Rovnice základní pojmy

Rovnice je zápis rovnosti dvou výrazů 𝐿(𝑥)=𝑃(𝑥) s neznámou 𝑥, kde výraz 𝐿(𝑥) je levá strana rovnice a 𝑃(𝑥) pravá strana rovnice. Proměnná v rovnici se nazývá neznámá a značí se libovolným malým písmenem. Definiční obor rovnice je číselná množina, v níž mají výrazy na obou stranách rovnice smysl.

Kořen (řešení) je taková hodnota neznámé (takové číslo), pro které rovnost 𝐿(𝑥)=𝑃(𝑥) platí. Množinu všech kořenů neboli obor pravdivosti rovnice značíme K. Řešením rovnice rozumíme také postup, kterým hledáme kořen(y) rovnice. Postupujeme tak, že důsledkovými úpravami přecházíme až k rovnici, jejíž obor pravdivosti je zřejmý.

Důsledkovými úpravami přecházíme z rovnice o množině kořenů 𝐾 1 k rovnici o množině kořenů 𝐾 2 . Vždy platí, že 𝐾 1 ⊂𝐾 2 . Pokud platí 𝐾 1 =𝐾 2 , jedná se o ekvivalentní úpravu. Pokud uvedená rovnost neplatí, jde o úpravu neekvivalentní a nutnou součástí řešení se stává zkouška.

Ekvivalentní úpravy Výměna stran rovnice Nahrazení jedné strany rovnice výrazem, který se jí rovná v celém oboru řešení rovnice. Přičtení čísla nebo výrazu, který je definován v celém oboru řešení k oběma stranám rovnice. Vynásobení obou stran rovnice stejným číslem nebo definovaným výrazem různým od nuly.

Ekvivalentní úpravy umocnění obou stran rovnice přirozeným mocnitelem, nabývají-li obě strany rovnice pouze nezáporných hodnot na celém oboru řešení rovnice nebo nabývají-li obě strany rovnice pouze záporných hodnot nebo hodnoty nula v celém oboru řešení rovnice odmocnění obou stran rovnice přirozeným odmocnitelem, nabývají-li obě strany rovnice pouze nezáporných hodnot v celém oboru řešení rovnice zlogaritmování obou stran rovnice logaritmem téhož základu, nabývají-li obě strany rovnice pouze kladných hodnot v celém oboru řešení rovnice

umocnění obou stran rovnice přirozeným mocnitelem Neekvivalentní úpravy vynásobení obou stran rovnice stejným číslem nebo výrazem, který je definován v celém oboru řešení rovnice umocnění obou stran rovnice přirozeným mocnitelem

Na střední škole řešíme elementární rovnice algebraické a nealgebraické. Algebraická rovnice n-tého stupně vznikne položením polynomu (mnohočlenu) rovno nule tj. 𝑎 𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑎 𝑛−1 𝑥 𝑛−1 +…+ 𝑎 2 𝑥 2 + 𝑎 1 𝑥+ 𝑎 0 =0 Jednotliví sčítanci jsou členy algebraické rovnice. 𝑎 0 , 𝑎 1 ,.., 𝑎 𝑛 jsou koeficienty algebraické rovnice. Nealgebraická rovnice je každá rovnice, která není algebraická, např. rovnice exponenciální, logaritmická, goniometrická (necháme si na 2. ročník :-)

Lineární rovnice je algebraická rovnice 1. stupně. Je jí tedy každá rovnice ve tvaru 𝑎𝑥+𝑏=0, kde 𝑎, 𝑏 jsou reálné koeficienty. Platí:

Nekonečně mnoho kořenů Lineární rovnice je algebraická rovnice 1. stupně. Je jí tedy každá rovnice ve tvaru 𝑎𝑥+𝑏=0, kde 𝑎, 𝑏 jsou reálné koeficienty. Platí: Podmínka Kořeny Množina kořenů 𝑎≠0 𝑥=− 𝑏 𝑎 𝐾= − 𝑏 𝑎 𝑎=𝑏=0 Nekonečně mnoho kořenů 𝐾=𝑅 𝑎=0, 𝑏≠0 Žádný kořen 𝐾=∅

Lineární rovnice s neznámou ve jmenovateli Lomené výrazy v těchto rovnicích mají smysl jen tehdy, jsou-li výrazy ve jmenovatelích lomených výrazů nenulové. Chceme-li využívat ekvivalentních úprav k řešení těchto rovnic, určíme nejprve definiční obor rovnice. Pozn.: Při určování definičního oboru vycházíme z podmínky, že jmenovatel lomeného výrazu se nesmí rovnat nule.

Lineární rovnice s absolutními hodnotami je rovnice, v níž se neznámá vyskytuje v absolutní hodnotě. Při řešení budeme využívat definici absolutní hodnoty, popřípadě využívat význam absolutní hodnoty rozdílu čísel.