Množiny

Základné pojmy prvok – objekt, z ktorých sa skladá množina množina – súhrn objektov určitej vlastnosti je jednoznačne určená, keď o každom prvku vieme povedať, či danú vlastnosť má alebo nemá, t.j. či do množiny patrí alebo nepatrí označenie množiny – A, B, C, X, N, R, Z, Q, . . . označenie prvku – a1, x2, . . . označenie vzťahu prvok x patrí do množiny A x  A prvok x nepatrí do množiny A x  A označenie počtu prvkov množiny  A  = číselná hodnota

Určenie množiny vymenovaním všetkých jej prvkov (pri konečných množinách) Konečná množina: je to množina, ktorá má konečný počet prvkov napr.: A = {1,2,3,4}, B = {Jano, Fero, Mišo, Adam} udaním charakteristickej vlastnosti prvkov množiny (pri nekonečných množinách) Nekonečná množina: je to množina, ktorá má nekonečný počet prvkov napr. množina všetkých reálnych čísel, B = {x  N; x > 6}

Zobrazenie množín spôsob - kruhy: spôsob – Vennove diagramy:

Zvláštny prípad množiny Prázdna množina je množina, ktorá neobsahuje žiaden prvok zápis: A = Ø

Vzťahy medzi množinami Rovnosť množín: def.: Množiny A a B sa rovnajú (A=B) práve vtedy, keď každý prvok je súčasne prvkom množiny A aj B zápis: x: A = B  x A  x B Množinová inklúzia (podmnožina): def.: Množina A je podmnožinou množiny B (A  B), ak každý prvok množiny A je zároveň prvkom množiny B. (opačne to neplatí) zápis: x: A  B  (x A  x B) Ø Ø Ø

Operácie s množinami Prienik množín: def.: Prienikom množín A,B nazývame množinu A  B tvorenú práve tými x, ktoré sú súčasne prvkami oboch množín A, B zápis: x  A  B  x A  x B Zjednotenie množín: def.: Zjednotením množín A,B nazývame množinu A B tvorenú práve tými x, ktoré sú prvkami aspoň jednej z množín A,B zápis: x  A  B  x A  x B

Operácie s množinami Rozdiel množín: def.: Rozdielom množín A,B (v uvedenom poradí) nazývame množinu A – B tvorenú práve tými x, ktoré patria do množiny A a nepatria do množiny B zápis: x  A \ B  x A  x  B Doplnok (komplement) množiny: def.: Doplnkom množiny A v jej nadmnožine B nazývame množinu A’B tvorenú práve tými x, ktoré sú prvkami B, ale nie sú prvkami A zápis: x  A’B  x  B  x  A

Príklad 1 Dané sú množiny A = x N x  6 B = x Z -3  x  3 C = x N x /24(x delí číslo 24). Vymenujte prvky jednotlivých množín Určte prieniky dvojíc množín aj všetkých troch Nakreslite množiny A, B, C v jednom obrázku riešenie

Príklad 2 Uložte prvky na Vennovom diagrame do správnej časti, ak množiny A, B majú prvky: A = 1, 2, 3, 4, 5 B = 1, 3, 5, 7 riešenie

Príklad 3 Uložte prvky na Vennovom diagrame do správnej časti, ak množiny A, B, C majú prvky: A = 1, 2, 3, 4, 5 B = 1, 3, 5, 7, 8 C = 2, 3, 6,7 riešenie

Príklad 4 Zobrazte na Vennovom diagrame množiny: A  B’ B’  A  C C’  A’  B A  B  C’ A  B’  C’ B  A’  C A  C  B’ C’  A  B’ B  C’  A’ A  B  C’ A  B  C’ riešenie a)-f) riešenie g)-l)

Príklad 4 Zobrazte na Vennovom diagrame množiny: A \ B’ B’  (A \ C)’ C’  (A’  B) A \ B  C’ (A  B)’  C’ B  A’ \ C A  (C  B)’ C’  A  B’ (A  C)’  B’ A \ B \ C’ (A  B  C)’ riešenie m)-r) riešenie s)-x)

Príklad 5  A  = 15  N  = 13  A  N  = 7 15 žiakov triedy chodí na angličtinu, 13 na nemčinu. Na angličtinu aj nemčinu chodí 7. Koľko žiakov má trieda, ak každý žiak chodí aspoň na jeden jazyk? N A  A  = 15  N  = 13  A  N  = 7 15 - 7 13 - 7 8 7 6 Počet žiakov: 8 + 7 + 6 = 21 V triede je 21 žiakov.

Príklad 6 3 2 7 5 1 4 5 V triede je 27 žiakov. 11 žiakov triedy chodí na angličtinu, 19 na nemčinu, a 15 na francúzštinu. 8 chodia na angličtinu aj nemčinu, 9 na nemčinu a francúzštinu a 6 na angličtinu a francúzštinu. 5 žiakov chodí na všetky tri jazyky. Koľko žiakov má trieda, ak každý žiak chodí aspoň na jeden jazyk? N A  A  = 11  N  = 19  F  = 15  A  N  = 8  N  F  = 9  A  F  = 6  A  F  N  = 5 3 2 7 5 1 4 5 Žiakov: 2+1+3+5+7+4+5=27 F V triede je 27 žiakov.

Príklad 7 Z obrázka vyčítajte počty žiakov chodiacich na angličtinu, nemčinu a ruštinu.  A  =  N  =  R  =  A  N  =  N  R  =  A  R  =  A  R  N  = A N R 4 1 3 2 5 V triede je ..... žiakov.

koniec

Riešenie príklad 1 späť Dané sú množiny A = x N x  6 B = x Z -3  x  3 C = x N x /24(x delí číslo 24) Vymenujte prvky jednotlivých množín Určte prieniky dvojíc množín aj všetkých troch Nakreslite množiny A, B, C v jednom obrázku a) c) A = 1, 2, 3, 4, 5 B = -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 C = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 b) A  B = 1, 2, 3 A  C = 1, 2, 3, 4 B  C = 1, 2, 3 A  B  C = 1, 2, 3 späť

Riešenie príklad 2 Uložte prvky na Vennovom diagrame do správnej časti, ak množiny A, B majú prvky: A = 1, 2, 3, 4, 5 B = 1, 3, 5, 7 späť

Riešenie príklad 3 Uložte prvky na Vennovom diagrame do správnej časti, ak množiny A, B, C majú prvky: A = 1, 2, 3, 4, 5 B = 1, 3, 5, 7, 8 C = 2, 3, 6,7 späť

Riešenie príklad 4a)-f) Zobrazte na Vennovom diagrame množiny: A  B’ B  A’  C A’  B C’  A  B’ A  B  C’ A  B  C’ späť

Riešenie príklad 4g)-l) B’  A  C A  C  B’ C’  A’  B B  C’  A’ A  B’  C’ A  B  C’ späť

Riešenie príklad 4m)-r) A \ B’ B  A’ \ C A’ \ B C’  A  B’ A \ B  C’ A \ B \ C’ späť

Riešenie príklad 4s)-x) B’  (A \ C)’ A  (C  B)’ C’  (A’  B) (A  C)’  B’ (A  B)’  C’ (A  B  C)’ späť