Název projektu: Moderní výuka s využitím ICT Číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0734 Číslo materiálu: VY_32_INOVACE_CT-2-02-Bc2 Předmět: Číslicová technika Ročník: 2. Tematický celek: Kombinační obvody Číselné soustavy Autor: Ing. Pavel Bachura Datum tvorby: 14.06.2013

Obsah tematického celku Tvorba libovolné číselné soustavy Přičítání jedničky v různých soustavách Čtení čísel v různých soustavách Tabulka prvních čísel v různých soustavách Závěrečné poznámky Použitá literatura

Klíčová slova Číselná soustava Binární soustava Hexadecimální soustava Čtyřková a osmičková soustava Binární ekvivalent čísla Dekadický ekvivalent čísla

Tvorba libovolné číselné soustavy V technické praxi velmi často používáme i jiné poziční číselné soustavy než dekadickou. Nejdůležitější z nich je binární (dvojková) soustava a v těsném závěsu za ní hexadecimální (šestnáctková) soustava. Pro lepší pochopení dalších souvislostí ukážeme také méně používané soustavy - osmičkovou (oktalovou) a čtyřkovou, případně i jiné. Pokud pracujeme s více číselnými soustavami, je nutné tyto soustavy při zápisu čísel rozlišovat. To se zpravidla dělá pomocí dolního indexu za příslušným číslem. Příklad: 956 v dekadické soustavě zapíšeme 956 10 nebo 956 DEC 274 v oktalové (osmičkové) soustavě zapíšeme 274 8 nebo 274 OCT 1011011 v binární (dvojkové) soustavě zapíšeme 1011011 2 nebo 1011011BIN 70 v hexadecimální (šestnáctkové) soustavě zapíšeme 70 16 nebo 70 HEX (v technické praxi je častá forma zápisu také 70H)

Tvorba libovolné číselné soustavy Porozumět tvorbě číselných soustav je velmi snadné, pokud vyjdeme z následujících bodů: a) Na chvíli zapomeneme, že číslo 10 se čte deset. Jak ho tedy číst? Například: 6 + 4 = 10 přečteme „šest plus čtyři je nula a jednička postupuje do vyššího řádu“. b) Největší číslice každé poziční číselné soustavy je vždy o jedničku menší než její základ. Tedy: Desítková soustava má základ číslo 10 a také 10 číslic – 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Dvojková soustava má základ číslo 2 a také 2 číslice – 0, 1. Čtyřková soustava má základ číslo 4 a také 4 číslice – 0, 1, 2, 3. Pětková soustava má základ číslo 5 a také 5 číslic – 0, 1, 2, 3, 4. Osmičková soustava má základ číslo 8 a také 8 číslic – 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Šesnáctková soustava má základ číslo 16 a také 16 číslic – 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. Pozor! Nejsou zde žádná písmena! Jen číslice!

Tvorba libovolné číselné soustavy c) Pokud k nějaké číslici libovolné poziční číselné soustavy přičteme jedničku, a výsledkem je opět číslice této číselné soustavy, napíšeme ji. d) Pokud k největší číslici libovolné poziční číselné soustavy přičteme jedničku, napíšeme znovu nulu a jednička postupuje do vyššího řádu (vzniká přenos do vyššího řádu, do vyšší pozice; „jedna jde dál“ – podržet palcem levé ruky). ___________________________ Pro číslice dvojkové soustavy používáme často (poněkud nepřesně) název bit z anglického sousloví „binary digit“ (dvojková číslice; také angl. bit = drobek, kousek). 1 bit je základní a současně nejmenší jednotkou informace, používaná především v číslicové a výpočetní technice. Může nabývat pouze dvou hodnot (logických stavů) 0 a 1. Značí se malým písmenem b, např. 16 b, ale může se také objevit i označení bit, např. 16 bit (16 bitů). Pětková soustava se v technické praxi nevyužívá. Přidal jsem ji proto, že žáci zpravidla číslo 5 velmi dobře znají, a je jim tedy blízké.

Přičítání jedničky v různých soustavách Důležité mezivýpočty a komentáře 9 10 1 10 10 10 39 10 40 10 99 10 100 10 1 + 9 je 0 a jedna jde dál (9 je největší číslice) 1 + 3 jsou 4 (přenos do vyššího řádu nevzniká, je 0) 1 + 0 je 1 (přenos do vyššího řádu nevzniká, je 0) 4 5 1 5 10 5 24 5 30 5 44 5 100 5 1 + 4 je 0 a jedna jde dál (4 je největší číslice) 1 + 2 jsou 3 (přenos do vyššího řádu nevzniká, je 0) 1 2 10 2 11 2 100 2 101 2 110 2 1 + 1 je 0 a jedna jde dál (1 je největší číslice)

Přičítání jedničky v různých soustavách Důležité mezivýpočty a komentáře 7 8 1 8 10 8 27 8 30 8 77 8 100 8 1 + 7 je 0 a jedna jde dál (7 je největší číslice) 1 + 2 jsou 3 (přenos do vyššího řádu nevzniká, je 0) 1 + 0 je 1 (přenos do vyššího řádu nevzniká, je 0) B 12 1 12 10 12 7B 12 80 12 BB 12 100 12 Dvanáctková soustava má základ číslo 12 a také 12 číslic – 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B. Žádná písmena! Jen číslice! Komentář zkuste sami! F 16 1 16 10 16 9F 16 A0 16 FF 16 100 16 1 + F je 0 a jedna jde dál (F je největší číslice) 1 + 9 je A (přenos do vyššího řádu nevzniká, je 0)

Čtení čísel v různých soustavách POZOR ! Výrazy 10, 101, 30 a pod. čteme „deset“, „sto jedna“, „třicet“ pouze v dekadické soustavě! V ostatních soustavách čteme „jedna nula“, „jedna nula jedna“, „tři nula“, a pod. _______________________________________________________________ V praxi se ještě vyskytují soustavy: dvanáctková (r = 12, 120 = 1, 121 = 12 – tucet, 122 = 144 – tucet tuctů – veletucet) a šedesátková (r = 60, 600 = 1, 601 = 60 – kopa, 602 = 3600 – kopa kop – velekopa). Následující tabulka ukazuje několik prvních čísel v číselných soustavách s různými základy r.

dec r = 10 bin r = 2 čtyř. r = 4 oct r = 8 hex r = 16 1 2 10 3 11 4 100 5 101 6 110 12 7 111 13 8 1000 20 9 1001 21 1010 22 A 1011 23 B 1100 30 14 C 1101 31 15 D 1110 32 16 E 1111 33 17 F 10000 10001 ... 255 11111111 3333 377 FF

Závěrečné poznámky Všechna čísla v jednom každém řádku tabulky mají stejnou velikost, jsou tedy v totožném bodě na reálné ose, jsou jen vyjádřena v různých číselných soustavách. Například číslo 11012 je binární ekvivalent1 dekadického čísla 1310. Matematický zápis: 11012 = 1310. V technické praxi ale říkáme poněkud nepřesně, že 11012 je „binární třináctka“. Čísla zvýrazněná tučným písmem musí každý technik v ČT a ICT dostat „pod kůži“, tzn. má-li například napsat binární či hexadecimální ekvivalent dekadického čísla 1510, musí reagovat ihned! Zkuste si to! _______________________________________________________________ 1) Ekvivalentní jsou např. dvě různé věci, které se ale shodují v dané situaci rozhodujících vlastnostech. Ekvivalenty jsou tudíž, přes svou rozdílnost, zaměnitelné. Například ve starším elektronickém zařízení můžeme nahradit starý typ tranzistoru jeho novodobým ekvivalentem. Je nám lhostejný materiál, tvar, barva a velikost pouzdra, typové označení, často i uspořádání vývodů, ale musí mít alespoň přibližně stejné elektrické parametry. Např. maximální kolektorový proud ICmax, maximální napětí mezi kolektorem a emitorem UCEmax, maximální ztrátový výkon Pmax a pod.

Závěrečné poznámky Číslo 255DEC = 11111111BIN = FFHEX jsem do tabulky přidal pro jeho velmi významné postavení v číslicové a výpočetní technice. Je to největší číslo, které můžeme vyjádřit pomocí 1 B (byte, bajt), to jest tzv. slabiky, která obsahuje právě 8 bitů. Jak jsem ho převedl, uvidíme v následující kapitole. Binární čísla bývají často vpředu doplněna nulami na 4 respektive 8 bitů, tedy ½ bajtu respektive celý bajt. Např. 112 zapisujeme 00112 respektive 000000112. Proč je tomu tak, pochopíme lépe při další práci s binárními čísly. Podstatné je, že hodnota čísel se tím nemění, nuly vpředu jsou „nevýznamné“. A na závěr si ještě jednou prohlédněte tabulku prvních čísel v číselných soustavách s různými základy r. Nemusíte se vracet, je na dalším sleidu.

dec r = 10 bin r = 2 čtyř. r = 4 oct r = 8 hex r = 16 00000000 1 00000001 2 00000010 3 00000011 4 00000100 10 5 00000101 11 6 00000110 12 7 00000111 13 8 00001000 20 9 00001001 21 00001010 22 A 00001011 23 B 00001100 30 14 C 00001101 31 15 D 00001110 32 16 E 00001111 33 17 F 00010000 100 00010001 101 ... 255 11111111 3333 377 FF

Použitá literatura 1. Antošová, M., Davídek V.: Číslicová technika. Nakl. KOPP, 2009.