Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze. VARIACE BEZ OPAKOVÁNÍ Rozbor úlohy Řešení úlohy Obrázek 1 Obrázek 2 Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Lenka Pláničková. Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

1 Ze čtyř chlapců, kteří je jmenují Aleš, Bedřich, Cyril a David, vybíráme na branné cvičení tříčlennou hlídku, v níž bude určen velitel, chemik a zdravotník. Napište seznam možných hlídek. 2 Kolik trikolor můžeme ušít z červené, žluté, modré, bílé a zelené látky? 3 Ve čtvrtém ročníku se vyučuje 12 předmětů. Každý předmět se vyučuje nejvýše jednu hodinu denně. Kolika způsoby sestavíte rozvrh na jeden den se sedmi vyučovacími hodinami? 4 Kolik různých výsledků může mít hokejový zápas, nastřílejí-li obě mužstva nejvýše po třech gólech, hosté dostanou alespoň jeden gól a remíza padne pouze v případě skóre 3:3. 5 Určete počet všech přirozených pěticiferných čísel, která jsou tvořena z různých cifer 0, 1, 3, 5, 7, 9. 6 Určete počet všech přirozených trojciferných čísel, která jsou tvořena z různých cifer 0, 2, 4, 5, 6, 9 a jsou dělitelná číslem 5. Pro funkčnost hypertextových odkazů v prezentaci musíte po každém otevření souboru provést na snímku 2 následující: 1. načíst obrázky v pravé části (16) do bloku 2. pravé tlačítko myši – seskupit 3. pravé tlačíko myší – zrušit skupinu 7 Z kolika prvků je možno utvořit 210 variací druhé třídy bez opakování? 8 Určete počet prvků množiny, z nichž lze utvořit dvacetkrát méně uspořádaných dvojic než uspořádaných čtveřic, jestliže se v nich žádný prvek neopakuje. levý obrázek: Obrázek 1 pravý obrázek: Obrázek 2

1 Ze čtyř chlapců, kteří je jmenují Aleš, Bedřich, Cyril a David, vybíráme na branné cvičení tříčlennou hlídku, v níž bude určen velitel, chemik a zdravotník. Napište seznam možných hlídek. 1 Mezi hlídkami je třeba rozlišovat nejen jejich složení podle jmen chlapců, ale i to, kdo bude velitelem, kdo chemikem a kdo zdravotníkem. Řešením úlohy budou všechny možné uspořádané trojice ze čtyř prvků (chlapců) neboli variace bez opakování třetí třídy ze čtyř prvků. V sestavovaném seznamu budeme zapisovat na první místo velitele, na druhé chemika a na třetí zdravotníka. Z Obrázek 2

1 Ze čtyř chlapců, kteří je jmenují Aleš, Bedřich, Cyril a David, vybíráme na branné cvičení tříčlennou hlídku, v níž bude určen velitel, chemik a zdravotník. Napište seznam možných hlídek. 1 A (Aleš), B (Bedřich), C (Cyril), D (David) pořadí funkcí ve hlídce: velitel, chemik, zdravotník [A, B, C] [A, B, D] [A, C, B] [A, C, D] [A, D, B] [A, D, C] [B, A, C] [B, A, D] [B, C, A] [B, C, D] [B, D, A] [B, D, C] [C, A, B] [C, A, D] [C, B, A] [C, B, D] [C, D, A] [C, D, B] [D, A, B] [D, A, C] [D, B, A] [D, B, C] [D, C, A] [D, C, B] Všechny možné hlídky, ve kterých bude velet Bedřich. Všechny možné hlídky, ve kterých bude velet Aleš. Všechny možné hlídky, ve kterých bude velet Cyril. Všechny možné hlídky, ve kterých bude velet David. Z Obrázek 1

2 Kolik trikolor můžeme ušít z červené, žluté, modré, bílé a zelené látky? Trikolora je stuha nebo vlajka skládající se ze tří různých barev, obvykle uspořádaných do stejně širokých pruhů vodorovně, nebo svisle. Česká trikolora: Francouzská trikolora: Co je trikolora. 

2 Kolik trikolor můžeme ušít z červené, žluté, modré, bílé a zelené látky? Každá ušitá trikolora představuje uspořádanou trojici, ve které záleží na pořadí barev, z nichž je ušita. V uspořádané trojici se vyskytuje každá barva právě jednou. Tyto uspořádané trojice jsou variace bez opakování třetí třídy z pěti prvků (barev). Počet všech možných ušití trikolor je tedy roven počtu V3 (5) všech variací bez opakování třetí třídy z pěti prvků. Z Obrázek 2

Upravíme jmenovatele zlomku. 2 Kolik trikolor můžeme ušít z červené, žluté, modré, bílé a zelené látky? k = 3 n = 5 Z pěti barevných látek můžeme ušít 60 trikolor. Upravíme jmenovatele zlomku. Dopočítáme příklad. Vypočteme faktoriály. Dosadíme do vzorce. Z Obrázek 1

3 Ve čtvrtém ročníku se vyučuje 12 předmětů. Každý předmět se vyučuje nejvýše jednu hodinu denně. Kolika způsoby sestavíte rozvrh na jeden den se sedmi vyučovacími hodinami? 3 Každý rozvrh je uspořádanou sedmicí, ve které záleží na pořadí předmětů. Vzhledem k tomu, že se každý předmět vyučuje nejvýše jednu hodinu denně, jsou tyto uspořádané sedmice variace bez opakování sedmé třídy z dvanácti prvků (předmětů). Počet všech možných požadovaných rozvrhů je tedy roven počtu V7 (12) všech variací bez opakování sedmé třídy z dvanácti prvků. Z Obrázek 2

Upravíme jmenovatele zlomku. Ve čtvrtém ročníku se vyučuje 12 předmětů. Každý předmět se vyučuje nejvýše jednu hodinu denně. Kolika způsoby sestavíte rozvrh na jeden den se sedmi vyučovacími hodinami? 3 k = 7 n = 12 Požadovaný rozvrh můžeme sestavit 3 991 680 způsoby. Upravíme jmenovatele zlomku. Dopočítáme příklad. Vypočteme faktoriály. Dosadíme do vzorce. Z Obrázek 1

4 Kolik různých výsledků může mít hokejový zápas, nastřílejí-li obě mužstva nejvýše po třech gólech, hosté dostanou alespoň jeden gól a remíza padne pouze v případě skóre 3:3. 4 Na každý výsledek se můžeme dívat jako na uspořádanou dvojici (domácí : hosté), v níž záleží na počtu nastřílených gólů. Počet všech možných výsledků, při kterých zápas neskončí remízou, je roven počtu V2 (4) všech variací bez opakování druhé třídy ze čtyř prvků 0, 1, 2, 3 (počet gólů). Z tohoto počtu vyloučíme ty zápasy, ve kterých hosté nedostanou žádný gól ([0:1], [0:2], [0:3]), neboli počet V1 (3) všech variací bez opakování první třídy ze tří prvků 1, 2, 3. Skončí-li zápas remízou [3:3], musíme připočítat jeden výsledek. Celkový počet výsledků: V2(4) – V1(3) + 1 Z Obrázek 2

Upravíme jmenovatele zlomků. V2(4) a V1(3) upravíme podle vzorce. Kolik různých výsledků může mít hokejový zápas, nastřílejí-li obě mužstva nejvýše po třech gólech, hosté dostanou alespoň jeden gól a remíza padne pouze v případě skóre 3:3. 4 Hokejový zápas může mít 10 různých výsledků. Upravíme jmenovatele zlomků. Dopočítáme příklad. Vypočteme faktoriály. V2(4) a V1(3) upravíme podle vzorce. Z Obrázek 1

5 Určete počet všech přirozených pěticiferných čísel, která jsou tvořena z různých cifer 0, 1, 3, 5, 7, 9. Každé pěticiferné číslo lze považovat za uspořádanou pětici sestavenou ze zadaných cifer tak, že obsahuje každou z cifer právě jednou a jejímž prvním členem není cifra 0. Celkový počet pěticiferných čísel je roven počtu V5 (6) všech variací bez opakování páté třídy z šesti prvků. Z tohoto počtu vyloučíme pěticiferná čísla začínající nulou: v těchto uspořádaných pěticích je již první člen obsazen nulou, zbývající členy tvoříme pouze z cifer 1, 3, 5, 7, 9. To znamená, že odečítáme počet V4 (5) všech variací bez opakování čtvrté třídy z pěti prvků. Počet všech hledaných přirozených čísel: V5(6) – V4(5) Z Obrázek 2

Upravíme jmenovatele zlomků. V5(6) a V4(5) upravíme podle vzorce. Určete počet všech přirozených pěticiferných čísel, která jsou tvořena z různých cifer 0, 1, 3, 5, 7, 9. Ze zadaných cifer můžeme sestavit 600 pěticiferných čísel. Upravíme jmenovatele zlomků. Dopočítáme příklad. Vypočteme faktoriály. V5(6) a V4(5) upravíme podle vzorce. Z Obrázek 1

6 Každé trojciferné číslo lze považovat za uspořádanou trojici. Určete počet všech přirozených trojciferných čísel, která jsou tvořena z různých cifer 0, 2, 4, 5, 6, 9 a jsou dělitelná číslem 5. Každé trojciferné číslo lze považovat za uspořádanou trojici. V žádné uspořádané trojici se číslice neopakují a jejím prvním členem není číslo nula. Mají-li být trojciferná čísla dělitelná pěti, musí mít na místě jednotek nulu nebo pětku. To znamená, že v každé uspořádané trojici je poslední člen obsazen nulou nebo pětkou. 

6 Pokud je poslední člen uspořádané trojice obsazen nulou, Určete počet všech přirozených trojciferných čísel, která jsou tvořena z různých cifer 0, 2, 4, 5, 6, 9 a jsou dělitelná číslem 5. Pokud je poslední člen uspořádané trojice obsazen nulou, pak zbývající dva členy tvoříme z cifer 2, 4, 5, 6, 9. Počet všech těchto trojciferných čísel je roven počtu V2 (5) všech variací bez opakování druhé třídy z pěti prvků. K tomuto počtu připočítáme i počet všech uspořádaných trojic, které mají na místě jednotek 5, neboli počet V2 (5) všech variací Současně vyloučíme ta trojciferná čísla začínající nulou a končící 5. V těchto uspořádaných trojících je již první člen obsazen nulou a poslední 5, prostřední člen tvoříme pouze z cifer 2, 4, 6, 9. To znamená, že odečítáme počet V1 (4) všech variací bez opakování první třídy ze čtyř prvků. Celkový počet hledaných přirozených čísel: 2 . V2(5) – V1(4) Z  Obrázek 2

Upravíme jmenovatele zlomků. V2(5) a V1(4) upravíme podle vzorce. 6 Určete počet všech přirozených trojciferných čísel, která jsou tvořena z různých cifer 0, 2, 4, 5, 6, 9 a jsou dělitelná číslem 5. Trojciferných čísel dané vlastnosti je 36. Upravíme jmenovatele zlomků. Dopočítáme příklad. Vypočteme faktoriály. V2(5) a V1(4) upravíme podle vzorce. Z Obrázek 1

7 Z kolika prvků je možno utvořit 210 variací druhé třídy bez opakování? Počet V2 (n) všech variací bez opakování druhé třídy z n prvků má být roven 210. Řešením rovnice V2(n) = 210 určíme hledaný počet prvků. Z Obrázek 2

7 Z kolika prvků je možno utvořit 210 variací druhé třídy bez opakování? Rozhodneme, zda kořeny n1 a n2 vyhovují zadání úlohy. V2(n) upravíme pomoci vzorce. Vyřešíme kvadratickou rovnici. Řešíme vzniklou rovnici. Rozložíme vyšší faktoriál na nižší. Zapíšeme podmínku řešitelnosti faktoriálu.  Obrázek 1

7 Z kolika prvků je možno utvořit 210 variací druhé třídy bez opakování? Kořeny kvadratické rovnice: n1 = 15 n2 = – 14 Podmínka řešitelnosti faktoriálu: n  2; n N Z podmínky řešitelnosti faktoriálu vyplývá, že výsledek n2 = – 14 kvadratické rovnice není řešením slovní úlohy. Počet prvků množiny nemůže být záporný. Variace bez opakování druhé třídy tvoříme z 15 prvků. Z  Obrázek 1

8 Určete počet prvků množiny, z nichž lze utvořit dvacetkrát méně uspořádaných dvojic než uspořádaných čtveřic, jestliže se v nich žádný prvek neopakuje. 8 Uspořádané dvojice, v nichž se žádný prvek neopakuje, jsou variace bez opakování druhé třídy z n prvků a jejich počet zapíšeme V2(n). Uspořádané čtveřice, v nichž se žádný prvek neopakuje, jsou variace bez opakování čtvrté třídy z n prvků a jejich počet zapíšeme V4(n). Řešením rovnice 20 . V2(n) = V4(n) určíme hledaný počet prvků. Z Obrázek 2

8 Určete počet prvků množiny, z nichž lze utvořit dvacetkrát méně uspořádaných dvojic než uspořádaných čtveřic, jestliže se v nich žádný prvek neopakuje. 8 V2(n) a V4(n) upravíme pomoci vzorce. Řešíme vzniklou rovnici. Upravíme zlomky - krátíme. Rozložíme vyšší faktoriál na nižší. Zapíšeme podmínku řešitelnosti faktoriálu.  Obrázek 1

8 Určete počet prvků množiny, z nichž lze utvořit dvacetkrát méně uspořádaných dvojic než uspořádaných čtveřic, jestliže se v nich žádný prvek neopakuje. 8 Rozhodneme, zda n1 a n2 vyhovují zadání slovní úlohy. Vyřešíme kvadratickou rovnici.   Obrázek 1

8 Určete počet prvků množiny, z nichž lze utvořit dvacetkrát méně uspořádaných dvojic než uspořádaných čtveřic, jestliže se v nich žádný prvek neopakuje. 8 Kořeny kvadratické rovnice: n1 = 7 n2 = – 2 Podmínka řešitelnosti faktoriálu: n  4; n  N Z podmínky řešitelnosti faktoriálu vyplývá, že výsledek n2 = – 2 kvadratické rovnice není řešením slovní úlohy. Počet prvků množiny nemůže být záporný. Hledaný počet prvků množiny je 7. Z  Obrázek 1

Zdroje obrázků: Obrázek 1 pdclipart.org: [cit. 2011-01-06] Dostupný pod licencí Public domain na WWW: <http://www.pdclipart.org/displayimage.php?album=37&pos=514> Obrázek 2 <http://www.pdclipart.org/displayimage.php?album=37&pos=281>