OPAKOVÁNÍ ZE 7. TŘÍDY

Celá a racionální čísla, početní operace Obvody a obsahy rovinných útvarů, konstrukce Objemy a povrchy těles Shodnost Přímá a nepřímá úměrnost, trojčlenka Poměr, měřítko mapy Trojčlenka, slovní úlohy

Celá čísla Čísla přirozená s nulou + rozšíření o záporná čísla (nalevo od 0) 5 a –5 … čísla navzájem opačná Číselná osa

Racionální čísla Lze je zapsat pomocí zlomku

DRUHÁ MOCNINA A ODMOCNINA

Intuitivní zavádění reálných čísel Obsah čtverce/objem krychle – výpočet strany (odmocniny) Mocniny V kterém učivu se žáci setkávají s tímto učivem? PYTHAGOROVA VĚTA OBVOD ČTVERCE OBJEM KRYCHLE POVRCH KRYCHLE OBSAH KRUHU OBJEM VÁLCE OBJEM KUŽELE OBJEM KOULE Zápis čísel pomocí mocnin 10 – aplikace ve fyzice (mikrosvět x Vesmír)

Druhá mocnina Součin dvou sobě rovných činitelů a ∙ a = a2 72 = 7 ∙ 7 a… základ 2… exponent, mocnitel a2… druhá mocnina (čteme á na druhou) 72 = 7 ∙ 7 (–0,1)2 = (–0,1) ∙ (–0,1) (–3)2 = 9 –32 = –9

Umocnit číslo na druhou znamená vypočítat jeho druhou mocninu. Druhá mocnina je vždy nezáporné číslo, tedy buď kladné číslo nebo nula. Druhá mocnina čísla a čísla k němu opačného se sobě rovnají. 22 = (–2)2 Umocnit číslo na druhou znamená vypočítat jeho druhou mocninu.

Určování druhé mocniny kalkulátor tabulky násobení (a + b)2 druhé mocniny čísel od 1 do 20 zpaměti

Umocňování na druhou čísel s „nulami“ Umocňování na druhou čísla „končícího nulami“ Umocňování na druhou desetinného čísla „začínajícího nulami“ Viz učebnice, 1. díl (Odvárko, Kadleček) – strana 6

Počítání s mocninami příklady

Druhá odmocnina Druhá odmocnina z nezáporného čísla a je NEZÁPORNÉ číslo b, pro které platí b2 = a. Píšu

Druhá odmocnina je vždy nezáporné číslo. Druhá odmocnina z žádného záporného čísla neexistuje. Záporné číslo tedy nemůžeme odmocnit dvěma.

Určování druhé odmocniny kalkulátor tabulky často jen přibližně (zaokrouhlené) druhé mocniny čísel od 1 do 20 zpaměti – obrácený postup

Odmocňování dvěma čísel s „nulami“ Odmocňování dvěma čísla „končícího nulami“ Odmocňování dvěma desetinného čísla „začínajícího nulami“ Viz učebnice, 1. díl (Odvárko, Kadleček) – strana 15, 16

Počítání s odmocninami příklad

Třetí mocnina Třetí mocnina čísla a je součin a ∙ a ∙ a = a3 (čteme á na druhou) 73 = 7 ∙ 7 ∙ 7 (–0,1)3 = (–0,1) ∙ (–0,1) ∙ (–0,1) Třetí mocnina kladného čísla je kladné číslo, nuly je nula, záporného čísla je záporné číslo. Příklady

Třetí odmocnina

Pravidla pro počítání s mocninami

Zápis čísla ve tvaru a ∙ 10n Opakování – zápis čísla v desítkové soustavě – zkrácený a rozvinutý; viz učebnice, 1. díl (Odvárko, Kadleček) – strana 47 Mocniny o základu 10 – strana 47 Každé kladné číslo můžeme zapsat ve tvaru a ∙ 10n, kde a je číslo větší nebo rovno 1 a menší než 10 a n je přirozené číslo. Kolečko z didaktiky matematiky Video mikrosvět/makrosvět

PYTHAGOROVA VĚTA

Pythagorova věta Opakování – přepona, odvěsna, pravý úhel Pythagoras, 6. století př. n. l. Je dán pravoúhlý trojúhelník s odvěsnami a, b a přeponou c. Pak v tomto trojúhelníku platí, že součet obsahů čtverců nad oběma odvěsnami je roven obsahu čtverce nad přeponou. Platí jen v pravoúhlém trojúhelníku

Jinak řečeno… c2 = a2 + b2 Důkaz Pythagorovy věty Pro pravoúhlý trojúhelník ABC s přeponou o délce c a s odvěsnami o délkách a, b platí: c2 = a2 + b2 Důkaz Pythagorovy věty

Věta obrácená k Pythagorově větě Jsou-li a, b, c délky stran trojúhelníku a platí-li pro ně c2 = a2 + b2, pak je trojúhelník pravoúhlý a c je délka jeho přepony.

Výpočet délek stran v pravoúhlém trojúhelníku

Motivace – algebrogramy, křížovky, matematická kouzla VÝRAZY A MNOHOČLENY Motivace – algebrogramy, křížovky, matematická kouzla

Číselné výrazy – výpočet hodnoty výrazu Ve výrazu bez závorek: Nejprve umocňujeme a odmocňujeme Potom násobíme a dělíme Nakonec sčítáme a odčítáme Ve výrazu se závorkami: Nejprve počítáme hodnoty výrazů v závorkách = odstraňujeme závorky

Typy závorek Kulaté (okrouhlé) ( ) Hranaté [ ] Složené { } Odstraňování závorek: - Nejdříve kulaté, pak hranaté, nakonec složené

Výrazy s proměnnou – výpočet hodnoty výrazu Hodnotu výrazu se dvěma proměnnými a, b vypočítáme dosazením čísel do výrazu.

Výraz Je každé číslo, každá proměnná Jejich součet, rozdíl, součin dvou výrazů Podíl dvou výrazů, za předpokladu, že dělitel je různý od nuly Mocnina, absolutní hodnota výrazu Opačné výrazy – liší se pouze znaménkem před všemi svými členy

Jednočlen

Mnohočlen

Sčítání a odčítání výrazů Sčítat a odčítat můžeme pouze ty členy, ve kterých jsou proměnné ve stejných mocninách. Sčítání mnohočlenů Odstraníme závorky Najdeme členy, ve kterých jsou stejné proměnné ve stejných mocninách Tyto členy sečteme (odečteme)

Násobení výrazů Při násobení jednočlenů můžeme koeficienty i proměnné libovolně sdružovat a zaměňovat jejich pořadí. Násobení mnohočlenu jednočlenem Násobení mnohočlenu mnohočlenem

Násobení mnohočlenu jednočlenem Násobení mnohočlenu mnohočlenem

Úprava na součin vytýkáním před závorkou

Úprava na součin pomocí vzorců Geometrická interpretace

Motivace? Zavedení lineární rovnice?

Rovnice s jednou neznámou

Řešení rovnice Řešit rovnici znamená určit všechna taková čísla, pro která se hodnota levé strany této rovnice rovná hodnotě její pravé strany. Každé takové číslo se nazývá kořen rovnice nebo řešení rovnice. O správnosti řešení se přesvědčíme zkouškou!

Ekvivalentní úpravy Takové, při kterých rovnice původní i rovnice upravená mají stejné kořeny Záměna obou stran rovnice Přičtení nebo odečtení stejného čísla nebo stejného výrazu (mnohočlenu) k oběma stranám rovnice Vynásobení nebo vydělení obou stran rovnice stejným číslem různým od nuly nebo stejným mnohočlenem, který je pro každou hodnotu proměnné různý od nuly

Řešení lineárních rovnic Zjednodušíme. Odstraníme závorky. Odstraníme zlomky. Všechny členy s neznámou převedeme ekvivalentními úpravami na jednu stranu rovnice, všechny členy bez neznámé (čísla) převedeme na druhou stranu rovnice. Vypočítáme neznámou. Provedeme zkoušku!!! Každá lineární rovnice má právě jeden kořen.

Užití lineárních rovnic Slovní úlohy Pozorně přečíst zadání Mezi neznámými údaji zvolit jednu neznámou Pomocí zvolené neznámé vyjádřit všechny údaje z textu Sestavit rovnici a vyřešit ji Provést zkoušku (nestačí dosadit do rovnice, ale do zadání úlohy!) Napsat odpověď Vyjádření neznámé ze vzorce

Motivace: dopravní značky, plecháček KRUH, KRUŽNICE Motivace: dopravní značky, plecháček

Kruh, kružnice Je dán bod S a reálné číslo r > 0. Kružnice k je množina všech bodů X v rovině, které mají od bodu S vzdálenost r. |SX|= r Kruh K (psacím) je množina všech bodů X v rovině, které mají od bodu S vzdálenost menší nebo rovnu r. |SX|≤ r

Kruh – jen oblouk, kružnice – vyplněný oblouk S = střed kružnice/kruhu r = poloměr kružnice/kruhu – úsečka s krajními body S a libovolným bodem kružnice d = průměr kružnice/kruhu – úsečka, jejímiž krajními body jsou 2 body kružnice a která prochází středem kružnice d = 2 ∙ r

Rýsujeme kružnici – vždy prvně vyznačíme střed! Rýsování Rýsujeme kružnici – vždy prvně vyznačíme střed! Libovolně (aby něco pěkného vzniklo – terče, kytičky, …) Kružnice, která má daný střed – poloměr libovolně (spíš větší) Daný střed a daný poloměr Daný střed a prochází daným bodem

Vzájemná poloha kružnice a přímky Sečna Tečna Vnější přímka

Tečna ke kružnici v daném bodě kružnice Tečna ke kružnici rovnoběžná s přímkou

Thaletova věta Obrácená věta Jestliže je dán pravoúhlý trojúhelník ABC s pravým úhlem u vrcholu C a přeponou AB, pak tento vrchol leží na kružnici s průměrem AB. Obrácená věta Jestliže vrchol C trojúhelníku ABC leží na kružnici s průměrem AB, pak trojúhelník ABC je pravoúhlý s přeponou AB.

Thaletova kružnice Množina vrcholů všech pravých úhlů, jejíž ramena procházejí body AB, je kružnice s průměrem AB s výjimkou bodů A, B Animace?

Užití Thaletovy věty Tečna ke kružnici z bodu ležící vně kružnice Viz učebnice, 3. díl (Odvárko, Kadleček) – strana 22 Nejprve vždy sestrojíme bod dotyku!!! Užití Thaletovy kružnice při konstrukci pravoúhlého trojúhelníku

Vzájemná poloha dvou kružnic Spojnice středů dvou kružnic = středná 1 společný bod vnitřní nebo vnější 2 společné body Žádný společný bod Společný střed Nemají společný střed

Soustředné kružnice Kružnice, které mají společný střed

Délka kružnice, obvod kruhu

Obsah kruhu

VÁLEC

Válec Motivace

Kreslíme válec

Síť válce

Povrch válce

Objem válce

KULOVÁ PLOCHA, KOULE

Koule, kulová plocha

Koule

KONSTRUKČNÍ ÚLOHY

Geometrické značky

Množiny všech bodů dané vlastnosti Ekvidistanta přímky Kružnice Kruh Osa úsečky Osa úhlů Mezikruží Viz samostatný dokument

Konstrukční úlohy – postup Rozbor – umění dívat se Načrtneme a barevně zvýrazníme zadané prvky Postup konstrukce – umění sestavit plán Zapíšeme postup konstrukce Konstrukce – umění realizovat plán Narýsujeme podle postupu Zkouška Přeměříme, zda odpovídá zadání, určíme počet řešení úlohy

Konstrukční úlohy Konstrukce trojúhelníků Konstrukce čtyřúhelníků Rovnoběžník Lichoběžník Konvexní čtyřúhelníky

ZDROJE ODVÁRKO, Oldřich a Jiří KADLEČEK. Matematika pro 8. ročník základní školy. (1), Mocniny a odmocniny, Pythagorova věta, výrazy. Praha: Prometheus, 1999. Učebnice pro základní školy. ISBN 80-7196-148-5. ODVÁRKO, Oldřich a Jiří KADLEČEK. Matematika pro 8. ročník základní školy. (2), Lineární rovnice, základy statistiky. Praha: Prometheus, 1999. Učebnice pro základní školy. ISBN 80-7196-167-1. ODVÁRKO, Oldřich a Jiří KADLEČEK. Matematika pro 8. ročník základní školy. (3), Kruh, kružnice, válec, konstrukční úlohy. Praha: Prometheus, 2000. Učebnice pro základní školy. ISBN 80-7196-183-3. EISLER, Jaroslav. Matematika od pětky do osmičky. Havlíčkův Brod: Fragment, 1994. ISBN 80-85768-26-7.

http://old. zsdobrichovice http://old.zsdobrichovice.cz/programy/matika/image/prav_abc_obsahy_barevny_500.jpg http://images.slideplayer.cz/12/3764622/slides/slide_4.jpg http://konstrukce.wbs.cz/kruznice.png http://www.matematika.cz/content/images/thalet1.png http://www.oskole.sk/userfiles/image/Zofia/M%C3%A1j/Matematika/1.jpg