Práce Skalární fyzikální veličina, označení W (někdy A), jednotka 1 Joule (1 J), fyzikální rozměr: W = F*s → 1 J = (kg*m*s-2)*m = kg*m2*s-2 ZŠ: W = F*s (platí, jen když F a s jsou rovnoběžné a síla je konstantní) SŠ: W = F*s (skalární součin) → W = F*s*cosφ (φ je úhel mezi F a s, platí jen když je síla konstantní¨) VŠ: dW = F(r)*ds → W = integrál z F(r)*ds (obecný vzorec i pro nekonstantní sílu, ale musí se umět integrovat…) s F F φ s F/N W – obsah plochy pod křivkou dW = F*ds ds s/m

Práce 2 Práce jako fyzikální veličina je nulová v případě, že a) těleso se nepohybuje, dráha je nulová (případ, kdy držíme nějaké těleso na jednom místě!) b) směr pohybu je kolmý na směr působící síly. (případ, kdy pohybujeme tělesem ve stejné výšce a zanedbáme odporové síly). V tom případě je totiž φ = 90º → cos φ = 0 → W = F*s*cos φ = 0. Příklad: Určete práci vykonanou při vytahování tělesa o hmotnosti 2 kg po nakloněné rovině dlouhé 5 m s úhlem 30º Řešení:φ = 60º → W = F*s*cos 60º = m*g*s*cos 60º = 2*10*5*0,5 = 50 J s φ FG φ = 60º F/N s = 5 m FG 30º

Výkon V řadě aplikací není tak důležitá celková vykonaná práce jako spíše to, jak rychle se tato práce koná. To vystihuje skalární veličina výkon (značení P, jednotka 1 Watt – 1W, fyzikální rozměr: P = W/t → 1W = J/s =kg*m2*s-2/s =kg*m2*s-3). Výkon je tedy práce za čas. Platí pro něj (případ konstantní síly a rychlosti): P = W/t = F*s/t = F*(s/t) = F*v, pro velikost poté P = F*v*cos φ, kde φ je úhel mezi vektorem síly a vektorem rychlosti. Výkon je nenulový jen tehdy, když vektory síly a rychlosti na sebe nejsou kolmé! Pro práci platí vztah W = P*t, díky tomu můžeme práci udávat pomocí jednotek výkonu a času (běžně užíváno např. v energetice!) 1 W*s (wattsekunda) = 1 watt po dobu 1 sekundy, tedy 1 J

Výkon 2 1 kilowatthodina (kWh)= 1000 wattů po dobu 3600 s, tedy 3600000 Ws = 3600000 J = 3,6 MJ. Podobně 1 megawatthodina (MWh) = 106 W po dobu 3600 s, tedy, 3,6*109 Ws = 3,6*109 J = 3,6 GJ. Příklad: Lednice má výrobcem udanou spotřebu za rok 300 kWh. Kolik je to v Joulech a jaký je její průměrný výkon ve wattech? Řešení: 300 kWh = 300*1000*3600 = 1,08*109 J = 1,08 GJ. P = W/t = 1,08 *109/(365*24*3600) = 34,3 W. Spotřeba energie za rok je 1,08 GJ, průměrný výkon ledničky je 34,3 W.

Účinnost Zpravidla se ne všechna spotřebovaná energie využije na účinnou práci (dochází ke ztrátám způsobeným třením apod.). To popisuje veličina účinnost: označení η, bezrozměrná veličina resp. vyjádření v procentech. Platí: η = W/W0, kde W je vykonaná práce a W0 dodaná energie. Příklad: Určete účinnost motoru auta, které ujelo 162 km přičemž přemáhalo konstantní odporovou sílu F = 700 N. Spotřeba paliva byla V = 12 l, jeho výhřevnost poté A = 32 MJ/l. Řešení:Vykonaná práce je dána vztahem W = F*s = 700*162000 = 113, 4 MJ. Spotřebovaná energie je poté W0 = V*A = 12*32 = 394 MJ. Účinnost je tedy η = W/W0 = 113,4/394 ≈ 0,28 = 28 %.

Energie Energie je skalární fyzikální veličina udávající míru schopnosti tělesa konat práci. Charakterizuje stav soustavy. Energie soustavy je poté vždy definována jako práce vykonaná vnějšími silami k dosažení daného stavu → jednotka stejně jako práce 1 Joule. Rozlišujeme mechanickou energii (důležitá pro nás) a mnohé další druhy (elektrická, magnetická, energie vlnění, vnitřní energie – k ní patří např. tepelná, chemická či jaderná energie). V izolované soustavě (tj, žádná výměna energie) platí zákon zachování energie: Celková energie soustavy se nemění, dochází pouze k přeměnám mezi jednotlivými typy

Druhy mechanické energie Kinetická energie (práce nutná k dosažení dané rychlosti) Ekin = W = F*s = m*a*s = m*a*(1/2*a*t2) =1/2*m*(a*t)2 = ½*m*v2 (při odvození jsme uvažovali rovnoměrně zrychlený pohyb (viz, že s = 1/2*a*t2 a v=a*t) , ale výsledek platí obecně!) Tíhová potenciální energie (práce nutná k dosažení určité výšky v homogenním tíhovém poli – pozor, platí jen pro malé výšky h!) Epot = W = F*s = m*g*s = m*g*h (uvažujeme vytahování tělesa silou o velikosti tíhové síly do výšky h) F = m*g W = m*g*h h

Druhy mechanické energie 2 Potenciální energie pružnosti – práce nutná ke stlačení či prodloužení pružiny z rovnovážné polohy. Dá se odvodit, že platí Epr = ½*k*y2, kde k je tuhost pružiny a y výchylka z rovnovážné polohy. Odvození těžší kvůli nekonstantnosti síly, více v přednášce o kmitech Tlaková potenciální energie – význam v hydromechanice, má-li kapalina tlak p a pohne pístem s průřezem S o délku ∆l, koná práci Ept = W = F*∆l = p*S*∆l = p*∆V. y F = k*y, W = ½*k*y2 píst F p ∆l

Zachování mechanické energie Důležitá otázka je, kdy se celková mechanická energie zachovává?? Logická odpověď je, že tehdy, pokud v dané izolované soustavě nedochází k přeměnám na jiné druhy energie (např. na energii tepelnou v důsledku tření či odporu prostředí!!). Jakmile k těmto přeměnám dochází, ztrácí pojem potenciální energie tak, jak jsme je zavedli, zcela smysl! Velikost potenciální energie totiž závisí pouze na tom, jak vysoko nad povrchem se nacházíme či jaká je výchylka pružiny, ne však již na tom, jakým způsobem jsme této výšky či výchylky dosáhli. Při uvážení tření či odporu však musí záviset i na cestě, jakou jsme daného stavu dosáhli. Je tedy třeba, aby bylo možné stanovit jednu potenciální energii pro jeden bod a to bez ohledu na cestu. To nás vejde k pojmu konzervativní síly (konzervativní silové pole)

Konzervativní síly Práce musí záviset pouze na počáteční a koncové poloze tělesa, nikoliv na trajektorii!! Ekvivalentní podmínka: Práce vykonaná při pohybu po uzavřené křivce musí být rovna nule. V takovém případě je každému bodu přiřadit potenciální energii jako práci nutnou k přenesení tělesa z hladiny nulové potenciální energie (není jednoznačně určena, u tíhové potenciální energie se volí zpravidla povrch Země, jindy se uvažuje v nekonečnu) W1 = W2 W1 W2 W = 0

Konzervativní síly 2 Příklady konzervativních sil: Gravitační síly Elektrostatické síly Elastické síly Příklady nekonzervativních sil (práce po uzavřené křivce není rovna nule): Třecí síly Odporové síly U nekonzervativních sil dochází k přeměně mechanické energie na jiné druhy energie (např. na tepelnou – viz zahřívání koleček skateboardu při rychlé jízdě!)

Konzervativní síly 3 Ekvipotenciální plochy – množiny bodů majících stejnou potenciální energii (body se stejnou výškou u tíhové potenciální energie) Siločáry – neprotínající se křivky, které jsou kolmé k ekvipotenciálním plochám.Mají směr síly působící na těleso (přesněji směr intenzity pole – tj. síly vztažené na jednotkovou hmotnost (pole gravitačních sil) či jednotkový náboj (pole elektrostatických sil)) Ep = m*g*h h

Zákon zachování mechanické energie Pokud působí jen konzervativní síly, celková mechanická energie se zachovává (nedochází na rozdíl od nekonzervativních sil k přeměně mechanické energie na jiné druhy!) Tíhové pole Země (neuvažujeme odpor prostředí!) – součet kinetické a tíhové potenciální energie je konstantní: Ekin + Epot = ½*m*v2 + m*g*h = konst. Kmitání pružiny bez odporu prostředí: součet kinetické a potenciální energie pružnosti je konstantní: Ekin + Epr = ½*m*v2+1/2*k*y2 = konst . Proudění ideální kapaliny (nulová viskozita) – součet kinetické a potenciální tlakové energie je konstantní (tzv. Bernoulliho rovnice): Ekin + Epot +Ept = ½*m*v2 +m*g*h + p*V = konst.

Zákon zachování mechanické energie 2 Příklad: Těleso o hmotnosti m = 3 kg necháme padat z výšky h = 20 m v homogenním tíhovém poli Země. Jakou rychlostí vd dopadne? Tíhové zrychlení je g = 9,81 m*s-2. Neuvažujem odpor vzduchu! Řešení: Na počátku má těleso pouze tíhovou potenicální energii Epot1 = m*g*h. Jeho kinetická energie je Ekin1 = 0 (padá z klidu). Těsně před dopadem má naopak pouze kinetickou energii Ekin2 = ½*m*vd2, jeho potenciální energie je Epot2 = 0 (má nulovou výšku). Podle ZZME musí platit: Epot1+ Ekin1 = Epot2+ Ekin2 → m*g*h + 0 = 0 + ½*m*vd2 → 2*g*h = vd2 → vd = √2*g*h = √2*9,81*20 ≈ 19,5 m*s-1. Překvapivý výsledek – rychlost dopadu nezávisí na hmotnosti, pírko spadne z dané výšky stejně rychle jako cihla!! Proč??