Soustava tří lineárních rovnic Řešení Gaussovou eliminační metodou

Slides:



Advertisements
Podobné prezentace
Pár užitečných rad, jak postupovat při řešení složitějších rovnic
Advertisements

Rovnice s absolutními hodnotami
Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Soustava lineárních rovnic
Řešení lineárních rovnic s neznámou ve jmenovateli
Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Soustava lineárních nerovnic
pedagogických pracovníků.
Řešení lineárních rovnic s neznámou ve jmenovateli
Řešení lineárních rovnic s neznámou ve jmenovateli
Soustava rovnic Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým.
Řešení lineárních rovnic s neznámou ve jmenovateli
Soustava tří rovnic o třech neznámých
Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Ing. Iveta Konvičná Dostupné z Metodického portálu ISSN , financovaného.
Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Řešení rovnic Lineární rovnice
Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Radomír Macháň. Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného.
Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Ing. Iveta Konvičná Dostupné z Metodického portálu ISSN , financovaného.
Soustavy dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými
Slabiky la, lo, le, lu, li Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Jiřina Zorková. Dostupné z Metodického portálu
(řešení pomocí diskriminantu)
Kvadratické nerovnice
Soustavy lineárních rovnic. Soustava m lineárních rovnic o n neznámých a 11 x 1 + a 12 x 2 + … + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + … + a 2n x n = b.
PRACOVNÍ LISTY Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Věra Fišerová. Dostupné z Metodického portálu ISSN: ,
VYŠŠÍ X NIŽŠÍ UPEVNĚNÍ SLOVA NIŽŠÍ UPEVNĚNÍ SLOVA VYŠŠÍ CVIČENÍ
Ryze kvadratická rovnice
Kvadratická rovnice.
TRÉNUJEME PAMĚŤ HRAČKY Prezentace zaměřená na trénink paměti.
Funkce s absolutní hodnotou Využití grafu funkce při řešení rovnic a nerovnic s absolutní hodnotou Dostupné z Metodického portálu ISSN: ,
Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Soustavy lineárních rovnic Matematika 9. ročník Creation IP&RK.
Nerovnice Ekvivalentní úpravy.
Věty o počítání s mocninami Věta o násobení mocnin
L i n e á r n í r o v n i c e II. Matematika 8.ročník ZŠ
Soustava lineárních rovnic
Řešení lineárních rovnic
Soustava lineárních nerovnic
POČASÍ KALENDÁŘ Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Ing. Jan Fišer. Dostupné z Metodického portálu ISSN: ,
POČASÍ GRAFOMOTORIKA Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Ing. Jan Fišer. Dostupné z Metodického portálu ISSN:
Řešení rovnic Lineární rovnice 1
Soustava dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými
Soustava tří lineárních rovnic Řešení Gaussovou eliminační metodou
Obchodní akademie a Střední odborná škola, gen. F. Fajtla, Louny, p.o.
LOGARITMICKÉ ROVNICE Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Kateřina Linková. Dostupné z Metodického portálu ISSN:  ,
Nerovnice v podílovém tvaru
Řešení nerovnic Lineární nerovnice
Soustava lineárních nerovnic
Řešení nerovnic Lineární nerovnice 1
Nerovnice v podílovém tvaru
Řešení nerovnic Lineární nerovnice
Nerovnice v podílovém tvaru
Hra (AZ kvíz) ke zopakování či procvičení učiva:
České mince Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Jaroslava Strejčková. Dostupné z Metodického portálu ISSN
Hledání obrázků Děti mají za úkol najít v každém listu daný počet obrázků. Po nalezení je mohou vybarvit. Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li.
Název učebního materiálu
Jak to asi vypadá doma? Sleduj obrázky a povídej.
Interaktivní vyhledávání dvou stejných obrázků.
Rozklad mnohočlenů na součin
Kde bydlí Honzík? Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. L. Gregoríková. Dostupné z Metodického portálu ISSN:  ,
Prezentace určena k opakování a upevnění pojmů více a méně.
KVARTETO – hláska R Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Věra Fišerová. Dostupné z Metodického portálu ISSN: ,
Pracovní listy Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Ing. Jan Fišer. Dostupné z Metodického portálu ISSN: ,
Soustavy lineárních rovnic
Samohlásky Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Zdeněk Hanzelín. Dostupné z Metodického portálu ISSN: 
Rozlišování hlásek P, B, M
Soustava dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými
Doporučuji snímky, které obsahují vyšší počet, z počátku skrýt.
Prezentace určena pro názornou ukázku toho, co je více a co je méně.
Transkript prezentace:

Soustava tří lineárních rovnic Řešení Gaussovou eliminační metodou Řešení rovnic Soustava tří lineárních rovnic se třemi neznámými Řešení Gaussovou eliminační metodou Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Radomír Macháň. Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozuje Národní ústav pro vzdělávání, školské poradenské zařízení a zařízení pro další vzdělávání pedagogických pracovníků (NÚV).

Lineární rovnice se třemi neznámými: Rovnice tvaru ax + by + cz + d = 0, kde a, b, c, d  R jsou konstanty a x, y, z R jsou tři neznámé. Příkladem takové rovnice jsou například rovnice: Ale i rovnice tvaru: A samozřejmě i rovnice, které k uvedeným tvarům vedou použitím ekvivalentních úprav:

Soustava lineárních rovnic se třemi neznámými: Trojice rovnic, které musí platit zároveň. Systém rovnic je třeba chápat jako celek. Příkladem takové soustavy jsou například rovnice: Ale i rovnice tvaru: A samozřejmě i rovnice, které k základním tvarům lineárních rovnic vedou použitím ekvivalentních úprav:

Ekvivalentní úpravy při řešení soustavy lineárních rovnic: Pří řešení soustav lineárních rovnic s více neznámými se používají stejné ekvivalentní úpravy jako pro soustavy se dvěma neznámými, a navíc i některé další: Ekvivalentní úpravy jednotlivých rovnic soustavy Dosazení výrazu, kterým z jedné rovnice vyjádříme některou neznámou pomocí ostatních neznámých, za příslušnou neznámou do jiné rovnice (dosazovací metoda). Přičtením násobku některé rovnice soustavy k jiné rovnici této soustavy nebo k jejímu nenulovému násobku (sčítací metoda). Záměna pořadí rovnic. Vynechání rovnice, která je násobkem jiné rovnice soustavy Cílem početních operací při výpočtu soustavy lineárních rovnic je získat řešení, tedy nalézt všechny uspořádané trojice [x; y; z], které po dosazení do soustavy splní všechny její rovnice. Základním principem těchto operací je postupné vyloučení (eliminace) dvou neznámých, a tím výpočet té poslední - třetí. Následně pak pomocí ní výpočet oněch dvou „vyloučených“.

Gaussova eliminační metoda Popis postupu při řešení soustavy tří lineárních rovnic se třemi neznámými Gaussovou eliminační metodou si ukážeme na následující soustavě rovnic: (1) (2) Řešme v R soustavu rovnic: (3) 1.Krok (nepovinný): Zkrácení rovnic a přerovnání soustavy tak, aby rovnice s nejmenším nenulovým koeficientem x byla první. (1) (2) (3) (1) (2) (3) (1) (2) (3)

Gaussova eliminační metoda 2.Krok: První rovnici opíšeme, ke druhé a třetí rovnici nebo k jejich nenulovým násobkům přičteme takové násobky první rovnice, aby v obou těchto rovnicích neznámá zapisovaná jako první zmizela. (1) (2) (3) k druhé rovnici přičteme mínustrojnásobek první rovnice, aby neznámá x zmizela. 6

Gaussova eliminační metoda (1) (2) (3) k třetí rovnici přičteme mínuspětinásobek první rovnice, aby neznámá x zmizela. (1) (2) (2) (1) (3) (3) (1) (2) (3) 7

Gaussova eliminační metoda (1) (2) (3) (1) (2) (3) Po každém kroku doporučuji zkrátit všechny nově vzniklé rovnice, které to umožňují (zjednodušuje to další výpočty). 8

Gaussova eliminační metoda (1) (2) (3) 3.Krok – eliminace y: S první rovnicí již nebudeme dále počítat, použijeme ji pouze na konci příkladu pro určení x. Druhou rovnici opíšeme a ke třetí rovnici nebo k jejímu nenulovému násobku přičteme takový násobek druhé rovnice, aby ve třetí rovnici neznámá y zmizela. (1) …ke třetí rovnici přičteme mínusdvojnásobek druhé rovnice, aby ve třetí rovnici neznámá y zmizela. (2) (3) (2) (3) (3) (3) 9

Gaussova eliminační metoda Krok: Vypočítáme y z druhé rovnice dosazením vypočítaného z do ní. Poté vypočteme x z první rovnice dosazením vypočítaných y a z do ní. (1) (2) (3) (2) (2) (2) (1) (1) (1) (1) 10

Gaussova eliminační metoda Krok: Ověříme správnost našich výpočtů provedením zkoušky řešení dosazením do všech tří rovnic zadané soustavy. Zkouška: 11

Gaussova eliminační metoda Popis postupu při řešení soustavy tří lineárních rovnic se třemi neznámými Gaussovou eliminační metodou si ukážeme na následující soustavě rovnic: Řešme v R soustavu rovnic: Shrnutí: Při řešení soustavy rovnic o více neznámých Gaussovou eliminační metodou směřujeme postupnou eliminací neznámých k vyjádření soustavy rovnic v tzv. trojúhelníkovém tvaru. V něm pak postupujeme zdola nahoru a postupně dopočítáváme hodnoty jednotlivých neznámých. Pokud při libovolném kroku objevíme dva stejné řádky, jeden z nich vynecháme. Pokud při libovolném kroku objevíme dva řádky se stejnou levou stranou a různou pravou stranou, soustava nemá řešení (podmínky jdou proti sobě). 12

Všechny rovnice upravíme do tvaru ax + by + cz = d. Gaussova eliminační metoda Tak ještě jednou krok za krokem. Řešme v R soustavu rovnic: Všechny rovnice upravíme do tvaru ax + by + cz = d. 13

Gaussova eliminační metoda Tak ještě jednou krok za krokem. Řešme v R soustavu rovnic: První a druhá rovnice… Vyeliminujeme proměnnou x ze druhé a třetí rovnice jejich přičtením k násobku rovnice první. 14

Gaussova eliminační metoda Tak ještě jednou krok za krokem. Řešme v R soustavu rovnic: První a druhá rovnice… …první a třetí rovnice. 15

Gaussova eliminační metoda Tak ještě jednou krok za krokem. Řešme v R soustavu rovnic: První a druhá rovnice… …první a třetí rovnice. 16

Gaussova eliminační metoda Tak ještě jednou krok za krokem. Řešme v R soustavu rovnic: 17

Gaussova eliminační metoda Tak ještě jednou krok za krokem. Řešme v R soustavu rovnic: Vyeliminujeme proměnnou y ze třetí rovnice jejím přičtením k rovnici druhé. 18

Gaussova eliminační metoda Tak ještě jednou krok za krokem. Řešme v R soustavu rovnic: Vypočítáme zbývající proměnné postupným dosazováním do vyšších rovnic v trojúhelníkovém tvaru. 19

A na závěr ještě provést zkoušku správnosti. Gaussova eliminační metoda Tak ještě jednou krok za krokem. Řešme v R soustavu rovnic: A na závěr ještě provést zkoušku správnosti. 20

Gaussova eliminační metoda Tak ještě jednou krok za krokem. Řešme v R soustavu rovnic: 21

a druhou rovnici rozšíříme desetkrát. Druhou rovnici zkrátíme -4. Gaussova eliminační metoda Tak ještě jednou. Řešme v R soustavu rovnic: První a třetí rovnici vynásobíme -1, aby byl koeficient u proměnné x kladný. Rovnice upravíme na tvar ax + by + cz = d a druhou rovnici rozšíříme desetkrát. Druhou rovnici zkrátíme -4. 22

Gaussova eliminační metoda Tak ještě jednou. Řešme v R soustavu rovnic: První a druhá rovnice… …první a třetí rovnice. 23

Gaussova eliminační metoda Tak ještě jednou. Řešme v R soustavu rovnic: Pokud při libovolném kroku objevíme dva řádky se stejnou levou stranou a různou pravou stranou, soustava nemá řešení (podmínky jdou proti sobě). 24

Příklady k procvičení Řešme v R soustavu rovnic: 25

Příklady k procvičení Řešme v R soustavu rovnic: Zkouška: 26

Příklady k procvičení Řešme v R soustavu rovnic: 27

Příklady k procvičení Řešme v R soustavu rovnic: Zkouška: 28

Použité obrázky: Všechny uveřejněné odkazy [online]. [cit. 2010-06-10]. Dostupné pod licencí Public domain na WWW: <http://www.clker.com/clipart-blackboard.html>.

Citace: MACHÁŇ, Radomír. Řešení soustavy tří rovnic o třech neznámých Gaussovou eliminační metodou. Metodický portál : Digitální učební materiály [online]. 01. 11. 2011, [cit. 2012-07-05]. Dostupný z WWW: <http://dum.rvp.cz/materialy/reseni-soustavy-tri-rovnic-o-trech-neznamych-gaussovou-eliminacni-metodou.html>. ISSN 1802-4785.