´, AoOo o = 1  1´). 3. Zostrojíme pravidelný 6-uholník AoBoCoDoEoFo. 4. AoBoCoDoEoFo zobrazíme v inverznej perspektívnej afinite do AaBaCaDaEaFa. Z Ea Da Ca Oa Fa Ba oA X Aa Y xa 1  1´ Ao Bo ya Fo Co Oo Eo Do

Obraz kružnice ležiacej v súradnicovej rovine v kolmej axonometrii Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK 117 Obraz kružnice ležiacej v súradnicovej rovine v kolmej axonometrii Sklápanie premietacej roviny  súradnicovej osi z do priemetne okolo PZ do priemetne : Keďže os z je kolmá na rovinu (x, y), platí z  s a za  sa . Nech P je axonometrický stopník spádovej priamky s . Potom v sklopení ich premietacej roviny bude (z)  (s), teda sklopená poloha bodu O je (O), ktorý leží na Thalesovej kružnici nad priemerom ZP a Oa(O)  ZP. za  sa z za Z Z  (z ) (s ) . m Oa . Oa .  s (O) n O . y b Ra r (R) Y P ya s Ca xa X P p Y x ya b p Sa Aa r Ba b r ka Da xa X Úloha: V kolmej axonometrii danej XYZ zostrojte obraz kružnice k = (S, r) ležiacej v rovine (x, y). Riešenie: Obrazom kružnice k ležiacej v súradnicovej rovine (x, y) je elipsa ka: 1. Hlavná os ka je na hlavnej priamke, teda rovnobežná s axonometrickou stopou p a dĺžka hlavnej polosi je rovná polomeru r: Aa Ba | | p, |Aa Sa |= |Ba Sa |= r. 2. Vedľajšia os je na spádovej priamke roviny , teda kolmá na axonometrickú stopu p a dĺžku vedľajšej polosi b určíme v sklopení premietacej roviny osi z a spádovej priamky do : (R)  (s ), |(R) (O)| = r  |Ra Oa | = b.