PERMUTACE BEZ OPAKOVÁNÍ Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Lenka Pláničková. Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Již jsme poznali variace bez opakování k-té třídy z n prvků množiny M, které jsme definovali jako uspořádané k-tice sestavené z n prvků množiny M tak, že v každé z nich se žádný prvek neopakuje, a které existují jen tehdy, když platí k  n.  Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Lenka Pláničková. Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Máme množinu tří různobarevných kruhů M = { , , }. Zakreslete všechny variace bez opakování třetí třídy ze tří prvků množiny M. Zakreslujte samostatně.  Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Lenka Pláničková. Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Máme množinu tří různobarevných kruhů M = { , , }. Zakreslete všechny variace bez opakování třetí třídy ze tří prvků množiny M. Máme množinu tří různobarevných kruhů M = { , , }. Zakreslete všechny variace bez opakování třetí třídy ze tří prvků množiny M. Připomeňme si: Každá trojice je uspořádanou trojicí ze tří prvků množiny M, ve které se žádný prvek neopakuje, a navíc k = n. Připomeňme si: Každá trojice je uspořádanou trojicí ze tří prvků množiny M, ve které se žádný prvek neopakuje, a navíc k = n.  Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Lenka Pláničková. Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Máme množinu tří různobarevných kruhů M = { , , }. Zakreslete všechny variace bez opakování třetí třídy ze tří prvků množiny M. Sledujte výskyt prvků množiny M v uspořádaných trojicích.  Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Lenka Pláničková. Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Máme množinu tří různobarevných kruhů M = { , , }. Zakreslete všechny variace bez opakování třetí třídy ze tří prvků množiny M. Každý prvek množiny M se vyskytuje v uspořádané trojici právě jednou.  Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Lenka Pláničková. Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Máme množinu tří různobarevných kruhů M = { , , }. Zakreslete všechny variace bez opakování třetí třídy ze tří prvků množiny M. Čím se liší uspořádané trojice?  Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Lenka Pláničková. Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Máme množinu tří různobarevných kruhů M = { , , }. Zakreslete všechny variace bez opakování třetí třídy ze tří prvků množiny M. Uspořádané trojice se liší pouze pořadím prvků.  Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Lenka Pláničková. Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Máme množinu tří různobarevných kruhů M = { , , }. Zakreslete všechny variace bez opakování třetí třídy ze tří prvků množiny M. Každá tato uspořádaná trojice představuje permutaci bez opakování ze tří prvků množiny M.  Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Lenka Pláničková. Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

že je-li dána konečná množina M s n prvky, Nyní již víme, že je-li dána konečná množina M s n prvky, pak všechny možné uspořádané n-tice sestavené z n prvků tak, že v každé z nich se každý prvek vyskytuje právě jednou, nazveme permutace bez opakování z n prvků. Zapišme si definici.  Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Lenka Pláničková. Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

DEFINICE Variace bez opakování n-té třídy z n-prvkové množiny nazýváme permutace bez opakování z n prvků.  Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Lenka Pláničková. Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Spíše než vypisování všech permutací bez opakování z daných n prvků množiny M nás bude zajímat počet všech těchto permutací bez opakování, který označíme P(n).  Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Lenka Pláničková. Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Anežka, Karel, Petra a Václav se mají postavit do čtyřčlenného zástupu. Kolik existuje možných pořadí v čtyřčlenném zástupu? Každý zástup zapíšeme jako uspořádanou čtveřici, ve které se každá osoba vyskytuje právě jednou, neboli permutaci ze čtyř prvků. například: Anežka, Karel, Petra, Václav … [A, K, P, V] Anežka, Václav, Karel, Petra … [A, V, K, P] Jaké čtyřčlenné zástupy osoby vytvoří?  Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Lenka Pláničková. Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Jak určíme počet všech možných zástupů, aniž bychom je vypisovali? Anežka, Karel, Petra a Václav se mají postavit do čtyřčlenného zástupu. Kolik existuje možných pořadí v čtyřčlenném zástupu? [A, K, P, V] [K, A, P, V] [P, A, K, V] [V, A, K, P] [A, K, V, P] [K, A, V, P] [P, A, V, K] [V, A, P, K] [A, P, K, V] [K, P, A, V] [P, K, A, V] [V, K, A, P] [A, P, V, K] [K, P, V, A] [P, K, V, A] [V, K, P, A] [A, V, K, P] [K, V, A, P] [P, V, A, K] [V, P, A, K] [A, V, P, K] [K, V, P, A] [P, V, K, A] [V, P, K, A] Jak určíme počet všech možných zástupů, aniž bychom je vypisovali?  Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Lenka Pláničková. Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze. Anežka, Karel, Petra a Václav se mají postavit do čtyřčlenného zástupu. Kolik existuje možných pořadí v čtyřčlenném zástupu? [A, K, P, V] [A, K, P, V] [K, A, P, V] [K, A, P, V] [P, A, K, V] [P, A, K, V] [V, A, K, P] [V, A, K, P] [A, K, V, P] [A, K, V, P] [K, A, V, P] [K, A, V, P] [P, A, V, K] [P, A, V, K] [V, A, P, K] [V, A, P, K] [A, P, K, V] [A, P, K, V] [K, P, A, V] [K, P, A, V] [P, K, A, V] [P, K, A, V] [V, K, A, P] [V, K, A, P] [A, P, V, K] [A, P, V, K] [K, P, V, A] [K, P, V, A] [P, K, V, A] [P, K, V, A] [V, K, P, A] [V, K, P, A] [A, V, K, P] [A, V, K, P] [K, V, A, P] [K, V, A, P] [P, V, A, K] [P, V, A, K] [V, P, A, K] [V, P, A, K] [A, V, P, K] [A, V, P, K] [K, V, P, A] [K, V, P, A] [P, V, K, A] [P, V, K, A] [V, P, K, A] [V, P, K, A] První člen uspořádané čtveřice můžeme vybrat 4 způsoby.  Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Lenka Pláničková. Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze. Anežka, Karel, Petra a Václav se mají postavit do čtyřčlenného zástupu. Kolik existuje možných pořadí v čtyřčlenném zástupu? [A, K, P, V] [A, K, P, V] [K, A, P, V] [K, A, P, V] [P, A, K, V] [P, A, K, V] [V, A, K, P] [V, A, K, P] [A, K, V, P] [A, K, V, P] [K, A, V, P] [K, A, V, P] [P, A, V, K] [P, A, V, K] [V, A, P, K] [V, A, P, K] [A, P, K, V] [A, P, K, V] [K, P, A, V] [K, P, A, V] [P, K, A, V] [P, K, A, V] [V, K, A, P] [V, K, A, P] [A, P, V, K] [A, P, V, K] [K, P, V, A] [K, P, V, A] [P, K, V, A] [P, K, V, A] [V, K, P, A] [V, K, P, A] [A, V, K, P] [A, V, K, P] [K, V, A, P] [K, V, A, P] [P, V, A, K] [P, V, A, K] [V, P, A, K] [V, P, A, K] [A, V, P, K] [A, V, P, K] [K, V, P, A] [K, V, P, A] [P, V, K, A] [P, V, K, A] [V, P, K, A] [V, P, K, A] První člen uspořádané čtveřice můžeme vybrat 4 způsoby. Pro výběr druhého členu máme jen 3 možnosti. Na tomto místě nesmí již být prvek, který jsme vybrali na první místo.  Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Lenka Pláničková. Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze. Anežka, Karel, Petra a Václav se mají postavit do čtyřčlenného zástupu. Kolik existuje možných pořadí v čtyřčlenném zástupu? [A, K, P, V] [A, K, P, V] [K, A, P, V] [K, A, P, V] [P, A, K, V] [P, A, K, V] [V, A, K, P] [V, A, K, P] [A, K, V, P] [A, K, V, P] [K, A, V, P] [K, A, V, P] [P, A, V, K] [P, A, V, K] [V, A, P, K] [V, A, P, K] [A, P, K, V] [A, P, K, V] [K, P, A, V] [K, P, A, V] [P, K, A, V] [P, K, A, V] [V, K, A, P] [V, K, A, P] [A, P, V, K] [A, P, V, K] [K, P, V, A] [K, P, V, A] [P, K, V, A] [P, K, V, A] [V, K, P, A] [V, K, P, A] [A, V, K, P] [A, V, K, P] [K, V, A, P] [K, V, A, P] [P, V, A, K] [P, V, A, K] [V, P, A, K] [V, P, A, K] [A, V, P, K] [A, V, P, K] [K, V, P, A] [K, V, P, A] [P, V, K, A] [P, V, K, A] [V, P, K, A] [V, P, K, A] První člen uspořádané čtveřice můžeme vybrat 4 způsoby. Pro výběr druhého členu máme jen 3 možnosti. Třetí člen vybíráme již jen 2 způsoby. Na tomto místě nesmí být prvky, které jsme vybrali na první a druhé místo uspořádané čtveřice.  Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Lenka Pláničková. Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze. Anežka, Karel, Petra a Václav se mají postavit do čtyřčlenného zástupu. Kolik existuje možných pořadí v čtyřčlenném zástupu? [A, K, P, V] [A, K, P, V] [K, A, P, V] [K, A, P, V] [P, A, K, V] [P, A, K, V] [V, A, K, P] [V, A, K, P] [A, K, V, P] [A, K, V, P] [K, A, V, P] [K, A, V, P] [P, A, V, K] [P, A, V, K] [V, A, P, K] [V, A, P, K] [A, P, K, V] [A, P, K, V] [K, P, A, V] [K, P, A, V] [P, K, A, V] [P, K, A, V] [V, K, A, P] [V, K, A, P] [A, P, V, K] [A, P, V, K] [K, P, V, A] [K, P, V, A] [P, K, V, A] [P, K, V, A] [V, K, P, A] [V, K, P, A] [A, V, K, P] [A, V, K, P] [K, V, A, P] [K, V, A, P] [P, V, A, K] [P, V, A, K] [V, P, A, K] [V, P, A, K] [A, V, P, K] [A, V, P, K] [K, V, P, A] [K, V, P, A] [P, V, K, A] [P, V, K, A] [V, P, K, A] [V, P, K, A] První člen uspořádané čtveřice můžeme vybrat 4 způsoby. Pro výběr druhého členu máme jen 3 možnosti Třetí člen vybíráme již jen 2 způsoby. Čtvrtý člen uspořádané čtveřice doplníme už 1 způsobem.  Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Lenka Pláničková. Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Počet všech možných pořadí v čtyřčlenném zástupu Anežka, Karel, Petra a Václav se mají postavit do čtyřčlenného zástupu. Kolik existuje možných pořadí v čtyřčlenném zástupu? [A, K, P, V] [A, K, P, V] [K, A, P, V] [K, A, P, V] [P, A, K, V] [P, A, K, V] [V, A, K, P] [V, A, K, P] [A, K, V, P] [A, K, V, P] [K, A, V, P] [K, A, V, P] [P, A, V, K] [P, A, V, K] [V, A, P, K] [V, A, P, K] [A, P, K, V] [A, P, K, V] [K, P, A, V] [K, P, A, V] [P, K, A, V] [P, K, A, V] [V, K, A, P] [V, K, A, P] [A, P, V, K] [A, P, V, K] [K, P, V, A] [K, P, V, A] [P, K, V, A] [P, K, V, A] [V, K, P, A] [V, K, P, A] [A, V, K, P] [A, V, K, P] [K, V, A, P] [K, V, A, P] [P, V, A, K] [P, V, A, K] [V, P, A, K] [V, P, A, K] [A, V, P, K] [A, V, P, K] [K, V, P, A] [K, V, P, A] [P, V, K, A] [P, V, K, A] [V, P, K, A] [V, P, K, A] Počet všech možných pořadí v čtyřčlenném zástupu neboli počet P(4) všech permutací bez opakování ze čtyř prvků je roven součinu všech přirozených čísel od 4 do 1.  Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Lenka Pláničková. Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Existuje 24 možných pořadí v čtyřčlenném zástupu. Anežka, Karel, Petra a Václav se mají postavit do čtyřčlenného zástupu. Kolik existuje možných pořadí v čtyřčlenném zástupu? [A, K, P, V] [K, A, P, V] [P, A, K, V] [V, A, K, P] [A, K, V, P] [K, A, V, P] [P, A, V, K] [V, A, P, K] [A, P, K, V] [K, P, A, V] [P, K, A, V] [V, K, A, P] [A, P, V, K] [K, P, V, A] [P, K, V, A] [V, K, P, A] [A, V, K, P] [K, V, A, P] [P, V, A, K] [V, P, A, K] [A, V, P, K] [K, V, P, A] [P, V, K, A] [V, P, K, A] P(4) = 4 . 3 . 2 . 1 = 24 Existuje 24 možných pořadí v čtyřčlenném zástupu.  Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Lenka Pláničková. Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Jelikož jsou permutace z n prvků definovány jako variace n-té třídy z daných n prvků množiny M, pak vzorec pro P(n) dostaneme tak, že do vzorce Vk(n) dosadíme k = n: P(n) = Vn(n) = n(n – 1)(n – 2) … (n – n + 1) = n(n – 1)(n – 2) … . 1 Součin všech přirozených čísel od n do 1 jsme označili symbolem n!, pak tedy P(n) = n! .  Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Lenka Pláničková. Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Vzorec pro výpočet počtu permutací bez opakování P(n) z n prvků množiny M můžeme získat i z upraveného vzorce pro výpočet počtu variací bez opakování k-té třídy z n prvků tak, že dosadíme k = n.  Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Lenka Pláničková. Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Pro počet P(n) všech permutací bez opakování VĚTA Pro počet P(n) všech permutací bez opakování z n prvků platí: P(n) = n!  Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Lenka Pláničková. Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Určete počet všech pěticiferných čísel, v jejichž dekadickém zápisu je každá z cifer 1, 2, 3, 4, 5. Budeme počítat počet permutací bez opakování? Zdůvodněte.  Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Lenka Pláničková. Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Určete počet všech pěticiferných čísel, v jejichž dekadickém zápisu je každá z cifer 1, 2, 3, 4, 5. Na každé pěticiferné číslo se můžeme dívat jako na upořádanou pětici tvořenou ze zadaných cifer tak, že se v ní vyskytuje každá z pěti cifer právě jednou. Tyto uspořádané pětice jsou permutace bez opakování z pěti prvků a jejich počet je roven počtu P(5) všech permutací bez opakování z pěti prvků.  Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Lenka Pláničková. Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Určete počet všech pěticiferných čísel, v jejichž dekadickém zápisu je každá z cifer 1, 2, 3, 4, 5. n = 5 Dosaďte do vzorce a dopočtěte.  Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Lenka Pláničková. Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Určete počet všech pěticiferných čísel, v jejichž dekadickém zápisu je každá z cifer 1, 2, 3, 4, 5. n = 5 Hledaný počet všech pěticiferných čísel je 120.  Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Lenka Pláničková. Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Zjistěte, kolik možných seřazení při nástupu v tělesné výchově vytvoří n žáků vaší třídy? (Předpokládejte, že nikdo nechybí.) Příklad řešte samostatně.  Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Lenka Pláničková. Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Zjistěte, kolik možných seřazení při nástupu v tělesné výchově vytvoří n žáků vaší třídy? (Předpokládejte, že nikdo nechybí.) Každé seřazení představuje uspořádanou n-tici sestavenou z n žáků vaší třídy tak, že se v ní vyskytuje každý žák právě jednou, neboli permutaci bez opakování z n prvků. Počet všech možných seřazení je tedy roven počtu P(n) všech permutací bez opakování z n prvků.  Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Lenka Pláničková. Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Zjistěte, kolik možných seřazení při nástupu v tělesné výchově vytvoří n žáků vaší třídy? (Předpokládejte, že nikdo nechybí.) Poznámka: Příklad upravte dle aktuálního počtu žáků vaší třídy! Žáci dvacetidvoučlenné třídy mohou vytvořit celkem 1 124 000 727 777 607 680 000 různých seřazení. Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Lenka Pláničková. Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.