KMT/MCH3 – Mechanika 3 Přehled středoškolské mechaniky kontinua, didaktické aspekty problematiky 3. 10. 2017 Jiří Kohout Katedra matematiky, fyziky a technické výchovy, Fakulta pedagogická, Západočeská univerzita v Plzni

Obsah přednášky Deformovatelná tělesa na SŠ, Hookův zákon, Vlastnosti tekutin, ideální kapalina, ideální plyn Tlak vnějších sil, Pascalův zákon Hydrostatický tlak, Torricelliho pokus, Archimedův zákon Proudění kapalin, viskozita Rovnice kontinuity, Bernoulliho rovnice Obtékání těles kapalinou Didaktické poznámky (miskoncepce, experimenty, úlohy)

Mechanika deformovatelných těles Velmi omezený rozsah (ZŠ nic, 2. ročník SŠ, Molekulová fyzika a termika, pevné látky) Kvalitativně 5 základních typů deformací (tah, tlak, ohyb, smyk, krut), ale kvantitativně pouze tah (omezeno na 1D, neřešíme zúžení tyče při tahu apod.) Základní pojmy: Relativní prodloužení: ε = ∆l/l0 (bezrozměrné) Normálové napětí: n = Fn/S [Pa] Hookův zákon: n = E* ε , E Youngův modul pružnosti v tahu [GPa] Kombinací vztah pro prodloužení tyče ∆l = (F*l0)/(E*S).

Mechanika deformovatelných těles 2 Někdy uváděn rovněž klasický graf závislosti napětí na relativním prodloužení při tahu (pozor, různé možnosti; Hookův zákon platí pouze v první části křivky, do tzv. meze úměrnosti) Zajímavý problém - deformace tyče vlastní vahou (viz dále)

Mechanika tekutin Na ZŠ v 7. třídě (kapaliny bez hydrodynamiky včetně povrchového napětí apod.) i plyny (důraz na atmosférický tlak) Na SŠ v 1. ročníku kapaliny (mechanická část včetně hydrodynamiky), ve 2. ročníku v rámci tématu Molekulová fyzika a termika plyny a rovněž kapaliny (povrchové napětí, kapilární jevy apod.

Tekutiny Tekutiny (kapaliny a plyny) se výrazně odlišují vnitřní strukturou od pevných látek, na rozdíl od nich jsou kvůli nízké vnitřní potenciální energii (ve srovnání s kinetickou) tvarově nestálé, molekuly nezaujímají rovnovážné polohy Kapaliny – jsou v podstatě nestlačitelné, tj. malý stálý objem, tvar je určen tvarem nádoby Plyny – jsou stlačitelné, objem i tvar je dán tvarem nádoby Poznámka – existuje ještě 4. skupenství – plazma (vysoce ionizovaný plyn) Ve vesmíru je drtivá většina hmoty v plazmatickém skupenství! Pevná látka- Epot > Ekin Kapalina – Epot ≈ Ekin Plyn – Ekin > Epot

Ideální kapalina, ideální plyn Pro zjednodušení zavádíme fyzikální abstrakce – ideální kapalina, ideální plyn Ideální kapalina (IK) – (i) je dokonale nestlačitelná, (ii) má nulové vnitřní tření Ideální plyn (IP) – (i) rozměry částic jsou zanedbatelné, (ii) částice na sebe mimo srážky silově nepůsobí,(iii) srážky jsou dokonale pružné Výhoda IP, IK – jednoduchý matematický popis Nevýhoda IP, IK – v řadě případů mimo realitu, např. popisovat med jako kapalinu bez vnitřního tření vede k nesmyslným výsledkům… Dále se budeme věnovat v podstatě jen případu IK.

Tlak 1 Hydrostatika se zabývá mechanickými vlastnosti kapalin nacházejících se v klidu. Základním veličinou je zde tlak (značíme p) definovaný jako síla na plochu. Tedy p= F/S. Jednotka tlaku je pascal (Pa). Rozměr Pa: p = F/S → Pa = N/m2 = kg*m*s-2/m2 = kg*m-1*s-2 Pozor, vždy musíme důsledně rozlišovat (a) tlak vyvolaný povrchovými silami (např. silou působící na píst v hydraulickém lisu) (b) tlak vyvolaný objemovými silami (např. tlak vyvolaný tíhovou silou působící na každou částici kapaliny) Píst – povrch S F Tlak p = F/S vyvolaný povrchovou vnější silou Povrch dna S, hmotnost kapaliny m Tlak p = FG/S =m*g/S vyvolaný objemovou tíhovou silou FG.

Tlak vnějších sil, Pascalův zákon Uvažujme, že na píst o obsahu S působíme vnější povrchovou silou F, objemové síly ignorujeme. Pascalův zákon: Tlak vyvolaný vnější povrchovou silou je ve všech místech kapaliny stejný! Důsledek: hydraulická zařízení (lis, zvedák apod.) – malou silou F1 působící na malý píst obsahu S1 můžeme vyvolat mnohem větší sílu F2 působící na velký píst obsahu S2 F1/S1 = F2/S2 F2 S1 F1 S2 p = konst. → F1/S1 = F2/S2 → F2 = F1*S1/S2

Hydrostatický tlak Nyní uvažujme tlak u dna vyvolaný tíhovou silou FG (objemová síla) působící na kapalinu o hmotnosti m (hustota ρ) umístěnou v nádobě tvaru kvádru s povrchem dna S. p = FG/S = m*g/S = V*ρ*g/S = S*h*ρ*g/S= h*ρ*g Hydrostatický tlak tedy závisí na hustotě kapaliny, výšce hladiny a na tíhovém zrychlení. Výpočet pro tvar kvádru, platí však hydrostatické paradoxon: Hydrostatický tlak nezávisí na tvaru nádoby (ve skutečnosti nejde o žádný paradox, je to důsledek rovnic mechaniky kapalin!) Tlaková síla na dno: F = p*S = S*h*ρ*g. ρ h p S F ρ h p F S p = h*ρ*g

Hydrostatický tlak 2 Příklad: Stanovte tlakové síly působící na stěny akvária tvaru kvádru o hraně a = 50 cm, které je kompletně naplněno vodou o hustotě ρ = 1000 kg/m3. Tíhové zrychlení berte jako g = 10 m*s-2 Řešení: Tlakovou sílu na dno určíme snadno jako F1 = p1*S = a*ρ*g*S = a*ρ*g*a2 = a3*ρ*g = 0,53*1000*10 = 1250 N. Horší je to s tlakovou silou F2 na boční stěny (vzhledem k symetrii bude na všechny stejná). Tlak se v závislosti na hloubce h pod hladinou spojitě mění. U dna je hloubka a, u hladiny je 0. Proto vezmeme průměrnou hodnotu a/2 a spočteme: F2 = p2*S = a/2*ρ*g*S = a/2*ρ*g*a2 = a3/2*ρ*g = 0,53/2*1000*10 = 625 N. a/2 ρ p2 a p1 S = a2 F1 p1 = a*ρ*g p2 = a/2* ρ*g Poznámka: Zprůměrování hloubek bylo možné pouze díky krychlovému tvaru nádoby!!

Torricelliho pokus Pokus umožňující určit hodnotu atmosférického tlaku. Umístíme trubičku do nádoby se rtutí a uvidíme, ze rtuť v trubičce vystoupá do výšky h nad hladinu v nádobě. U hladiny v nádobě se musí rovnat hydrostatický tlak rtuti h*ρ*g atmosférickému tlaku pa (nahoře v trubičce je prakticky vakuum) → z výšky h určíme atmosférický tlak. Proč rtuť?? Má vysokou hustotu (ρ = 13600 kg*m-3). Pro rtuť je pak výška h při pa = 100 kPa zhruba 76 cm, pro vodu by byla 10 m!!). Atmosférický tlak závisí na výšce nad zemí, s výškou klesá zhruba podle tzv. barometrické formule: pa = p0*e-ρ*g*h/k*T (e – Eulerovo číslo, zhruba 2,71, p0 tlak v nulové výšce) vakuum h pa ρ pa = h*ρ*g

Archimedův zákon 1 V nádobě s kapalinou máme homogenní těleso tvaru krychle o hraně a. Horní podstava je h1 pod hladinou, dolní poté h2 pod hladinou. Na všechny stěny působí tlakové síly, ty z boku se však díky stejné velikosti a opačnému směru vyruší. Tlaková síla F2 je však větší než tlaková síla F1, jejich rozdílem je vztlaková síla Fvz, která působí směrem vzhůru! Pro její velikost platí: Fvz = F2 - F1 = p2*a2-p1*a2 = (h2*ρ*g-h1*ρ*g)*a2 = (h2-h1)*ρ*g *a2 = a*a2* ρ*g = V*ρ*g. Výpočet jsme provedli pro těleso tvaru kvádru, složitěji lze ukázat, že platí i pro jiné tvary! h1 p1 F1 h2 a F2 p2 a = h2 – h1

Archimedův zákon 2 Pokud není ponořeno celé těleso, ale pouze určitá jeho část, musíme do vztahu pro vztllaovou sílu dosadit pouze objem ponořené části. Uvědomíme si, že pro tíhu kapaliny vytlačené těleso platí vztah FG = m*g = Vponor*ρ*g a můžeme zformulovat Archimedův zákon: Těleso ponořené do kapaliny je nadlehčováno vztlakovou silou, rovnající se tíze kapaliny stejného objemu jako je ponořená část tělesa. Poznámka: Archimedův zákon platí i pro plyny, hustota plynu je však zpravidla tak malá, že vztlaková síla může být zanedbána (ne vždy!) Fvz ρ FG Fvz = V*ρ*g Vponor Fvz FG ρt –hustota tělesa ρ Fvz = Vponor*ρ*g FG = m*g = V*ρt *g

Archimedův zákon 3 Jak se bude těleso chovat v tíhovém poli v kapalině v závislosti na hustotě kapaliny ρ a hustotě tělesa ρt? Jsou 3 možnosti: ρ < ρt → FG = V*ρt*g > Fvz = V*ρ*g → těleso klesá ke dnu ρ = ρt → FG = V*ρt*g = Fvz = V*ρ*g → těleso bude celé ponořené, neklesne však ke dnu (hraniční případ) ρ > ρt → FG = V*ρt*g < Fvz = V*ρ*g → část tělesa se vynoří. Jaká část zůstane ponořena? FG = Fvz → V*ρt*g = Vponor* ρ*g → Vponor = V*ρt/ρ. Příklad: Jaká část ledovce (hustota ledu ρl = 917 kg/m3) je pod hladinou v mořské vodě o hustotě ρv = 1030 kg/m3 ? Řešení: Použitím vztahu Vponor = V*ρl/ρv dostáváme V ponor ≈ 0,89 V. Tj téměř 90% ledu je pod hladinou, pouze zhruba desetina nad ní (špička ledovce)

Viskozita U reálné kapaliny vždycky existuje vnitřní tření, které vzniká kvůli vzájemnému silovému působení částic během proudění Vyšší vnitřní tření → pomalejší proudění Fyzikální veličina popisující vnitřní tření – viskozita. Rozlišujeme dynamickou viskozitu η a kinematickou viskozitu μ = η/ρ, kde ρ je hustota kapaliny. Viskozita s rostoucí teplotou kapaliny klesá! Popis reálných kapalin je matematicky velmi náročný, proto se budeme omezovat na případ ideální kapaliny (= nestlačitelné kapaliny s nulovou viskozitou)

Hydrodynamika – typy proudění Na rozdíl od hydrostatiky se zabývá pohybem kapalin, tedy prouděním. Zajímá se o rychlost proudění případně energii kapaliny.Rozlišujeme proudění a) stacionární (rychlost se nemění v čase) b) nestacionární (rychlost se mění v čase). Důležitější je však rozdělení na a) laminární proudění – proudnice jsou navzájem rovnoběžné, nejsou víry b) turbulentní (vírové) proudění –dochází ke vzniku vírů. Přechod od laminárního k turbulentímu proudění nastává při zvýšení rychlosti, závisí však i na průměru trubice d a kinematické viskozitě μ. Přechod popisuje tzv. Reynoldsovo číslo Re = v*d/ μ, turbulentní proudění nastává zhruba pro Re > 4000 Laminární proudění Pozn. vzhledem k viskozitě není rychlost stejná!! turbulentní proudění

Rovnice kontinuity Při proudění kapaliny zavádíme veličinu objemový tok QV udávající, jaký objem protekl za jednotku času. Pro výpočet platí QV= S*v, jednotka je proto m2*m*s-1 = m3*s-1 Pro ideální kapalinu (je nestlačitelná) platí, že objemový tok v různých průřezech trubice musí být stálý (kapalina se nemůže nikam ztratit, jde o přímý důsledek zákona zachování hmotnosti!) Rovnice kontinuity: QV = konst. → S1*v1 = S2*v2 Pokud tedy zmenšíme, průřez zvětší se rychlost (viz zahradní hadice apod.) S2 Rychlost v průřezu uvažujeme všude stejnou, protože jde o IK (tj. nulové vnitřní tření) S1 v2 S1*v1 = S2*v2 v1

Tlaková potenciální energie Tlaková potenciální energie – má-li kapalina tlak p a pohne pístem s průřezem S o délku ∆l, koná práci Ept = W = F*∆l = p*S*∆l = p*∆V. Tlaková potenciální energie vztažená na jednotku objemu je rovnou (hydrodynamický) tlak. píst F p ∆l

Bernoulliho rovnice p1 Zákon zachování mechanické energie pro proudění ideální kapaliny (viz 4. přednáška) – obecně zahrnuje kinetickou energii Ekin = ½*m*v2, potenciální energii Epot = m*g*h a tlakovou energii Etl = p*V. Součet musí být konstantní. Bernoulliho rovnice je zpravidla ve tvaru po vydělení objemem V: ½*ρ*v2 + ρ*g*h + p = konst. Pro vodorovnou trubici (tj- stálá potenciální tíhová energie máme: ½*ρ*v2 + p = konst. (tj. růst rychlosti vede ke snížení tlaku!) Pro reálnou kapalinu rovnice neplatí kvůli přítomnosti vnitřního tření (stejně jako neplatí ZZME pro volný pád, když počítáme odpor vzduchu – přeměna na vnitřní energii!) v1 p2 h1 v2 h2 ½*ρ*v12 + ρ*g*h1 +p1 = ½*ρ*v22 + ρ*g*h2 + p2

Výtok kapaliny otvorem pa – atmosférický tlak Uvažujeme nádobu průřezu S1, z jejíhož dna vytéká kapalina otvorem velikosti S2. Jaká je výtoková rychlost v? Užitím rovnice kontinuity a Bernoulliho rovnice dostáváme (případ IK) vztah v = √2*g*h/(1-S22/S12) Pokud je S2 << S1 (tj. velmi malý otvor), získáváme Torricelliho vztah: v = √2*g*h (stejný vzorec jako pro dopadovou rychlost při volném pádu bez odporu z výšky h) Integrálem lze určit dobu výtoku. S1 v1 h ρ v S2 RK: S1*v1 = S2*v BR: ½*ρ*v12 + ρ*g*h+ pa = ½*ρ*v2 + pa, řešením soustavy: v = √2*g*h/(1-S22/S12)

Obtékání těles kapalinou Při obtékání nehybného tělesa kapalinou nebo pohybu tělesa v kapalině vzniká odporová síla. Její velikost je dána pro laminární proudění Stokesovým vzorcem Fod = 6*π*r*v*η (r – poloměr koule, v relativní rychlost tělesa a kapaliny, η dynamická viskozita) Pro turbulentní proudění platí Newtonův vzorec Fod = ½*C*S*ρ*v2 (C je koeficient daný tvarem tělesa, je určován zpravidla experimentálně) S – průřez tělesa v ρ Fod Odporové síly: Stokes (laminární proudění): Fod = 6*π*r*v*η Newton (turb. proudění): Fod = ½*C*S*ρ*v2

Časté miskoncepce studentů Zaměňování tlaku vyvolaného vnějšími silami a tíhovou silou (tj. užívání Pascalova zákona pro hydrostatický tlak), problémy s pochopením podstaty atmosférického tlaku. Nepochopení podstaty vztlakové síly jako rozdílu tlakových sil působících na dolní a horní podstavu  mechanické užívání vzorce F = V*ρ*g s chápáním V jako objemu celého tělesa i tam, kde není vhodný. Nepochopení pojmu tlaková potenciální energie a s tím související problémy s Bernoulliho rovnicí (hydrodynamický paradox). Představa, že tlak je v zúženém průřezu větší, což je v rozporu s Bernoulliho rovnicí.

Významné experimenty a měření 1 U mechaniky deformovatelných těles problematické, vhodné zařadit laboratorní úlohu na měření Youngova modulu pružnosti (vhodná např. prádlová guma) či využít modul od Vernieru apod.

Významné experimenty a měření 2 U mechaniky tekutin řada experimentů, velmi vhodné demonstrovat atmosférický tlak a provést odpovídající pokus s plastovou lahví s otvorem. Na procvičení zákona akce a reakce a vztahu pro vztlakovou sílu vhodné provést pokus se sílou působící na závaží a vzduchu a ve vodě, přičemž kádinka stojí na vahách. Úkol: Tento pokus lze rovněž využít ke měření hustoty homogenního tělesa zavěšeného na siloměr. Odvoďte vzorec pro uvedenou hustotu pomocí hustoty vody ρv, změny hmotnosti udané vahami po ponoření tělesa ∆m a tíhové síly působící na těleso na vzduchu FG. Na hydrodynamiku vhodné fouknutí mezi dva listy papíru

Významné výpočtové úlohy Řada možností, uveďme dvě zajímavé úlohy (1 na deformace, 1 na tekutiny): Určete, o kolik se prodlouží v důsledku působení tíhové síly svisle umístěná ocelová tyč o původní délce 1 m, když víte, že hustota oceli je 7800 kg/m3 a její Youngův modul je 210 GPa. Uvažujme korkovou (hustota korku je 200 kg/m3) krychli o hraně 10 cm, která je udržována pod hladinou vody o hustotě 1000 kg/m3 pomocí brčka o průměru 5 cm. Jakou silou musíme působit na brčko?