Algebraické výrazy: počítání s mnohočleny Opakování před zahájením učiva o lomených výrazech.

Co už známe. Zopakujme si v rychlosti základní pojmy a dovednosti: Které? Zkusíme to nejdříve bez pomoci. 1.) Co je výraz. 2.) Číselný výraz a algebraický výraz. 3.) Sčítání mnohočlenů. 4.) Odčítání mnohočlenů. 5.) Násobení mnohočlenů. 6.) Vytýkání před závorku – rozklad na součin. 7.) Úprava na součin pomocí vzorců.

1.) Výraz. 5 . (4 – 3) – 6 : 3 7 : (6 – 3 . 2) – 2 . 3 (x + 2)/4 K zápisu postupu řešení všech matematických i nematematických úloh a početních operací s čísly nebo proměnnými používáme výrazy. Výrazy jsou tedy zjednodušeně řečeno zápisy početních výkonů. 5 . (4 – 3) – 6 : 3 7 : (6 – 3 . 2) – 2 . 3 (x + 2)/4 y2 – 6y + 9 x – 6 + 3x 4 . 2,5 – 6 + 22

2.) Číselný a algebraický výraz. Existují dva druhy výrazů podle toho, z čeho jsou sestaveny: 1.) Výrazy, v nichž se vyskytují jenom čísla: Číselné výrazy. 7 : (6 – 3 . 2) – 2 . 3 5 . (4 – 3) – 6 : 3 4 . 2,5 – 6 + 22 2.) Výrazy, v nichž se vyskytují proměnné, které zastupují čísla z určité množiny: Algebraické výrazy. (x + 2)/4 x – 6 + 3x y2 – 6y + 9

3.) Sčítání mnohočlenů. 3 + 4 = 7 3x2 + 4x2 = 7x2 3x + 4x = 7x Sčítat můžeme jen stejné členy se stejnou proměnnou a se stejným mocnitelem. proměnné jen s proměnnými, To znamená čísla jen s čísly, proměnné na druhou jen s proměnnými na druhou, atd. 3 + 4 = 7 3x2 + 4x2 = 7x2 3x + 4x = 7x Příklad: (3x2 + 7x – 5) + (-2x2 – 4x + 1) = 3x2 + 7x – 5 – 2x2 – 4x + 1 = = 3x2 – 2x2 + 7x – 4x – 5 + 1 = x2 + 3x – 4

4.) Odčítání mnohočlenů. -2x2 – 4x + 1 2x2 + 4x - 1 Odečíst mnohočlen znamená přičíst mnohočlen k němu opačný. K danému mnohočlenu utvoříme mnohočlen opačný, změníme-li znaménka všech jeho členů na opačná. -2x2 – 4x + 1 2x2 + 4x - 1 Příklad: (3x2 + 7x – 5) - (-2x2 – 4x + 1) = 3x2 + 7x – 5 + 2x2 + 4x - 1 = = 3x2 + 2x2 + 7x + 4x – 5 - 1 = 5x2 + 11x – 6

5.) Násobení mnohočlenů. (2x – 1)(2x2 – 4x + 1) = 4x3 - 8x2 + 2x - 2x2 Každý člen jednoho mnohočlenu násobíme s každým členem druhého mnohočlenu a pak zjednodušíme. (2x – 1)(2x2 – 4x + 1) = 4x3 - 8x2 + 2x - 2x2 + 4x - 1 Příklad: (3x2 + 7x – 5).(-2x2 – 4x + 1) = = - 6x4 - 12x3 + 3x2 - 14x3 - 28x2 + 7x + 10x2 + 20x - 5 = = - 6x4 - 12x3 - 14x3 + 3x2 - 28x2 + 10x2 + 7x + 20x - 5 = = - 6x4 - 26x3 - 15x2 + 27x - 5

Násobení mnohočlenů - příklady 3x . 4x2 = 12 x3 Vynásobíme čísla spolu a proměnné spolu. 3x . (4x2 – 2x) = 12x3 - 6x2 Vynásobíme člen 3x s prvním členem závorky a s druhým členem. (3x - 5) . (4x2 – 2x) = 12x3 - 6x2 - 20x2 + 10x = 12x3 - 26x2 + 10x Vynásobíme první člen první závorky s prvním členem druhé, první člen první závorky s druhým členem druhé závorky, druhý člen první závorky s prvním členem druhé závorky, druhý člen první závorky s druhým členem druhé závorky.

Násobení mnohočlenů - příklady (3x - 5) . (4x2 – 2x + 1) = 12x3 - 6x2 + 3x - 20x2 + 10x - 5 = = 12x3 - 26x2 + 13x - 5 Vynásobíme první člen první závorky s prvním členem druhé, první člen první závorky s druhým členem druhé závorky, první člen první závorky s třetím členem druhé závorky, druhý člen první závorky s prvním členem druhé závorky, druhý člen první závorky s druhým členem druhé závorky, druhý člen první závorky s třetím členem druhé závorky.

6.) Vytýkání před závorku – rozklad na součin. Základem vytýkání (rozkladu na součin) je dělení mnohočlenu jednočlenem. Mnohočlen dělíme jednočlenem (různým od nuly!) tak, že jím vydělíme postupně každý člen mnohočlenu. 2x2:2 (2x2 – 4x) : 2 = x2 - 2x -4x:2 2x2:2x (2x2 – 4x) : 2x = x - 2 -4x:2x Jednočlen, kterým dělíme, musí být dělitelem všech členů daného mnohočlenu.

2x2 – 4x = 2x . (x – 2) 6.) Vytýkání před závorku – rozklad na součin. Provedeme si zkoušku jednoho z předcházejících příkladů. (2x2 – 4x) : 2x = x - 2 x.2x (x – 2) . 2x = 2x2 – 4x -2.2x Díky komutativnímu zákonu pro násobení platí, že: (x – 2) . 2x = 2x . (x – 2) Můžeme tedy napsat výraz 2x2 – 4x ve tvaru 2x.(x-2). Říkáme, že jsme 2x vytkli před závorku. 2x2 – 4x = 2x . (x – 2)

6.) Vytýkání před závorku – rozklad na součin. Příklad č. 1: 2x2 – 4x + 12 = 2 . (x2 – 2x + 6) Dělitelem všech členů je číslo 2, vytýkat budeme číslo 2. (2x2 – 4x + 12) : 2 = x2 – 2x + 6 Příklad č. 2: 6x3 – 3x2 + 12x = 3x . (2x2 – x + 4) Dělitelem všech členů je člen 3x, vytýkat budeme člen 3x. (6x3 – 3x2 + 12x ) : 3x = 2x2 – x + 4

7.) Úprava na součin pomocí vzorců. Vzor č. 1: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (2x + 3)2 = (2x)2 + 2.2x.3 + 32 = 4x2 + 12x + 9 Vzor č. 2: (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 (2x - 3)2 = (2x)2 - 2.2x.3 + 32 = 4x2 - 12x + 9 Vzor č. 3: a2 - b2 = (a + b).(a – b) 4x2 - 9 = (2x + 3).(2x – 3) (2x)2 32 a b

A nyní již vzhůru na výrazy lomené!