Lineárna funkcia a jej vlastnosti

kde premenná x je argument funkcie. Funkcia − definícia Funkcia je predpis, ktorý každému číslu z definičného oboru, ktorý je podmnožinou množiny všech reálných čísel R, priraďuje práve jedno reálné číslo. Funkciu označujeme zvyčajne písmenom f, ale môžeme použiť aj iné písmená, napr. g, h… Zvyčajne ju zapisujeme v tvare: y = f(x), napr. y = 2x+1 alebo v tvare: f: y = 2x + 1 kde premenná x je argument funkcie.

Opakovanie − zápis funkcie f: y = 2x + 1 kde premenná x je argument funkce alebo nezávislá premenná. Nezávislosť je daná tým, že jej hodnotu môžeme ľubovoľne meniť, avšak iba v rámci definovanej množiny, definičného oboru. Množina všetkých prípustných hodnôt argumentu x, teda všetky hodnoty, ktoré môže premenná x pre danú funkciu nadobúdať, sa nazývá definičný obor. Označuje sa: D(f)

Opakovanie − obor hodnôt Ku všetkým prípustným hodnotám argumentu x prislúcha právě jedna funkčná hodnota. Tie všectky dokopy tvoria obor hodnôot (obor funkčných hodnôt). Funkčná hodnota alebo závislá premenná je číslo, ktoré funkcia priradí konkrétnému argumentu x. Inak povedané − výstupná hodnota funkcie. Obvykle ju označujeme y alebo f(x). Hodnota závisle promennej je pre danú funkciu jednoznačne určená hodnotou argumentu x - preto „závislá“ premenná. Obor hodnôt je množina všetkých reálnych čísel, ktoré dostaneme ako výstupnú hodnotu funkcie f, ak za x dosadíme všetky prípustné hodnoty z D(f). Označujeme: H(f)

Opakovanie − zadanie, zápis funkcie 2) Tabuľkou 1) Predpisom (vzorcom, rovnicou) x -2 -1 1 2 y -3 3 5 f: y = 2x + 1 3) Grafom

Lineárna funkcia y = -5x + 3/4 y = -3x + 1,5 y = 0,5x - 3 Lineárna funkcia je funkcia daná rovnicou y = ax + b kde a, b sú ľubovolné reálne čísla a definičným oborem je množina všetkých reálných čísel. Poznámka: Ak je definičným oborem podmnožina (časť) množiny všetkých reálných čísel, hovoríme o asti lineárnej funkcie. y = -5x + 3/4 y = -3x + 1,5 y = 0,5x - 3 y = -1/2x – 0,75 y = 2x + 1

Príklady − Lineárna funkcia Rozhodnite, ktorá z daných rovníc určuje lineárnu funkciu. Svoje rozhodnutie oddôvodnite. y = 15x y = -3 – x2 y = 5 – 4x y = 4 y = -1/2x + 3/4 y = 4/x – 2/3

Príklady − Lineárna funkcia Rozhodnite, ktorá z daných rovníc určuje lineárnu funkciu. Svoje rozhodnutie oddôvodnite. y = 15x ano y = -3 – x2 ne y = 5 – 4x ano y = 4 ano y = -1/2x + 3/4 ano y = 4/x – 2/3 ne

Graf lineárnej funkcie Zostrojte graf funkce f: y = 2x - 1, pre xR. Grafom funkcie (grafickým znázornením priebehu funkcie) sú zvyčajne krivky. Podľale typu funkcie to môže byť priamka, parabola, hyperbola či iná krivka alebo jej časť. Zápis zadanej funkcie Definičný obor funkcie Aby sme krivku čo nallepšie „vykreslili“, je dobré poznať čo najviac bodov, ktoré na nej ležia. K ich prehľadnému zápisu nám slúži tabuľka. Výnimkou je lineárna funkcia, ktorej grafom je priamka. Jako vieme, na zostrojenie priamky nám stačia dva body. My zatiaľ ale nadokážeme zo zápisu funkcie poznať jej typ, preto budeme zisťovať viac bodov. Tabuľku zostavíme dosadením hodnôt nezávislej premennej, do rovnice zadanej funkcie a následným výpočtom funkčnej hodnoty závislej premennej. Tieto dve sebe zodpovedajúce hodnoty potom tvoria usporiadanú dvojicu súradníc bodu ležiaceho na grafe zadanej funkcie. Tak napr. pre x = -2: y = 2.(-2) – 1 = -5. Usporiadané dvojice zapisujeme: [x;y]=[-2;-5]

Graf lineárnej funkcie Zotrojte graf funkcie f: y = 2x - 1, pre xR. Tak napr. pre x = -2: y = 2.(-2) – 1 = -5. Usporiadané dvojice zapisujeme: [x;y] = [-2;-5] x = -1: y = 2.(-1) – 1 = -3 x = 0: y = 2 . 0 – 1 = -1 x = 1: y = 2 . 1 – 1 = 1 x = 2: y = 2 . 2 – 1 = 3 x -2 -1 1 2 y -5 -3 3 x -2 y -5

Graf lineárnej funkcie Zostrojte graf funkcie f: y = 2x - 1, pre xR. x -2 -1 1 2 y -5 -3 3

Graf lineárnej funkcie Zostrojte graf funkcie f: y = 2x - 1, pre xR. x -2 -1 1 2 y -5 -3 3 Jednotlivé body teraz„spojito spojíme“. Ak by sme totiž vypočítávali a následne do grafu vyznačovali ďalšie usporiadané dvojice, dostali by sme nekonečne veľa bodov ležících na krivke prechadzajúcej všetkými.

Funkci, jejímž grafem je přímka, říkáme Graf lineární funkce Sestrojte graf funkce f: y = 2x - 1, pro xR. x -2 -1 1 2 y -5 -3 3 Grafem funkce je přímka. Slovo přímka pochází z latinského „linea“, což označuje čáru nebo přímku. Funkci, jejímž grafem je přímka, říkáme lineární funkce.

Graf lineárnej funkcie Je grafom lineárnej funkcie každá priamka? Funkcia je predpis, ktorý každému prvku z definičného oboru priraďuje práve jedno reálné číslo. Prečo? Áno. Áno. Áno. Nie!

Vlastnosti lineárnej funkcie y = ax + b Teraz budeme skúmať, jako sa mení graf lineárnej funkcie v závislosti na zmene koeficientu b. y = - 5x + 3/4 y = - 3x + 1,5 y = 0,5x - 3 y = - 1/2x – 0,75 y = 2x + 1

Vlastnosti lineárnej funkcie Budeme skúmať ako graf ovplyvňuje koeficient b (koeficient a = 1). b = 2: y = x + 2 x 1 y 2 3

Vlastnosti lineárnej funkcie Budeme skúmať ako graf ovplyvňuje koeficient b (koeficient a = 1). b = 2: y = x + 2 x 1 y 2 3 b = 1: y = x + 1 x 1 y 2

Vlastnosti lineárnej funkcie Budeme skúmať ako graf ovplyvňuje koeficient b (koeficient a = 1). b = 2: y = x + 2 x 1 y 2 3 b = 1: y = x + 1 x 1 y 2 b = 0: y = x x 1 y

Vlastnosti lineární funkce Budeme měnit, a tudíž šetřit, jak graf ovlivňuje koeficient b (koeficient a = 1). b = 2: y = x + 2 x 1 y 2 3 b = 1: y = x + 1 x 1 y 2 b = 0: y = x x 1 y b = -1: y = x - 1 x 1 y -1

Vlastnosti lineární funkce Budeme měnit, a tudíž šetřit, jak graf ovlivňuje koeficient b (koeficient a = 1). b = 2: y = x + 2 x 1 y 2 3 b = 1: y = x + 1 x 1 y 2 b = 0: y = x x 1 y b = -1: y = x - 1 x 1 y -1 b = -2: y = x - 2 x 1 y -2 -1

Vlastnosti lineárnej funkcie Budeme skúmať ako graf ovplyvňuje koeficient b (koeficient a = 1). b = 2: y = x + 2 x 1 y 2 3 b = 1: y = x + 1 x 1 y 2 b = 0: y = x x 1 y b = -1: y = x - 1 x 1 y -1 Koeficient b určuje posunutie grafu v smere osi y. Určuje y-ovou súradnicu priesečníka s osou y. b = -2: y = x - 2 x 1 y -2 -1

Príklady − Vlastnosti lineárnych funkcií Při nasledujúcich funkciách určte priesečníky s osou y. y = 2x + 1 y = 0,5x - 3 y = -3x + 1,5 y = -1/2x – 0,75 y = -5x + 3/4

Príklady − Vlastnosti lineárnych funkcií Pri nasledujúcich funkciách určte priesečníky s osou y. y = 2x + 1 [0;1] y = 0,5x - 3 [0;-3] y = -3x + 1,5 [0;1,5] y = -1/2x – 0,75 [0;-0,75] y = -5x + 3/4 [0;3/4]

Príklady − Vlastnosti lineárnych funkcií Zostrojte v tej istej sústave súradníc grafy funkcí:

Príklady − Vlastnosti lineárnych funkcií Zostrojte v tej istej sústave súradníc grafy funkcí: x 2 4 y 1

Príklady − Vlastnosti lineárnych funkcií Zostrojte v tej istej sústave súradníc grafy funkcí: x 2 4 y 1 x 2 4 y -1

Príklady − Vlastnosti lineárnych funkcií Sestrojte v téže soustavě souřadnic grafy funkcí: x 2 4 y 1 x 2 4 y -1 x 2 4 y -2 -3

Príklady − Vlastnosti lineárnych funkcií Zostrojte v tej istej sústave súradníc grafy funkcí: x 2 4 y 1 x 2 4 y -1 Ak sú dve lineárne funkcie určené rovnicami y = a1x + b1; y = a2x + b2 a ak a1 = a2, potom grafy týchto funkcií sú navzájom rovnobežné priamky. x 2 4 y -2 -3

Príklady − Vlastnosti lineárnych funkcií Určte lineárnu funkciu, ktorej graf je rovnobežný s grafom funkcie y = -3x a prechádza bodem so súradnicami: [0;4] [0;-2] [0;-4,5] [0;1/2] [0;0]

Príklady − Vlastnosti lineárnych funkcií Určte lineárnu funkciu, ktorej graf je rovnobežný s grafom funkcie y = -3x a prechádza bodem so súradnicami: [0;4] y = -3x + 4 [0;-2] y = -3x - 2 [0;-4,5] y = -3x - 4,5 [0;1/2] y = -3x + 1/2 [0;0] y = -3x

Lineární funkce y y = 3x – 2 5 4 3 2 1 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 x -1 Funkce je rostoucí, právě když pro každé dvě hodnoty x1, x2 z jejího definičního oboru platí: jestliže x1 < x2, pak y1 < y2. y = 3x – 2 5 4 x 1 2 y = 3x – 2 4 3 2 1 Funkce je klesající, právě když pro každé dvě hodnoty x1, x2 z jejího definičního oboru platí: jestliže x1 < x2, pak y1 > y2. -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 x -1 A[0; – 2] -2 -3 x – 1 – 2 y = – 3x – 2 1 4 -4 -5 y = – 3x – 2 Pozoruj číslo a v rovnici. Co vidíš?

Lineární funkce Lineární funkce y = ax + b je klesající, Lineární funkce y = ax + b je rostoucí, jestliže a > 0. Uveď příklady rostoucí funkce. Např.: y = x – 4; y = 0,3x + 0,1; y = 1,4x – 5; Lineární funkce y = ax + b je klesající, jestliže a < 0. Uveď příklady klesající funkce. Např.: y = – 2x – 5; y = – x + 1; y = – 0,4x – 5;

Lineární funkce Lineární funkci y = ax + b, kde a = 0, nazýváme konstantní funkce. Jejím grafem je vždy přímka rovnoběžná s osou x, která prochází bodem [0, b]. y Např.: y = – 4 5 4 x -1 2 y = – 4 4 3 y = 2 2 1 y = 2 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 x -1 x -3 4 y = 2 2 -2 -3 y = – 4 -4

Graf lineární funkce y = ax + b protíná osu y v bodě o souřadnicích [0; b]. Graf lineární funkce y = ax (b = 0) prochází počátkem soustavy souřadnic [0; 0].