Soustava tří lineárních rovnic Řešení Gaussovou eliminační metodou Řešení rovnic Soustava tří lineárních rovnic se třemi neznámými Řešení Gaussovou eliminační metodou Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Radomír Macháň. Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozuje Národní ústav pro vzdělávání, školské poradenské zařízení a zařízení pro další vzdělávání pedagogických pracovníků (NÚV).

Lineární rovnice se třemi neznámými: Rovnice tvaru ax + by + cz + d = 0, kde a, b, c, d  R jsou konstanty a x, y, z R jsou tři neznámé. Příkladem takové rovnice jsou například rovnice: Ale i rovnice tvaru: A samozřejmě i rovnice, které k uvedeným tvarům vedou použitím ekvivalentních úprav:

Soustava lineárních rovnic se třemi neznámými: Trojice rovnic tvaru L1(x, y, z) = P1(x, y, z), L2(x, y, z) = P2(x, y, z) a L3(x, y, z) = P3(x, y, z), které musí platit zároveň. Systém rovnic je třeba chápat jako celek. Příkladem takové soustavy jsou například rovnice: Ale i rovnice tvaru: A samozřejmě i rovnice, které k základním tvarům lineárních rovnic vedou použitím ekvivalentních úprav:

Ekvivalentní úpravy při řešení soustavy lineárních rovnic: Pří řešení soustav lineárních rovnic s více neznámými se používají stejné ekvivalentní úpravy jako pro soustavy se dvěma neznámými, a navíc i některé další: Ekvivalentní úpravy jednotlivých rovnic soustavy Dosazení výrazu, kterým z jedné rovnice vyjádříme některou neznámou pomocí ostatních neznámých, za příslušnou neznámou do jiné rovnice (dosazovací metoda). Přičtením násobku některé rovnice soustavy k jiné rovnici této soustavy nebo k jejímu nenulovému násobku (sčítací metoda). Záměna pořadí rovnic. Vynechání rovnice, která je násobkem jiné rovnice soustavy (zvláštním případem je vynechání rovnice, která je nulovým násobkem jiné rovnice soustavy, tj. vynechání rovnice typu 0x + 0y + 0y = 0).. Cílem početních operací při výpočtu soustavy lineárních rovnic je získat řešení, tedy nalézt všechny uspořádané trojice [x; y; z], které po dosazení do soustavy splní všechny její rovnice. Základním principem těchto operací je postupné vyloučení (eliminace) dvou neznámých, a tím výpočet té poslední - třetí. Následně pak pomocí ní výpočet oněch dvou „vyloučených“.

Gaussova eliminační metoda Popis postupu při řešení soustavy tří lineárních rovnic se třemi neznámými Gaussovou eliminační metodou si ukážeme na následující soustavě rovnic: Řešme v R soustavu rovnic: Krok (nepovinný): Zkrácení rovnic a přerovnání soustavy tak, aby rovnice s nejmenším nenulovým koeficientem x byla první.

Gaussova eliminační metoda Popis postupu při řešení soustavy tří lineárních rovnic se třemi neznámými Gaussovou eliminační metodou si ukážeme na následující soustavě rovnic: Řešme v R soustavu rovnic: Krok: První rovnici opíšeme, ke druhé a třetí rovnici nebo k jejich nenulovým násobkům přičteme takové násobky první rovnice, aby v obou těchto rovnicích neznámá zapisovaná jako první zmizela. 6

Gaussova eliminační metoda Popis postupu při řešení soustavy tří lineárních rovnic se třemi neznámými Gaussovou eliminační metodou si ukážeme na následující soustavě rovnic: Řešme v R soustavu rovnic: Krok: První rovnici opíšeme, ke druhé a třetí rovnici nebo k jejich nenulovým násobkům přičteme takové násobky první rovnice, aby v obou těchto rovnicích neznámá zapisovaná jako první zmizela. …ke druhé rovnici nebo jejímu nenulovému násobku přičteme takový násobek první rovnice, aby neznámá x zmizela. 7

Gaussova eliminační metoda Popis postupu při řešení soustavy tří lineárních rovnic se třemi neznámými Gaussovou eliminační metodou si ukážeme na následující soustavě rovnic: Řešme v R soustavu rovnic: …ke druhé rovnici nebo jejímu nenulovému násobku přičteme takový násobek první rovnice, aby neznámá x zmizela. 8

Gaussova eliminační metoda Popis postupu při řešení soustavy tří lineárních rovnic se třemi neznámými Gaussovou eliminační metodou si ukážeme na následující soustavě rovnic: Řešme v R soustavu rovnic: Krok – „likvidace x“: První rovnici opíšeme, ke druhé a třetí rovnici nebo k jejich nenulovým násobkům přičteme takové násobky první rovnice, aby v obou těchto rovnicích neznámá x zmizela. 9

Gaussova eliminační metoda Popis postupu při řešení soustavy tří lineárních rovnic se třemi neznámými Gaussovou eliminační metodou si ukážeme na následující soustavě rovnic: Řešme v R soustavu rovnic: Krok – „likvidace x“: První rovnici opíšeme, ke druhé a třetí rovnici nebo k jejich nenulovým násobkům přičteme takové násobky první rovnice, aby v obou těchto rovnicích neznámá x zmizela. …ke třetí rovnici nebo jejímu nenulovému násobku přičteme takový násobek první rovnice, aby neznámá x zmizela. 10

Gaussova eliminační metoda Popis postupu při řešení soustavy tří lineárních rovnic se třemi neznámými Gaussovou eliminační metodou si ukážeme na následující soustavě rovnic: Řešme v R soustavu rovnic: …ke třetí rovnici nebo jejímu nenulovému násobku přičteme takový násobek první rovnice, aby neznámá x zmizela. 11

Gaussova eliminační metoda Popis postupu při řešení soustavy tří lineárních rovnic se třemi neznámými Gaussovou eliminační metodou si ukážeme na následující soustavě rovnic: Řešme v R soustavu rovnic: Krok – „likvidace x“: První rovnici opíšeme, ke druhé a třetí rovnici nebo k jejich nenulovým násobkům přičteme takové násobky první rovnice, aby v obou těchto rovnicích neznámá x zmizela. 12

Gaussova eliminační metoda Popis postupu při řešení soustavy tří lineárních rovnic se třemi neznámými Gaussovou eliminační metodou si ukážeme na následující soustavě rovnic: Řešme v R soustavu rovnic: Krok – „likvidace x“: První rovnici opíšeme, ke druhé a třetí rovnici nebo k jejich nenulovým násobkům přičteme takové násobky první rovnice, aby v obou těchto rovnicích neznámá x zmizela. Po každém kroku doporučuji zkrátit všechny nově vzniklé rovnice, které to umožňují (zjednodušuje to další výpočty, máme menší čísla). 13

Gaussova eliminační metoda Popis postupu při řešení soustavy tří lineárních rovnic se třemi neznámými Gaussovou eliminační metodou si ukážeme na následující soustavě rovnic: Řešme v R soustavu rovnic: Krok – „likvidace y“: S první rovnicí již nebudeme dále počítat, použijeme ji pouze na konci příkladu pro určení x. Druhou rovnici opíšeme a ke třetí rovnici nebo k jejímu nenulovému násobku přičteme takový násobek druhé rovnice, aby ve třetí rovnici neznámá y zmizela. 14

Gaussova eliminační metoda Popis postupu při řešení soustavy tří lineárních rovnic se třemi neznámými Gaussovou eliminační metodou si ukážeme na následující soustavě rovnic: Řešme v R soustavu rovnic: Krok – „likvidace y“: S první rovnicí již nebudeme dále počítat, použijeme ji pouze na konci příkladu pro určení x. Druhou rovnici opíšeme a ke třetí rovnici nebo k jejímu nenulovému násobku přičteme takový násobek druhé rovnice, aby ve třetí rovnici neznámá y zmizela. …ke třetí rovnici nebo k jejímu nenulovému násobku přičteme takový násobek druhé rovnice, aby ve třetí rovnici neznámá y zmizela. 15

Gaussova eliminační metoda Popis postupu při řešení soustavy tří lineárních rovnic se třemi neznámými Gaussovou eliminační metodou si ukážeme na následující soustavě rovnic: Řešme v R soustavu rovnic: …ke třetí rovnici nebo k jejímu nenulovému násobku přičteme takový násobek druhé rovnice, aby ve třetí rovnici neznámá y zmizela. 16

Gaussova eliminační metoda Popis postupu při řešení soustavy tří lineárních rovnic se třemi neznámými Gaussovou eliminační metodou si ukážeme na následující soustavě rovnic: Řešme v R soustavu rovnic: Krok – „likvidace y“: S první rovnicí již nebudeme dále počítat, použijeme ji pouze na konci příkladu pro určení x. Druhou rovnici opíšeme a ke třetí rovnici nebo k jejímu nenulovému násobku přičteme takový násobek druhé rovnice, aby ve třetí rovnici neznámá y zmizela. 17

Gaussova eliminační metoda Popis postupu při řešení soustavy tří lineárních rovnic se třemi neznámými Gaussovou eliminační metodou si ukážeme na následující soustavě rovnic: Řešme v R soustavu rovnic: Krok: Vypočítáme y z druhé rovnice dosazením vypočítaného z do ní a následně x z první rovnice dosazením vypočítaných y a z do ní. Krok: Ověříme správnost našich výpočtů provedením zkoušky řešení dosazením do všech tří rovnic zadané soustavy. 18

Gaussova eliminační metoda Popis postupu při řešení soustavy tří lineárních rovnic se třemi neznámými Gaussovou eliminační metodou si ukážeme na následující soustavě rovnic: Řešme v R soustavu rovnic: Zkouška: 19

Gaussova eliminační metoda Popis postupu při řešení soustavy tří lineárních rovnic se třemi neznámými Gaussovou eliminační metodou si ukážeme na následující soustavě rovnic: Řešme v R soustavu rovnic: Shrnutí: Při řešení soustavy rovnic o více neznámých Gaussovou eliminační metodou směřujeme postupnou eliminací neznámých k vyjádření soustavy rovnic v tzv. trojúhelníkovém tvaru. V něm pak postupujeme zdola nahoru a postupně dopočítáváme hodnoty jednotlivých neznámých. Pokud při libovolném kroku objevíme dva stejné řádky, jeden z nich vynecháme. Pokud při libovolném kroku objevíme dva řádky se stejnou levou stranou a různou pravou stranou, soustava nemá řešení (podmínky jsoucí proti sobě). 20

Gaussova eliminační metoda Tak ještě jednou krok za krokem. Řešme v R soustavu rovnic: Všechny rovnice upravíme do tvaru ax + by + cz = d. Případně i zkrátíme či rozšíříme. 21

k rovnici první či k jejímu násobku. Gaussova eliminační metoda Tak ještě jednou krok za krokem. Řešme v R soustavu rovnic: První a druhá rovnice… Vyeliminujeme proměnnou x ze druhé a třetí rovnice jejich přičtením či přičtením jejich násobků k rovnici první či k jejímu násobku. 22

Gaussova eliminační metoda Tak ještě jednou krok za krokem. Řešme v R soustavu rovnic: První a druhá rovnice… …první a třetí rovnice. 23

Gaussova eliminační metoda Tak ještě jednou krok za krokem. Řešme v R soustavu rovnic: První a druhá rovnice… …první a třetí rovnice. 24

Gaussova eliminační metoda Tak ještě jednou krok za krokem. Řešme v R soustavu rovnic: 25

k rovnici druhé či k jejímu násobku. Gaussova eliminační metoda Tak ještě jednou krok za krokem. Řešme v R soustavu rovnic: Vyeliminujeme proměnnou y ze třetí rovnice jejím přičtením či přičtením jejího násobku k rovnici druhé či k jejímu násobku. 26

Gaussova eliminační metoda Tak ještě jednou krok za krokem. Řešme v R soustavu rovnic: Vypočítáme zbývající proměnné postupným dosazováním do vyšších rovnic v trojúhelníkovém tvaru. 27

A na závěr ještě provést zkoušku správnosti. Gaussova eliminační metoda Tak ještě jednou krok za krokem. Řešme v R soustavu rovnic: A na závěr ještě provést zkoušku správnosti. 28

Gaussova eliminační metoda Tak ještě jednou krok za krokem. Řešme v R soustavu rovnic: 29

a druhou rovnici rozšíříme desetkrát. Druhou rovnici zkrátíme -4. Gaussova eliminační metoda Tak ještě jednou. Řešme v R soustavu rovnic: První a třetí rovnici vynásobíme -1, aby byl koeficient u proměnné x kladný. Rovnice upravíme na tvar ax + by + cz = d a druhou rovnici rozšíříme desetkrát. Druhou rovnici zkrátíme -4. 30

Gaussova eliminační metoda Tak ještě jednou. Řešme v R soustavu rovnic: První a druhá rovnice… …první a třetí rovnice. 31

Gaussova eliminační metoda Tak ještě jednou. Řešme v R soustavu rovnic: Pokud při libovolném kroku objevíme dva řádky se stejnou levou stranou a různou pravou stranou, soustava nemá řešení (podmínky jsoucí proti sobě). 32

Příklady k procvičení Řešme v R soustavu rovnic: 33

Příklady k procvičení Řešme v R soustavu rovnic: Zkouška: 34

Příklady k procvičení Řešme v R soustavu rovnic: 35

Příklady k procvičení Řešme v R soustavu rovnic: Zkouška: 36

Použité obrázky: Všechny uveřejněné odkazy [online]. [cit. 2010-06-10]. Dostupné pod licencí Public domain na WWW: <http://www.clker.com/clipart-blackboard.html>.