Relativita U3V Jan Obdržálek 2016-03-07 2015-01-13-T19:30  U3Vidoskop 7.3.2016 - U3V Rel Obdržálek Relativita U3V Jan Obdržálek 2016-03-07 1/40

To je ale šok, co??? Šok na začátek: Myslíte, že ne? … 2015-01-13-T19:30  U3Vidoskop 7.3.2016 - U3V Rel Obdržálek Šok na začátek: Rychlost světla ve vakuu c0 = 299 792 458 m/s (tzv. světelná rychlost) – nezávisí na: zdroji Z světla (ani na rychlosti Z vůči čemukoli) pozorovateli P (ani na rychlosti P vůči čemukoli) směru šíření světla (vůči čemukoli) To je ale šok, co??? Myslíte, že ne? … … ale co skládání rychlostí? To pro světlo neplatí? Expres letí kolem vašeho rychlíku; vůči vám jede zvolna. Jeho rychlost vůči vám je rozdíl rychlostí (expresu vůči Zemi a vašeho rychlíku vůči Zemi) 2/40

(Šok pokračuje:) Co na to fyzikové? 2015-01-13-T19:30  U3Vidoskop 7.3.2016 - U3V Rel Obdržálek (Šok pokračuje:) Země kolem Slunce lítá slušnou rychlostí 30 km/s; V zimě oproti létu tedy změnila rychlost o 60 km/s! Na rychlosti světla by se to mělo dát poznat … ale žádný rozdíl nebyl zjištěn (už kolem r. 1900)! Co na to fyzikové? Mnozí začali zkoumat: Co je to světlo (jak se chová)? Co je to mosaz (co se s ní děje, když se pohybuje)? 3/40

podle Newtona: světlo = kuličky letící ze zdroje do mého oka 2015-01-13-T19:30  U3Vidoskop 7.3.2016 - U3V Rel Obdržálek Výklad světla podle Newtona: světlo = kuličky letící ze zdroje do mého oka Pak by se ale rychlost zdroje přičetla k rychlosti světla a světla ze svíčky, Slunce a Siria by měla letět různě rychle podle Huygense: světlo = vlny éteru Ale jak rychle se pohybuje Země vůči éteru? (během roku je rozdíl ± 30 km/s!) 4/40

Moderní pohled na světlo: 2015-01-13-T19:30  U3Vidoskop 7.3.2016 - U3V Rel Obdržálek Moderní pohled na světlo: Maxwell: „Světlo jsou vlny elmg. pole. Elmg. pole je popsáno Mxw. rovnicemi. Kde platí moje rovnice, tam je c0 = 1/√(ε0µ0) a basta.“ Michelson a Moorley: my to proměříme. Země klidná: Země letící: → Dráhy (i doby) jsou různé. Ale v pokusu nebyl rozdíl! 5/40

Výklad vlastností přístroje 2015-01-13-T19:30  U3Vidoskop 7.3.2016 - U3V Rel Obdržálek Výklad vlastností přístroje Lorentz, Poincaré: mosaz (a každý materiál) se při pohybu smrští (kontrakce délek), čas plyne při pohybu pomaleji (dilatace času) Einstein 1905: není to vlastnost materiálů, ale prostoročasu (tedy způsobu, jak čas a prostor měříme, a co to tedy prostor a čas je) 6/40

Odskok: Co je absolutní a co je relativní 2015-01-13-T19:30  U3Vidoskop 7.3.2016 - U3V Rel Obdržálek Odskok: Co je absolutní a co je relativní Jsem tu dobře – řekla mi „zítra a támhle ve druhé ulici doleva???“ („To je relativní – kdy a kde vám to navrhla?“) Polohu i čas určujeme ve vztažné soustavě (S). Relativní veličina: hodnota závisí na volbě S (klid, pohyb, vlevo, daleko, …usnu ve vlaku) Absolutní veličina: hodnota nezávisí na volbě S (teplota, současnost dvou událostí, …) 7/40

Popis polohy: vztažná soustava S 2015-01-13-T19:30  U3Vidoskop 7.3.2016 - U3V Rel Obdržálek Popis polohy: vztažná soustava S Jak určit polohu? Vztažná soustava 1 bod – počátek O, a z něj vycházejí 3 osy (x, y, z) se stupnicemi (my jen x) později přibude v každém bodě čas t („časová osa“) se svou stupnicí Bod (popisující událost) je popsán [xB,yB,zB,tB] ve vztažné soustavě (různé S – různé souřadnice) ale bod sám nepatří žádné vztažné soustavě (patří stejně dobře všem). Pozorovatel: spojený se vztažnou soustavou. z B zB O xB y yB x 8/40

Popis pohybu Další veličina: čas t 2015-01-13-T19:30  U3Vidoskop 7.3.2016 - U3V Rel Obdržálek Popis pohybu Další veličina: čas t Pohyb: poloha r se mění v závislosti na čase t Klasická fyzika: prostor a čas jsou nezávislé Relativistická fyzika: prostor a čas spolu souvisejí a vytvářejí prostoročas Popis pohybu bodu s polohou r matematický: funkce r = r(t); my názorněji: grafický: 1 osa pro čas t, 1 osa pro polohu x Událost značíme bodem [r, t] na schématu 9/40

„Správná“ vztažná soustava: Newton 2015-01-13-T19:30  U3Vidoskop 7.3.2016 - U3V Rel Obdržálek „Správná“ vztažná soustava: Newton Existuje absolutní prostor AP (poloha; délka); Existuje absolutní čas AČ (okamžik; doba); 1NZ: měříme-li v APČ, pohybuje se volná částice rovnoměrně přímočaře (nebo stojí) ale: taková vztažná soustava NENÍ jediná! inerciální (=setrvačná) IS: ve které platí 1NZ je jich moc – jsou to všechny, které se vůči APČ pohybují rovnoměrně přímočaře (Galileo) Galileův princip: v každé inerciální vztažné soustavě IS platí stejné mech. zákony jako v APČ ovšem ne každá vztažná soustava je inerciální (kolotoč!) 10/40

Einstein (STR) Změna chápání prostoru a času (prostoročas) 2015-01-13-T19:30  U3Vidoskop 7.3.2016 - U3V Rel Obdržálek Einstein (STR) Změna chápání prostoru a času (prostoročas) Doposud: nezávislé veličiny prostor a čas Nově: prostoročas Doposud: absolutní je čas (současnost, doba); formálně „nekonečná rychlost“ (= současnost): formálně „ ∞ + v = ∞ “ Nově: absolutní je jistá konečná rychlost c0 (a to světelná rychlost). Rychlosti se skládají jinak Jak si to snadno představit??? Graficky!!! 11/40

grafikon (světočára) 2015-01-13-T19:30  U3Vidoskop 7.3.2016 - U3V Rel Obdržálek grafikon (světočára) 12/40

Grafikon - světočáry t/s (kdy kde jsou) x/m (kde jsou) 2015-01-13-T19:30  U3Vidoskop 7.3.2016 - U3V Rel Obdržálek Grafikon - světočáry Jsem uprostřed silnice (bod 0), napravo sedí kočka a pes, nalevo holub. Filmuji silnici a skládám okamžité snímky – pásky – nad sebe. t/s (kdy kde jsou) _____________________________________________ 6 _____________________________________________ _____________________________________________ 5 Světočáry holubice, kočky a psa ___________________________________________ ___________________________________________ 4 ____________________________________________ _________________ ___________________________ 3 ___________________ _______________________ ___________________________________________ 2 ________________ ____________________________ _______________ _____________________________ 1 ___________  ________________________________ ___________0________________________________ x/m (kde jsou) -2 -1 1 2 3 4 5 13/44 13/40

Nádražní světočára vlaku 2015-01-13-T19:30  U3Vidoskop 7.3.2016 - U3V Rel Obdržálek Nádražní světočára vlaku t/min (kdy tam je) vlak 5 Tento (statický) grafikon zobrazuje celý pohyb vlaku v čase a 1D prostoru. 4 stojí 3 2 1 jede stojí x/km (kde je) -2 -1 1 2 3 4 5 (nádraží) (cíl) 14/40

Světočáry dvou vlaků t/min (kdy tam je) vlak rychlík x/km (kde je) 5 2015-01-13-T19:30  U3Vidoskop 7.3.2016 - U3V Rel Obdržálek Světočáry dvou vlaků t/min (kdy tam je) vlak rychlík 5 jede zpátky 4 stojí 3 jede rychleji 2 1 jede stojí stojí x/km (kde je) -2 -1 1 2 3 4 5 (nádraží) (cíl) 15/40

Poloha vůči vlaku t/s x/m (kde je) CD: současné (vlak, Země) 2015-01-13-T19:30  U3Vidoskop 7.3.2016 - U3V Rel Obdržálek Poloha vůči vlaku CD: současné (vlak, Země) t/s já ve vlaku CB: soumístné (Země) DB: soumístné (vlak) 5 5 s Přede mnou: 0 m 1 m 2 m 3 m 4 4 s (5 m; 4 s) vůči zemi S B (3 m; 4 s) vůči vlaku S‘ 3 3 s x = 5 t = 4 x‘ = 3 t‘ = 4 rychlost vlaku vůči Zemi: W x‘ = x – Wt t‘ = t Galileiho trafo 2 2 s D C 1 1 s x/m (kde je) -2 -1 1 2 3 4 5 (nádraží) 16/40

Délka jedoucího vozu; současnost 2015-01-13-T19:30  U3Vidoskop 7.3.2016 - U3V Rel Obdržálek Délka jedoucího vozu; současnost Délka vozu = poloha začátku – poloha konce; ovšem pohybuje-li se vůz, je nutno měřit v tomtéž čase !! Dvě události A ≡ {rA, tA}; B ≡ {rB, tB} jsou současné, když tA = tB (např. v 7h ráno) soumístné, když rA = rB (např. v mé pravé ruce) Klasická fyzika: současnost je absolutní soumístnost je relativní (kafe vůči vlaku, nikoli vůči Zemi) (Relativita: současnost i soumístnost jsou relativní) 17/40

Inerciální soustava S, S’,… 2015-01-13-T19:30  U3Vidoskop 7.3.2016 - U3V Rel Obdržálek Inerciální soustava S, S’,… Inerciální soustava: vztažná soustava, vůči níž se každá volná částice (VČ) pohybuje bez zrychlení; neboli VČ má stálou rychlost (směr i velikost); neboli VČ letí rovnoměrně přímočaře nebo je v klidu Na grafikonu: světočárou VČ v inerciální soustavě je přímka. (Inerciální soustavou není např. kolotoč.) 18 18/40

Existuje inerciální soustava. 2015-01-13-T19:30  U3Vidoskop 7.3.2016 - U3V Rel Obdržálek První Newtonův zákon (1NZ) Existuje inerciální soustava. Newton: „Hlavní inerciální soustavou“ je absolutní prostor a absolutní čas. Ale: Již Galileo věděl, že je-li S inerciální a S’ se vůči ní pohybuje rovnoměrně přímočaře, pak je také S’ inerciální. Einstein: Všechny inerciální soustavy jsou si zcela rovnoprávné. Žádná nemá zvláštní nárok na označení „absolutní“. 19 19/40

1) Všechny IS jsou rovnoprávné 2015-01-13-T19:30  U3Vidoskop 7.3.2016 - U3V Rel Obdržálek Dva pilíře STR: 1) Všechny IS jsou rovnoprávné Newton: APČ je jediný 2) Co má světelnou rychlost c0 v jedné IS, má ji v každé IS Newton: c0 = ∞ (současnost) 20 20/40

Porovnání teorií s experimenty 2015-01-13-T19:30  U3Vidoskop 7.3.2016 - U3V Rel Obdržálek Porovnání teorií s experimenty 21/40

Přechod mezi inerciálními soustavami 2015-01-13-T19:30  U3Vidoskop 7.3.2016 - U3V Rel Obdržálek Přechod mezi inerciálními soustavami Klasicky – Galileo: x’ = x – V t t’ = t neboli s označením x0 = ct, β = V/c x’ = x – β x0 x0’ = x0 Relativisticky – Lorentz: x’ = γ (x – β x0) x0’ = γ (x0 – β x) s označením γ = 1 1− β 2 22 22/40

Přechod mezi IS podle STR (Lorentz) 2015-01-13-T19:30  U3Vidoskop 7.3.2016 - U3V Rel Obdržálek Přechod mezi IS podle STR (Lorentz) Lze dokázat, že to jinou trafo nejde: 1) Aby každý rovnoměrný přímočarý pohyb přešel opět v rovnoměrný přímočarý pohyb, musí být transformace lineární. x’ = γ (x – B x0) x0’ = γ (C x0 – D x) 2) Najdeme potřebné 4 parametry γ, B, C, D ze 4 „přirozených“ podmínek . 23 23/40

Podmínky pro trafo S’ má vůči S rychlost V S má vůči S’ rychlost –V 2015-01-13-T19:30  U3Vidoskop 7.3.2016 - U3V Rel Obdržálek Podmínky pro trafo S’ má vůči S rychlost V S má vůči S’ rychlost –V Která rychlost w (= v/c0) se zachovává? w = ∞ (současnost): Galileo; w = 1 (rychlost světla): Lorentz. Zpětná trafo má tvar jako přímá s V↔ –V x’ = γ (x – B x0) x0’ = γ (C x0 – D x) 24 24/40

Lorentzova trafo (odvození, 1.krok) 2.11.2010 Na Smetance 7.3.2016 - U3V Rel Obdržálek Lorentzova trafo (odvození, 1.krok) S’ má vůči S rychlost β: Počátek x’ = 0 ve všech časech x0’ vyhovuje podmínce x = V t = β x0 Odtud plyne B = β (ostatní γ, C, D zatím libovolná). 0 = γ (x – B x0) x’ = γ (x – B x0) x0’ = γ (C x0 – D x) 0 = γ (x – B x0) x’ = γ (x – β x0) x0’ = γ (C x0 – D x) x0’ = γ (C x0 – D x) Hledáme zbývající 3 parametry γ, C, D. 25 25/40

Lorentzova trafo (odvození, 2.krok) 2.11.2010 Na Smetance 7.3.2016 – U3V Rel Obdržálek Lorentzova trafo (odvození, 2.krok) S má vůči S’ rychlost – β: Počátek x = 0 ve všech časech x0 vyhovuje podmínce x’ = – V t’ = – β x0 ’ Odtud plyne C = 1 (ostatní γ, D zatím libovolná). x’ = γ (x – β x0) x0’ = γ (C x0 – D x) x’ = γ ( – β x0) x’ = γ (x – β x0) x0’ = γ (Cx0 ) Hledáme zbývající 2 parametry γ, D. x’ = γ ( – β x0) x’ = γ (x – β x0) x0’ = γ (Cx0 ) x0’ = γ ( 1 x0 – D x) 26 26/40

Lorentzova trafo (odvození, 3.krok) 2.11.2010 Na Smetance 7.3.2016 – U3V Rel Obdržálek Lorentzova trafo (odvození, 3.krok) Rychlost w = 1 se zachovává: x/x0 = 1 → x’/x0’ = 1 x’ γ (x – β x0) (x – β x0) (1 – β) x0’ = γ (x0 – D x) = (x0 – D x) = (1 – D) Odtud plyne D = β (γ je zatím libovolné). x’ γ (x – β x0) (x – β x0) x0’ = γ (x0 – D x) = (x0 – D x) = 1 x’ = γ (x – β x0) x’ = γ (x – β x0) x0’ = γ (x0 – β x) x0’ = γ (x0 – β x) Hledáme zbývající 1 parametr γ. x’ = γ (x – β x0) x0’ = γ (x0 – β x) x’ = γ (x – β x0) x0’ = γ (x0 – D x) 27 27/40

Lorentzova trafo (odvození, 4.krok) 2.11.2010 Na Smetance 7.3.2016 – U3V Rel Obdržálek Lorentzova trafo (odvození, 4.krok) Zpětná transformace má stejný tvar jako přímá; vyřešíme původní soustavu x´=… x0´=… , abychom dostali x =… x0 =… a) x’ = γ ( x– βx0) b) x0’ = γ (–βx + x0) a) x’ = γ ( x– βx0) · 1 · β b) x0’ = γ (–βx + x0) · β · 1 a) x’ = γ ( x– βx0) · 1 b) x0’ = γ (–βx + x0) · β x’ + β x0’ = γ x (1 – β2) β x’ + x0’ = γ x0(1 – β2) roznásobíme γ a‘) γ (x ’ + β x0’) = x γ2(1 – β2) b‘) γ (x0 ’ + β x’) = x0 γ2(1 – β2) inverzní trafo (levou stranu napravo) je-li γ 2 = 1 /(1 – β2 ), má inverzní trafo stejný tvar jako přímá. 28 28/40

Lorentzova trafo (shrnutí) 2.11.2010 Na Smetance 7.3.2016 – U3V Rel Obdržálek Lorentzova trafo (shrnutí) Označme (Lorentzův činitel) Přímá Lorentzova transformace: β = V/c x’ = γ (x– β x0) = γ ( x – β x0) x0’ = γ (x0– β x) = γ (– β x + x0) Inverzní Lorentzova transformace: β’ = – β x = γ (x’+ β x0’) = γ ( x’+ β x0’) x0 = γ (x0’+ β x’) = γ ( β x’ + x0’) 29 29/40

Relativistická kinematika graficky 2015-01-13-T19:30  U3Vidoskop 7.3.2016 - U3V Rel Obdržálek Relativistická kinematika graficky S (x0 ; x) x=0; x0 libov. x‘=0; x0’ libov. S’ světlo (x0‘ ; x‘)‘ φ x’; současnost x0’ = 0 φ’ x; současnost x0 = 0 Stejná měřítka na obou osách. Když doba = rok, tak vzdálenost = světelný rok 30/40

Jednotky na osách x0=ct x’0=ct’ x’; současnost x02 – x2 = ± 1 2015-01-13-T19:30  U3Vidoskop 7.3.2016 - U3V Rel Obdržálek Jednotky na osách x0=ct x’0=ct’ světlo jednotka x02 – x2 = ± 1 (hyperboly) x’; současnost 1 1 1 -1 1 -1 x; současnost -1 -1 31/40

Relativistická kinematika graficky 2015-01-13-T19:30  U3Vidoskop 7.3.2016 - U3V Rel Obdržálek Relativistická kinematika graficky S (x0 ; x) x0=ct; x=0 x’0=ct’; x‘=0 S’ světlo (x0‘ ; x‘)‘ (2; 2,3) (0,6; 1,3)   2 1 x’; současnost t‘=0 1 0,6 1,3 1 -1 1 2,3 x; současnost t=0 -1 -1 -1 32/40

Relativistická kinematika graficky 2015-01-13-T19:30  U3Vidoskop 7.3.2016 - U3V Rel Obdržálek Relativistická kinematika graficky S (x0 ; x) x0=ct; x=0 x’0=ct’; x‘=0 S’ světlo (x0‘ ; x‘)‘ (2; 2,3) (0,6; 1,3)   2 1 x’; současnost t‘=0 1 0,6 1,3 1 -1 1 2,3 x; současnost t=0 -1 -1 -1

Metrová tyč stojící x0=ct x’0=ct’ x’; současnost x; současnost světlo 2015-01-13-T19:30  U3Vidoskop 7.3.2016 - U3V Rel Obdržálek Metrová tyč stojící x0=ct x’0=ct’ světlo x’; současnost 1 1 1 1 -1 x; současnost -1 -1 světočáry konců tyče světočáry konců tyče 34/40

Metrová tyč letící x0=ct x’0=ct’ x’; současnost x; současnost světlo 2015-01-13-T19:30  U3Vidoskop 7.3.2016 - U3V Rel Obdržálek Metrová tyč letící x0=ct x’0=ct’ světlo <1 x’; současnost 1 1 1 -1 1 x; současnost -1 -1 -1 =1 35/40

Hodiny stojící 1. x0=ct x’0=ct’ x’; současnost x; současnost světlo 1. 2015-01-13-T19:30  U3Vidoskop 7.3.2016 - U3V Rel Obdržálek Hodiny stojící x0=ct x’0=ct’ světlo 1,2. x’; současnost 1. 1. 1 -1 -1. 1 x; současnost -1. -1 -2. čas v S (vlastní): t = 1 čas v S‘: t = 1,2 36/40

.-1 .-2 Hodiny letící x0=ct x’0=ct’ x’; současnost x; současnost 2015-01-13-T19:30  U3Vidoskop 7.3.2016 - U3V Rel Obdržálek Hodiny letící x0=ct x’0=ct’ světlo x’; současnost 1,8 1,2 1 1. 0,6 1 -1 1 x; současnost -1 .-1 -0,6 -1 -1,2 .-2 -1,8 -2 -2,4 opět: vlastní čas t’ < t 37/40

„Paradox dvojčat“ x0=ct x; současnost x’0=ct’(zpět) 2015-01-13-T19:30  U3Vidoskop 7.3.2016 - U3V Rel Obdržálek „Paradox dvojčat“ x’0=ct’(zpět) x’ současnost (zpět) x0=ct x’0=ct’(tam) světlo 2 2- x’; současnost (tam) 1 1 1 1 1 x; současnost 1 1 1 38/40

Auto 1 „Dlouhé auto v krátké garáži“ x’0=ct’ x0=ct x’; současnost 2015-01-13-T19:30  U3Vidoskop 7.3.2016 - U3V Rel Obdržálek „Dlouhé auto v krátké garáži“ x0=ct x’0=ct’ 1 x’; současnost 1 1 -1 1 x; současnost -1 -1 1 garáž < 1 zavřená Auto 1 39/40

Děkuji vám za pozornost  Děkuji vám za pozornost 2015-01-13-T19:30  U3Vidoskop 7.3.2016 - U3V Rel Obdržálek 40/40