VEKTORY animácie VEKTORY Animácie a striedanie snímkov spúšťajte šípkami. Využívajte návrat do MENU VEKTORY

MENU STOP Titulok Základné informácie o vektoroch 1 koniec prezentácie Základné informácie o vektoroch 1 Násobenie vektora číslom (skalárom) Základné informácie o vektoroch 2 Násobenie vektora číslom - ilustrácia Kolineárne a komplanárne vektory Jednotkový vektor Súčet vektorov Príklad - dôkaz Operácie s vektormi Rozklad vektora na zložky Rozdiel vektorov Lineárna kommbinácia vektorov Príklad na súčet a rozdiel Skalárny súčin vektorov Ilustrácia súčtu vektorov Vektorový súčin vektorov

Základné informácie o vektoroch 1 Do MENU STOP koniec prezentácie [1 [1]1] Presná definícia vektorov v trojrozmernom priestore hovorí o trojiciach čísel, ktoré sa predpísaným spôsobom transformujú pri otočení súradnicovej sústavy.

Základné informácie o vektoroch 2 Do MENU f a E STOP koniec prezentácie

Kolineárne a komplanárne vektory Do MENU Komplanárne vektory STOP koniec prezentácie Kolineárne vektory

Súčet vektorov Do MENU STOP koniec prezentácie x y O c = a + b c b a

Operácie s vektormi Do MENU STOP koniec prezentácie b = -a a -a b

Rozdiel vektorov f = c - d f = c + ( -d ) d c (-d ) f y x O STOP Do MENU STOP koniec prezentácie y f = c - d d c f = c + ( -d ) (-d ) f x O

Príklad 1.1- súčet a rozdiel Riešenie: a b a+b b b-a a-b -b Do MENU Príklad 1.1- súčet a rozdiel STOP koniec prezentácie

Ilustrácia na súčet vektorov Príklad 1.1 - ilustrácia Ilustrácia na súčet vektorov Do MENU STOP koniec prezentácie rýchlosť lode vzhľadom na vodu rýchlosť vody vzhľadom na breh rýchlosť lode vzhľadom na breh

Násobenie vektora číslom (skalárom) Do MENU STOP koniec prezentácie Násobenie vektora číslom (skalárom) y a b S = 3 c a S = - 0.5 x O

Násobenie vektora číslom - ilustrácia Do MENU STOP koniec prezentácie

Jednotkový vektor Do MENU STOP koniec prezentácie

Príklad 1.2 - dôkaz STOP koniec prezentácie Do MENU

p a a q Do MENU STOP koniec prezentácie

Lineárna kombinácia vektorov V priamkach, do ktorých rozkladáme vektor a , môžeme zvoliť jednotkové vektory, ktoré označíme e1 a e2 . Jednotkovými vektormi sú potom určené smery rozkladania. Zložky p a q možno vyjadriť ako skalárne násobky vektorov e1 a e2 : p = ape1 , q = aqe2 . Vektor e1 však môže mať opačný smer ako zložka p , a vtedy skalár ap pred vektorom e1 musí byť záporný. Preto skalár ap nepredstavuje veľkosť vektora p, ale je jednou zo súradníc rozloženého vektora a vo vzťažnej sústave určenej vektormi e1 a e2 . Vektor a možno po takomto rozklade na zložky vyjadriť v tvare a = p + q = ape1 + aqe2 . O takomto vyjadrení hovoríme, že vektor a je lineárnou kombináciou vektorov e1 a e2 .   Lineárna kombinácia vektorov Do MENU STOP koniec prezentácie

Skálárny súčin – definícia Do MENU STOP koniec prezentácie Skalárny súčin dvoch vektorov Skalárny súčin dvoch vektorov je zavedený ako operácia, ktorej výsledkom je skalárna veličina. Veľkosť tejto skalárnej veličiny je určená súčinom veľkostí príslušných vektorov a kosínusu uhla, ktorý tieto vektory zvierajú. Fyzikálny rozmer výslednej skalárnej veličiny sa rovná súčinu rozmerov násobených vektorových veličín. Skalárny súčin sa označuje bodkou medzi vektormi, v strede výšky písmen, nie na úrovni riadku a  b = ab cos  Pritom uhol medzi dvoma vektormi sa určuje tak, aby nebol väčší ako  radiánov (180 o). Bezpečne ho určíme tak, keď oba vektory nakreslíme zo spoločným začiatkom.  

Skalárny súčin – geometrický význam Skalárny súčin zapisujeme: a b = a b cos  Do MENU Z Y a b  STOP koniec prezentácie O X

Skalárny súčin – fyzikálny význam Do MENU      Skalárny súčin sa často využiva v mechanike, alebo teórii elektromagnetického poľa. Napríklad skalárnym súčinom vektora sily f a vektora elementárneho posunutia dr sa vyjadruje elementárna práca dA = f  dr = f dr cos  , lebo smer sily a smer posunutia telesa nemusia byť rovnaké. Vtedy sa na vykonanie práce využíva iba priemet sily do smeru  posunutia, vyjadrený ako f cos . Fyzikálny rozmer skalárneho súčinu bude rovnaký ako pre prácu.  f dr dr cos  STOP koniec prezentácie

Vektorový súčin - definícia Do MENU STOP koniec prezentácie Vektorový súčin dvoch vektorov Vektorový súčin dvoch vektorov je operácia, ktorej výsledkom je vektor. Preto treba definovať nie iba veľkosť výsledku, ale aj smer výsledného vektora. Vektorový súčin sa označuje krížikom medzi vektormi : c = a  b Veľkosť c výsledného vektora c je definovaná ako súčin veľkostí násobených vektorov a sínusu uhla nimi zovretého : c = ab sin   Pre smer vektora c platí definícia, že je kolmý na rovinu násobených vektorov. Jednoznačnosť definície však vyžaduje určiť, na ktorú stranu roviny smeruje. Vektor c má taký smer, že z jeho konca sa stotožnenie prvého vektora zo súčinu (v tomto prípade vektora a) s druhým vektorom po kratšom oblúku javí ako pohyb proti chodu hodinových ručičiek. O trojici vektorov a, b, c v danom poradí potom hovoríme, že tvoria pravotočivú sústavu vektorov. Zmena ich poradia jednou permutáciou znamená zmenu z pravotočivej na ľavotočivú sústavu (trojicu).

zapisujeme: c = a x b a b c d b POZOR : d = b x a O a Na obrázku je trojica vektorov a, b, c znázornená v axonometrickom pohľade. Pre názornosť sú nakreslené aj súradnicové osi karteziánskej sústavy. Ak otáčanie vektora a k vektoru b po kratšom oblúku napodobíme otáčaním pravotočivej skrutky, umiestnenej v začiatku súradnicovej sústavy kolmo na rovinu vektorov a b , skrutka sa bude posúvať v smere vektora c . Aj tento model pomáha pri určovaní smeru vektora, ktorý je výsledkom vektorového súčinu . Do MENU zapisujeme: c = a x b a b c d STOP koniec prezentácie b POZOR : d = b x a O a X

a  b = (ax i + ay j + az k)  (bx i + by j + bz k ) = Do MENU STOP koniec prezentácie Na základe distributívneho zákona vektorový súčin vektorov vyjadrených v zložkovom tvare môžeme vyjadriť nasledovne : a  b = (ax i + ay j + az k)  (bx i + by j + bz k ) = = axbx(i  i) + axby(i  j) + axbz(i  k) + + aybx(j  i) + ayby(j  j) + aybz( j  k) + + azbx(k  i) + azby(k  j) + az bz(k  k) = i  i = 0 j x j = 0 k  k = 0

z poradia jednotkových vektorov   Pre jednotkové vektory i , j , k  , ktoré sú navzájom na seba kolmé, platia vzťahy : i  j = k  j  k = i k  i = j j  i = - k k  j = - i i  k = - j j i k + - Znamienka odvodíme z poradia jednotkových vektorov i j k = 0 + axby k - axbz j + - aybx k + 0 + aybz i + + azbx j - azby i + 0 = + axby(i  j) = axbx(i  i) + axbz(i  k) + + aybx(j  i) + ayby(j  j) + aybz( j  k) + + azbx(k  i) + azby(k  j) + az bz(k  k) = Do MENU STOP koniec prezentácie

Upravíme tak,že jednotkové vektory i , j , a k vyberieme pred zátvorky = 0 + axby k - axbz j + - aybx k + 0 + aybz i + + azbx j - azby i + 0 = = i( aybz - azby ) + j ( azbx - axbz ) + k ( axby - aybx ) Do MENU STOP koniec prezentácie

Vektorový súčin a determinant Čitateľovi, ktorý pozná determinanty je zrejmé, že posledný výraz možno formálne vyjadriť ako determinant : a x b = i( aybz - azby ) + j ( azbx - axbz ) + k ( axby - aybx ) a x b = Do MENU STOP koniec prezentácie

Koniec prezentácie VEKTORY Do MENU STOP koniec prezentácie