(doplnkový materiál k predmetu Logika, Množiny, Relácie) Autori: doc. RNDr. Pavel Híc, CSc. PaedDr. Milan Pokorný Dátum poslednej úpravy: september 2005

OBSAH 1. Pojem výroku. 2. Pravdivostná hodnota výroku. 3. Zložené výroky. 4. Výrokové funkcie, ich definičný obor a obor pravdivosti. 5. Kvantifikované výroky. Malý a veľký kvantifikátor. 6. Nutná a postačujúca podmienka. 7. Negácie výrokov. 8. Tautológie, kontradikcie.

1. Pojem výroku Výrok je nejaké tvrdenie v tvare oznamovacej vety, o pravdivosti (správnosti) ktorého má zmysel hovoriť. Pravdivosť (správnosť) výroku chápeme aj intuitívne. Napríklad: Bratislava je hlavné mesto Slovenskej republiky. Peru je prímorský štát. Počet obyvateľov Slovenska je približne 5 miliónov. V tejto budove je v tomto momente 420 ľudí. Úloha: Vytvorte tri podobné výroky.

Výslovne upozorňujeme, že pojem výroku je spojený len s možnosťou hovoriť o jeho pravdivosti či nepravdivosti, ale nie sme povinní vedieť rozhodnúť, či ide o pravdivý a či nepravdivý výrok. Je zrejme ťažké okamžite rozhodnúť o pravdivosti výrokov V tejto budove je v tomto momente 420 ľudí. Na Červenom námestí práve teraz prší. Na hlave mám 205 174 vlasov. Napriek tomu, dané výroky sú buď pravdivé, alebo nepravdivé. Úloha: Vytvorte tri výroky, o pravdivosti ktorých je ťažké okamžite rozhodnúť.

Príklady gramatických viet, ktoré nie sú výrokmi: Choď do obchodu a kúp dve pečivá! Bol si už tento rok v Prahe? Koľko korún máš v peňaženke? Úloha: Vytvorte tri gramatické vety, ktoré nie sú výrokmi. Príklady formúl, ktoré nie sú výrokmi: 1:0=6 log -3 < 7 Úloha: Vytvorte tri matematické formule, ktoré nie sú výrokmi.

2. Pravdivostná hodnota výroku Ako už vieme, výrok je tvrdenie v tvare oznamovacej vety, o pravdivosti (správnosti) ktorého má zmysel hovoriť. Výrok teda môže byť buď pravdivý, alebo nepravdivý. Príklady pravdivých výrokov: Bratislava je hlavné mesto Slovenskej republiky. Počet obyvateľov Slovenska je približne 5 miliónov. Oficiálnym jazykom v Rakúsku je nemčina. Úloha: Vytvorte tri pravdivé výroky.

Príklady nepravdivých výrokov: Bratislava je hlavné mesto Rakúska. Dunaj je najdlhšia rieka na svete. Berlínsky múr bol postavený v roku 1989. Úloha: Vytvorte tri nepravdivé výroky. Existujú aj výroky, ktorých pravdivostnú hodnotu nevieme určiť, napriek tomu, že sú buď pravdivé, alebo nepravdivé. Takéto výroky v matematike často označujeme ako hypotézy. V minulosti boli takýmito výrokmi napríklad Euklidova piata axioma alebo problém štyroch farieb. (podrobnejšie vysvetliť na prednáške)

Pravdivostnú hodnotu pravdivých výrokov označujeme 1. Pravdivostnú hodnotu nepravdivých výrokov označujeme 0. Úloha: Určte pravdivostné hodnoty výrokov A: Číslo 6 je deliteľné číslom 2. B: Číslo 2 je deliteľné číslom 6. C: Mesiac je celý z gumy. D: V tomto roku mal február 29 dní. E: Som študentkou pedagogickej fakulty a študujem v 1. ročníku. F: Som študentkou pedagogickej fakulty a študujem v 4. ročníku. G: Ak prší, potom je mokrý chodník. H: Ak pôjdem večer do TESCA, budem platiť kartou. I: Cesta je mokrá len vtedy, keď prší. J: Do kina pôjdem len vtedy, ak mi niekto zaplatí lístok.

3. Zložené výroky V jazyku okrem jednoduchých viet používame aj súvetia, ktoré sa skladajú z viacerých jednoduchých viet. Podobne je to aj s výrokmi. Zložené výroky tvoríme pomocou jednoduchých výrokov a logických spojok. Najčastejšie používané logické spojky sú: a konjunkcia alebo disjunkcia ak ..., potom ... alternatíva ... práve vtedy, ak ... ekvivalencia

Konjunkcia je pravdivá, ak sú pravdivé oba jednoduché výroky, z ktorých sa skladá. Označujeme ju . Výrok A: Dunaj tečie cez Bratislavu. pravdivý výrok Výrok B: Dunaj tečie cez Prahu. nepravdivý výrok Výrok C: Vltava tečie cez Bratislavu. nepravdivý výrok Výrok D: Vltava tečie cez Prahu. pravdivý výrok Konjunkcia výrokov AD: Dunaj tečie cez Bratislavu a Vltava tečie cez Prahu. Konjunkcia je pravdivá, lebo oba jednoduché výroky, z ktorých sa skladá, sú pravdivé. Konjunkcia výrokov BD: Dunaj tečie cez Prahu a Vltava tečie cez Prahu. Konjunkcia je nepravdivá, lebo prvý výrok je nepravdivý. Úloha: Vytvorte výroky AC, CD, AB, CB, CA a rozhodnite o ich pravdivosti.

Pravdivostná tabuľka konjunkcie A  B: A B A  B 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 Úloha: Vytvorte tri zložené výroky v tvare konjunkcie a rozhodnite o ich pravdivosti.

Disjunkcia je pravdivá, ak je pravdivý aspoň jeden z jednoduchých výrokov, z ktorých sa skladá. Označujeme ju . Výrok A: Dunaj tečie cez Bratislavu. pravdivý výrok Výrok B: Dunaj tečie cez Prahu. nepravdivý výrok Výrok C: Vltava tečie cez Bratislavu. nepravdivý výrok Výrok D: Vltava tečie cez Prahu. pravdivý výrok Disjunkcia výrokov AD: Dunaj tečie cez Bratislavu alebo Vltava tečie cez Prahu. Disjunkcia je pravdivá, lebo oba jednoduché výroky, z ktorých sa skladá, sú pravdivé. Disjunkcia výrokov BD: Dunaj tečie cez Prahu alebo Vltava tečie cez Prahu. Disjunkcia je pravdivá, lebo druhý výrok je pravdivý. Úloha: Z výrokov A, B, C, D vytvorte zložený výrok v tvare disjunkcie tak, aby bol nepravdivý.

Pravdivostná tabuľka disjunkcie A  B: A B A  B 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 V čom spočíva rozdiel medzi chápaním disjunkcie v matematike a v bežnom živote? Úloha: Vytvorte tri zložené výroky v tvare disjunkcie a rozhodnite o ich pravdivosti.

Implikácia AB je nepravdivá iba vtedy, ak výrok A je pravdivý a výrok B je nepravdivý. Označujeme ju . Implikácia má v matematike veľký význam, nakoľko väčšina matematických viet má tvar implikácie či ekvivalencie. Výrok A nazývame predpoklad, výrok B tvrdenie. Výrok A: Pôjdem do Tesca. Výrok B: Kúpim banány. Implikácia A  B: Ak pôjdem do Tesca, potom kúpim banány. Táto implikácia je pravdivá, ak: 1. šiel som do Tesca a kúpil som banány, 2. nešiel som do Tesca (bez ohľadu na to, či som kúpil banány). Úloha: Kedy je táto implikácia nepravdivá?

Pravdivostná tabuľka implikácie A  B: A B A  B 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 V živote chápeme implikáciu často ako ekvivalenciu. V čom spočíva rozdiel medzi chápaním implikácie v matematike a v bežnom živote? Úloha: Vytvorte dva zložené výroky v tvare implikácie a rozhodnite, za akých podmienok sú pravdivé a za akých nepravdivé.

Ekvivalencia je pravdivá, ak sú oba výroky buď pravdivé, alebo oba nepravdivé. Označujeme ju . Výrok A: Pôjdem do Tesca. Výrok B: Kúpim banány. Ekvivalencia A  B: Pôjdem do Tesca vtedy a len vtedy, keď kúpim banány. Pôjdem do Tesca práve vtedy, keď kúpim banány. Táto ekvivalencia je pravdivá, ak: 1. šiel som do Tesca a kúpil som banány, 2. nešiel som do Tesca a nekúpil som banány. Úloha: Kedy je táto ekvivalencia nepravdivá?

Pravdivostná tabuľka ekvivalencie A  B: A B A  B 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 Úloha: Vytvorte dva zložené výroky v tvare ekvivalencie a rozhodnite, za akých podmienok sú pravdivé a za akých nepravdivé.

Úloha: Určte pravdivostnú hodnotu nasledujúcich zložených výrokov. A: Číslo 10 je párne a číslo 20 je nepárne. B: Číslo 10 je párne alebo číslo 20 je nepárne. C: Ak je číslo 10 párne, potom číslo 20 je nepárne. D: Číslo 10 je párne vtedy a len vtedy, ak číslo 20 je nepárne. E: Ak Dunaj preteká Bratislavou, potom pramení na Slovensku. F: Ak Dunaj pramení na Slovensku, potom preteká Bratislavou. G: Dunaj preteká Bratislavou a pramení na Slovensku. H: Dunaj preteká Bratislavou alebo pramení na Slovensku. I: Večer idem do kina alebo nejdem do kina. J: Ak vyhrám voľby, budem premiérom. (predpokladajte, že vo voľbách nekandidujem)

4. Výrokové funkcie (formy), ich definičný obor a obor pravdivosti Výroková funkcia (forma) (x) je formálny výraz (formula), ktorý obsahuje znak x, pričom x berieme z nejakej množiny M. Ak za x zvolíme pevne ľubovoľný prvok z M, zmení sa (x) na výrok (pravdivý alebo nepravdivý). Výroková funkcia nie je výrok. Výroky z nej dostaneme postupným dosádzaním hodnôt za premenné. Množina M sa nazýva definičným oborom výrokovej funkcie (x). Množina všetkých tých prvkov yM, pre ktoré (y) je pravdivý výrok, sa nazýva obor pravdivosti výrokovej funkcie (x).

Úloha: Dosadením troch prirodzených čísel za n vytvorte z výrokovej funkcie 3|n tri rôzne výroky. Určte ich pravdivostné hodnoty. 3|15 pravdivý výrok 3|17 nepravdivý výrok 3|1551 pravdivý výrok Úloha: Dosadením troch reálnych čísel za x vytvorte z výrokovej funkcie x>x2 tri rôzne pravdivé výroky. Úloha: Dosadením troch dátumov za x vytvorte z výrokovej funkcie „Dňa x pršalo“ tri rôzne výroky. Úloha: Dosadením troch mien z prítomných osôb v tejto miestnosti za x vytvorte z výrokovej funkcie „X sedí v treťom rade“ tri rôzne výroky.

Úloha: Určte definičný obor a obor hodnôt výrokovej funkcie Riešenie: Najprv určíme definičný obor: D = R Definičným oborom výrokovej funkcie je množina všetkých reálnych čísel. Teraz určíme obor pravdivosti:

Úloha: Určte definičný obor a obor hodnôt výrokovej funkcie Riešenie: Najprv určíme definičný obor: D = R-{1} Definičným oborom výrokovej funkcie je množina všetkých reálnych čísel okrem čísla 1.

Teraz určíme obor pravdivosti: Určíme nulové body výrazu v čitateli a v menovateli: -5, 0, 1. Tieto body rozdelia číselnú os na štyri intervaly.

Urobíme tabuľku:

Úloha: Určte definičný obor a obor hodnôt výrokových funkcií

5. Kvantifikované výroky. Malý a veľký kvantifikátor. Už vieme, že z výrokových funkcií môžeme tvoriť výroky dosádzaním hodnôt za jednotlivé premenné. Výroky však možno tvoriť aj pomocou kvantifikátorov. Príklady kvantifikovaných výrokov: Ani jedno dievča v tejto triede nemá oblečenú sukňu. Aspoň päť guličiek vo vrecúšku je modrých. Práve sedem detí bolo vybraných na školský výlet. V kine bolo menej ako 50 ľudí. Úloha: Napíšte aspoň tri príklady na kvantifikované výroky.

Špeciálny typ kvantifikovaných výrokov dostaneme, ak k výrokovej funkcii (x) pridáme slová „pre každé“ alebo „existuje“. Napríklad: Pre každé prirodzené číslo n platí, že . ... pravdivý výrok Zapisujeme: Pre každé reálne číslo x platí, že . ... pravdivý výrok Pre každé reálne číslo x platí, že . ... nepravdivý výrok Úloha: Vytvorte aspoň tri kvantifikované výroky pomocou slov „pre každé“ a určte ich pravdivostnú hodnotu.

Existuje prirodzené číslo n, pre ktoré platí . ... pravdivý výrok Zapisujeme: Existuje reálne číslo x, pre ktoré platí . ... nepravdivý výrok Existuje reálne číslo a, pre ktoré má rovnica práve jedno riešenie. , že rovnica má práve jedno riešenie. Úloha: Určte pravdivostnú hodnotu predchádzajúceho výroku. Úloha: Vytvorte aspoň tri kvantifikované výroky pomocou slova „existuje“ a určte ich pravdivostnú hodnotu.

Ak (x) je výroková funkcia definovaná na množine M, tak výraz , resp. čítame: ,,Existuje taký prvok x z množiny M, že platí (x)”. Symbol  nazývame malý (alebo aj existenčný) kvantifikátor. Podobne výraz čítame: ,,Pre každý prvok x z množiny M platí (x)”. Symbol  nazývame veľký (alebo aj všeobecný) kvantifikátor.

6. Nutná a postačujúca podmienka Predstavme si nasledujúcu situáciu: V utorok učiteľka prikázala dievčatám, aby v stredu do školy prišli v bielych tričkách. Predpokladajme, že všetky dievčatá učiteľku poslúchli. To znamená, že ak za x dosadíme ľubovoľného žiaka v triede, platí výrok: Ak x je dievča, potom má oblečené biele tričko. Predpokladajme, že je streda. Na matematike učiteľka vyvolala k tabuli jedno z dievčat. Čo možno povedať o jeho oblečení? Vieme, že určite má oblečené biele tričko. Skutočnosť, že pri tabuli je dievča, je teda postačujúca pre konštatovanie, že žiak pri tabuli má oblečené biele tričko.

Teraz predpokladajme, že učiteľka vyvolala k tabuli niekoho v bielom tričku. Čo možno povedať o jeho pohlaví? Nevieme, či je to dievča alebo chlapec. (chlapcom nikto nezakázal prísť v bielom tričku) Skutočnosť, že pri tabuli je niekto v bielom tričku, nie je postačujúca pre konštatovanie, že pri tabuli je dievča. Skutočnosť, že pri tabuli je niekto v bielom tričku, je nutná pre to, aby to mohlo byť dievča. Ak by totiž pri tabuli bol niekto v zelenom tričku, tak to určite musí byť chlapec. Úloha: Vymyslite podobný príklad. V implikácii A  B výrok A nazývame predpokladom, výrok B záverom. Predpoklad A je postačujúca podmienka pre záver B. Záver B je nutná podmienka pre predpoklad A.

7. Negácie výrokov Jednoduché výroky: Výrok A: Prší. Negácia výroku A: Neprší. (ozn. A’,  A) A: Večer pôjdem do kina. A’: Večer nepôjdem do kina. Úloha: Negujte výroky: A: Bratislava je hlavné mesto Slovenska. B: Tri je viac ako päť. C: V triede je práve 5 žiakov. D: Aspoň dvaja žiaci si neurobili úlohu. E: Najviac jeden žiak neprospel. F: Minimálne štyria žiaci boli vylúčení pre neprospech. G: Teplota vody v bazéne bola menej ako 30°C.

Zložené výroky: AB negujeme A’  B’ AB negujeme A’  B’ AB negujeme A  B’ AB negujeme (A’  B)  (A  B’) A B A’ B’ AB A’B’ AB A’B’ 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 A B A’ B’ AB AB’ AB (A’B)(AB’) 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0

Úloha: Negujte výroky: A: Kúpim citróny alebo pomaranče. B: Tri je menej ako päť a sedem je viac ako štyri. C: Ak pôjdeš pred siedmou, zveziem ťa. D: Do kina pôjdem práve vtedy, keď budú dávať Múmiu. E: Vonku prší alebo sneží. F: Kúpim si lístok a pukance. G: Ak potečie teplá voda, osprchujem sa. H: Pôjdem s tebou len vtedy, keď všetko zaplatíš.

Pravidlá pre tvorbu negácie výrokov formulovaných pomocou všeobecného a existenčného kvantifikátora Negáciou výroku: ,,Existujú také x z M, pre ktoré platí výrok (x)” je výrok: „Pre každé xM platí negácia výroku (x)”. resp. „Pre žiadne xM neplatí výrok (x)”. ,,Pre každé xM platí (x)” je výrok: „Existuje také xM, pre ktoré neplatí výrok (x)”.

Úloha: Negujte výroky: A: Všetky dievčatá v tejto triede nosia okuliare. B: Existuje predmet, ktorý ma aspoň trochu zaujíma. C: Aspoň jeden počítač v 3T1 je voľný. D: Všetci žiaci prospeli. E: Žiaden žiak nedostal pätorku. F: Existuje také reálne číslo x, ktoré je riešením rovnice x2 = -1. G: Ani jedno reálne číslo x nie je riešením rovnice x2 = -1. H: Každé reálne číslo x je riešením rovnice x2 = -1. I: Existuje také reálne číslo x, ktoré nie je riešením rovnice x2 = -1.

Implikácia Implikáciu BA nazývame obrátenou implikáciou k implikácii A B. Implikáciu B’A‘ nazývame obmenou implikácie A B. Implikácia má rovnakú pravdivostnú hodnotu ako jej obmena. Pravdivostná hodnota implikácie a obrátenej implikácie je rôzna. A B A’ B’ AB BA B’A‘ 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1

Úloha: Vytvorte obrátenú implikáciu a obmenu a určte ich pravdivostné hodnoty: A: Ak je dnes utorok, potom máme školu až do šiestej. B: Ak 3|9, potom 6|25. C: Ak nosím okuliare, potom som ďalekozraký(á). D: Ak Dunaj tečie cez Bratislavu, potom tvorí časť hranice Slovenska s Maďarskom.

Tautológie (logické identity), Kontradikcie Logickou identitou (tautológiou) nazývame každú formulu zloženú zo znakov p, q, ... a logických spojok, ktorá sa zmení na pravdivý výrok, keď za p, q, ... dosadíme akýkoľvek výrok (pravdivý alebo nepravdivý). Kontradikciou nazývame každú formulu zloženú zo znakov p, q, ... a logických spojok, ktorá sa zmení na nepravdivý výrok, keď za p, q, ... dosadíme akýkoľvek výrok (pravdivý alebo nepravdivý). Formulu zloženú zo znakov p, q, ... a logických spojok nazývame splniteľnou, ak sa zmení na pravdivý výrok pri vhodnom dosadení výrokov za p, q, ... .

Nech p, q, r sú ľubovoľné výroky Nech p, q, r sú ľubovoľné výroky. Potom nasledujúce formuly sú logické identity (tautológie): 1. p q  q p, pq  qp („komutatívny zákon“), 2. p(qr)  (pq)r , p(qr)  (pq)r („asociatívny zákon“), 3. p(qr)  (pq)(pr) („distributívny zákon“), 4. p( p) p( p)  1 5. p( p)  0 (zákon vylúčeného tretieho), 6.  (pq)  ( p)( q),  (pq)  ( p)( q) (de Morganove pravidlá), 7. (pq)  (qr)  (pr) („tranzitívnosť implikácie“), 8. (pq)  ( p) q, (obmena implikácie) 9. (pq)  ( q) ( p), (obmena implikácie) 10. (pq)  (pq)(qp).

Úloha: Overte, že formula (pq)  (qr)  (pr) je tautológiou. p q r (pq)  (qr)  (pr) 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 Podobne overte ostatné tautológie z predchádzajúceho slidu.