FUNKCE Hejný [str. 240] ontogeneze funkčního myšlení životní zkušenosti – představa o kvantitativních vazbách příčiných jevů (otočení kolečka -> zvýšení hlasitosti, baterie vodovodní -> silnější/slabší proud) intuitivní užití získaných zkušeností pro řešení některých problémů (odhadování času – 10s = 16 kroků, odhadni 15s, 7,5 s, 18 sekund; tabulková metoda řešení rovnic vyššího stupně; graf – závislost dráhy na čase) systematická práce s funkcemi 2 způsoby práce – funkce jako matematický objekt x užití funkcí na modelování situací Hejný [str.404] lineární závislost a její graf zasahuje do 3 oblastí rozvoje M znalostí model řady reálných dějů první setkání Ž s funkční závislostí propedeutika rovnice přímky př. Věrný pes Alík zaslechl pes svého pána Bartoloměje vracející ho se rychlostí 4km/h z procházky. Alík vyběhl naproti pánovi a za 18 s byl u něj. Hned jak k němu doběhl vyrazil zpět na místo, odkud vyběhl za Bartolomějem a odtud zas zpět k pánovi atd, až dokud Bartoloměj nepřišel domů. Alík běhal rychlostí 20 km/h. Kolik metrů Alík naběhal? [dráha první 100 m, čas, který běhal je 90 s. Běhal 108 s, Bartoloměj ušel 120 m, Alík 600 m. ]

určí definiční obor funkce, obor hodnot, funkční hodnotu - výstupy 2. stupeň rozhodne, zda je daná závislost mezi dvěma veličinami funkcí, uvede příklady z běžného života určí definiční obor funkce, obor hodnot, funkční hodnotu vyjádří lineární funkci, konstantní funkci, přímou a nepřímou úměrnost tabulkou, rovnicí, grafem užívá tabulkového kalkulátoru k vyjádření funkce odhalí funkční vztah v textu úlohy využívá znalosti o funkcích k řešení praktických úloh 2

Rozhodni, zda je tabulkou/grafem zadána funkce - úlohy POJEM FUNKCE GRAF FUNKCE Rozhodni, zda je tabulkou/grafem zadána funkce Urči definiční obor a obor hodnot – z tabulky, z předpisu Doplň tabulku – předpis je/není zadán Dvojice patří/nepatří funkci. Urči funkční hodnotu f(a). Napiš rovnici funkce dané tabulkou. Načrtni graf funkce dané tabulkou/předpisem. Určete D a H funkce. Určit z grafu, pro jaká x nabývá funkce kladných záporných hodnot, menší/větší než zadané číslo 3

Z tabulky/grafu/předpisu urči, zda roste nebo klesá. Funkce - úlohy Vlastnosti funkce Z tabulky/grafu/předpisu urči, zda roste nebo klesá. Z grafu urči, kde roste a kde klesá. 4

FUNKCE – různé definice funkce jako předpis funkce jako přiřazení funkce jako speciální případ zobrazení ad1 „Funkcí nazýváme předpis, který každému prvku dané číselné množiny D(f) přiřazuje nejvýše jedno (žáné nebo jedno) číslo z množiny všech reálných čísel R. Množina D(f) se nazývá definiční obor funkce f.“ (Coufalová a kol.: Matematika pro 9. ročník. Fortuna, str. 116) ad2 „Každá funkce vyjadřuje závislost dvou veličin x, y. Ke každé hodnotě nezávisle proměnné x (z definičního oboru) je funkcí přiřazena jediná hodnota závisle proměnné y (funkční hodnota). (Rosecká, Z.: Algebra 9. Nová škola, str. 72) ad2 „Skutečnost, že proměnná y závisí na proměnné x (hodnota y je určena hodnotou x), vyjadřujeme rčením: „Proměnná y je funkcí proměnné x“, stručněji „y je funkcí x“. (Herman a kol.: Funkce. Kvarta. Prometheus, str. 10) ad3 viz VŠ-přednášky 5

Kterým předpisem je dána lineární funkce. úlohy Lineární funkce Kterým předpisem je dána lineární funkce. Sestroj graf lin. funkce dané předpisem. Rozhodni, zda je lin. funkce klesající nebo rostoucí Sestroj graf funkce procházející daným bodem a rovnoběžné s grafem funkce dané předpisem. Najděte souřadnice průsečíků s osou x a s osou y. Grafické řešení SLR 2x2. 6

Lineární funkce - motivace př. Doplň tabulku: Sestroj v pravoúhlé soustavě souřadnic body odpovídající [x, y] a zapiš rovnici příslušné funkce. x 2 3 4 6 y 10 14

Lineární funkce - motivace př. Sestroj graficky, jak se mění teplota vzduchu s výškou, víš-li, že na každých 100 výškových metrů poklesne o stejnou teplotu. Doplň tabulku. Napiš rovnici funkce dané tabulkou. h [m] 200 400 600 800 t [°C] 16 14,8

 funkce, kterou lze zapsat rovnicí graf lineární funkce  množinou všech bodů [x,y], pro něž je přímka rostoucí a klesající funkce  funkce je rostoucí v D(f), pokud pro každé dvě x1, x2, dvě platí: Je-li x1 > x2, pak f(x1) > f(x2) průsečíky s osami  souřadnice x průsečíku grafu funkce s osou y je rovna nule.  souřadnice y průsečíku grafu funkce s osou x je rovna nule.

Lineární funkce Úlohy Vyber lineární funkce. Urči f(1). Patří bod [-4,5] funkci? Urči, zda jsou rostoucí (klesající), najdi průsečíky s osami.

Lineární funkce Úlohy Vyber lineární funkce. Urči f(1). Patří bod [-4,5] funkci? Urči, zda jsou rostoucí (klesající), najdi průsečíky s osami. Funkce dané tabulkou nemohou být lineární funkce, neboť jejich definičním oborem není R. (Druhou funkci danou druhou tabulkou by bylo možno rozšířit na lineární funkci.) x 2 3 4 5 6 y 8 10 15 16,5 x 3 2 4 6 -1 y -2 -4 -8 x -3 2 -1 6 y 4 -6 -8

Lineární funkce Úlohy Vyber lineární funkce. Urči f(1). Patří bod [-4,5] funkci? Urči, zda jsou rostoucí (klesající), najdi průsečíky s osami. 1 0 1 1 0 1 1 0 1

Lineární funkce – speciální případy Motivace Narýsuj graf závislosti délky obvodu čtverce na velikosti jeho strany.

Lineární funkce – speciální případy funkce přímé úměrnosti modře – graf přímé úměrnosti černě – graf funkce přímé úměrnosti

Lineární funkce – speciální případy konstantní funkce

Lineární funkce – vlastnosti Narýsuj grafy lineárních funkcí: , které náleží body [-4, 3] a [2, 0] , jejíž graf prochází počátkem a je rovnoběžný s grafem funkce f2. Všechny funkce zapiš rovnicí.

Lineární funkce – vlastnosti Jestliže v rovnicích lineárních funkcí: pak jsou grafy těchto funkcí rovnoběžné přímky. Určete rovnici lineární funkce, jejíž graf je rovnoběžný s grafem funkce a prochází bodem

Lineární funkce – využití grafické řešení soustav lineárních rovnic slovní úlohy červeně a zeleně situace, kdy SLR nemá řešení, má nekonečně mnoho řešení

Lineární funkce – využití Zahrádkáři užívají dvě cisterny s vodou. Pozdě na podzim před prvními mrazy cisterny vyprazdňují. Z větší zcela plné cisterny o objemu 8m3 vytéká voda rychlostí 4l/s, z menší cisterny o objemu 5 m3 zaplněné z 80% vytéká voda rychlostí 1,5l/s. Za kolik minut bude v obou cisternách stejné množství vody? Sestavte tabulky, zakreslete grafy do soustavy souřadnic.

Kvadratická funkce - motivace Sestrojte (1) Graf závislosti dráhy volného (1) graf závislosti obsahu pádu na době pádu a graf čtverce na délce jeho strany (2) funkce dané předpisem y= 5x2 a (2)graf daný předpisem y = x2.

Kvadratická funkce - definice graf kvadratické funkce  funkce, kterou lze zapsat rovnicí y = ax2, a ≠ 0, D(f) = R  množina všech bodů [x,y], pro něž y = ax2, a ≠ 0, D(f) = R  parabola motivace – separované modely – zadat různým různé trojice koeficientů, tabulka funkční hodnot – graf, porovnávání, vyvozování

Kvadratická funkce - úlohy Úlohy: Sestroj grafy funkcí: Urči jejich obory hodnot. Porovnej vzájemně obory hodnot a rovnice funkcí.

Kvadratická funkce - vlastnosti  obor hodnot pro a > 0, a < 0  nejmenší a největší hodnota funkce  kde je funkce klesající a kde je rostoucí

Kvadratická funkce - úlohy Kterým z předpisů je dána kvadratická funkce: y = x2/5 y = –4x y = 2/x2 y = 3x2 Rozhodni, zda dvojice vyhovuje rovnici funkce: Určete rovnici kvadratické funkce procházející bodem [5, -4]. Za jak dlouho spadne kámen na zem puštěný z rozhledny vysoké 125 m. Narýsuj graf závislosti obsahu kruhu na poloměru.