Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze. VLASTNOSTI TROJÚHELNÍKU Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Kateřina Linková.  Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

TROJÚHELNÍK tři různé body A, B, C – neleží v jedné přímce trojúhelník ABC je průnik polorovin ABC, BCA, CAB množina všech bodů, které leží zároveň v těchto třech polorovinách značení: ABC

POJMY vrcholy trojúhelníku: body A, B, C strany trojúhelníku: úsečky AB, BC, CA vnitřní úhly troj.: ∢ BAC, ∢ ABC a ∢ BCA vnější úhly trojúhelníku: kterýkoli z vedlejších úhlu vnitřního úhlu hranice trojúhelníku: sjednocení všech stran hraniční body: body hranice trojúhelníku vnitřní body: všechny ostatní body vnitřek trojúhelníku: množina vnitřních bodů

TROJÚHELNÍKOVÁ NEROVNOST základní věta o trojúhelníkové nerovnosti pro body A,B,C, které neleží na přímce (jsou tedy vrcholy trojúhelníku), platí vztah:

VZTAHY MEZI STRANAMI A ÚHLY tyto vztahy vyjadřují 4 věty: V1: Součet libovolných dvou stran je větší než strana třetí. trojúhelníková nerovnost: a + b > c b + c > a c + a > b

V2: Proti shodným stranám leží shodné vnitřní úhly. -> proti větší straně leží větší vnitřní úhel

V3: Součet vnitřních úhlů je úhel přímý. součet velikostí vnitřních úhlů:

V4: Pro velikosti vnitřních úhlů a vnějších úhlů platí:

DĚLENÍ TROJÚHELNÍKŮ dělení podle stran: různostranné rovnoramenné rovnostranné žádné dvě strany nejsou shodné právě dvě strany jsou shodné všechny strany jsou shodné

dělení podle úhlů: ostroúhlé pravoúhlé tupoúhlé právě jeden vnitřní úhel je tupý všechny vnitřní úhly jsou ostré právě jeden vnitřní úhel je pravý

ÚSEČKY TROJÚHELNÍKU střední příčka trojúhelníku úsečka, jejíž krajní body leží ve středu dvou stran trojúhelníku každá střední příčka troj. je rovnoběžná s jeho protější stranou délka střední příčky je rovna polovině délky protější strany

těžnice trojúhelníku úsečka, jejíž krajní body jsou vrchol troj. a střed jeho protější strany všechny tři těžnice se protínají v jednom bodě -> bod T – těžiště trojúhelníku jeho vzdálenost od středu jakékoli strany je rovna 1/3 délky příslušné těžnice

výška trojúhelníku úsečka, jejíž krajní body jsou vrchol troj. a pata kolmice vedené tímto vrcholem k jeho protější straně všechny tři úsečky se protínají v jednom bodě -> bod V – průsečík výšek ostroúhlý troj. – bod leží uvnitř pravoúhlý troj. – bod splývá s vrcholem pravého úhlu tupoúhlý troj. – bod leží vně

pokud označíme délky stran troj pokud označíme délky stran troj. a délky příslušných výšek , potom platí:

SHODNOST TROJÚHELNÍKŮ dva trojúhelníky jsou shodné, pokud je lze přemístit tak, že se úplně kryjí mají tedy shodné všechny sobě odpovídající strany i vnitřní úhly stačí ověřit, zda je splněné některé z kritérií vět o shodnosti trojúhelníků

věty o shodnosti: sss: trojúhelníky se shodují ve všech třech stranách sus: trojúhelníky se shodují ve dvou stranách a v úhlu jimi sevřeném ssu: trojúhelníky se shodují ve dvou stranách a v úhlu proti větší z nich usu: trojúhelníky se shodují v jedné straně a ve dvou úhlech k ní přilehlých

na základě těchto vět můžeme dokázat věty o určenosti trojúhelníku trojúhelník lze tedy sestrojit, jsou-li dány: jeho tři strany, které splňují trojúhelníkovou nerovnost dvě strany a konvexní vnitřní úhel, který strany svírají dvě strany a konvexní úhel proti větší z nich jedna strana a dva konvexní vnitřní úhly, jejichž grafický součet je menší než přímý úhel

PODOBNOST TROJÚHELNÍKŮ trojúhelníky ABC a A'B'C' jsou podobné, pokud existuje takové kladné číslo k, že platí:

podobnost představuje zmenšení k > 1 podobnost představuje zvětšení 0 < k < 1 podobnost představuje zmenšení k = 1 shodnost

pokud chceme zjistit, zda jsou trojúhelníky podobné, stačí ověřit, zda je splněno některé z kritérií vět o podobnosti trojúhelníků uu: trojúhelníky se shodují ve dvou úhlech sus: jsou si rovny poměry délek dvou stran a jsou shodné úhly jimi sevřené ssu: jsou si rovny poměry délek dvou stran a jsou shodné úhly proti větším z nich

SPECIÁLNÍ VĚTY pro pravoúhlý trojúhelník pro rovnoramenný trojúhelník pravoúhlé trojúhelníky jsou podobné, pokud se shodují v jednom ostrém úhlu nebo v poměru délek dvou odpovídajících si stran pro rovnoramenný trojúhelník rovnoramenné trojúhelníky jsou podobné, pokud se shodují v úhlu při základně nebo v úhlu při vrcholu pro rovnostranný trojúhelník každé rovnostranné trojúhelníky jsou podobné

ZDROJ POLÁK, J. Přehled středoškolské matematiky. 8. vyd. Praha : Prometheus, 2005. ISBN 80-7196-267-8. s. 608.