Variace bez opakování 25. srpna 2013 VY_42_INOVACE_190202 Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Vladimír Mikulík. Slezské gymnázium, Opava, příspěvková organizace. Vzdělávací materiál byl vytvořen v rámci OP VK 1.5 – EU peníze středním školám.

Variace k-té třídy z n prvků je každá uspořádaná k-tice sestavená pouze z těchto n prvků tak, že každý je v ní obsažen nejvýše jednou. 2

Příklad všech 3členných variací ze čtyř prvků a,b,c,d: (a,b,c) (a,c,b) (b,a,c) (b,c,a) (c,a,b) (c,b,a) (a,b,d) (a,d,b) (b,a,d) (b,d,a) (d,a,b) (d,b,a) (a,c,d) (a,d,c) (c,a,d) (c,d,a) (d,a,c) (d,c,a) (b,c,d) (b,d,c) (c,b,d) (c,d,b) (d,b,c) (d,c,b) 3

možnosti výběru z n prvků počet všech k-členných variací z n prvků: uspořádaná k-tice 1. člen 2. … (k-1)-ní člen k-tý člen možnosti výběru z n prvků n n-1 … n-(k-2) n-(k-1) 4

Počet V(k,n) všech k-členných variací z n prvků je Podle kombinatorického pravidla součinu je počet všech těchto uspořádaných k-tic roven součinu Máme tedy výsledek: Počet V(k,n) všech k-členných variací z n prvků je 5

Určete počet vlajek, které lze sestavit. Kolik z nich má červený pruh? Příklad 1 K sestavení vlajky složené ze tří různobarevných svislých pruhů máme k dispozici látky barvy modré, červené, žluté a zelené. Určete počet vlajek, které lze sestavit. Kolik z nich má červený pruh? Kolik jich má červený pruh uprostřed? Kolik jich nemá červený pruh? Kolik jich nemá uprostřed červený pruh? 6

Počet takových vlajek je V(3, 4) = 4*3 = 12 Sestavujeme uspořádanou trojici ze čtyř prvků (záleží, který z pruhů má kterou barvu), tedy 3člennou variaci ze čtyř prvků Počet takových vlajek je V(3, 4) = 4*3 = 12 http://en.wikipedia.org/wiki/Human_Poverty_Index 7

K červenému pruhu na vlajce musíme vybrat dvě barvy ze tří zbývajících do dvou volných pruhů → V (2, 3) možností. Všechny uvedené možnosti můžeme vystřídat s jedním ze tří možných umístění červeného pruhu → počet možností: 3.V (2, 3) = 3.3.2 = 18 vlajek má červený pruh (kdekoliv) 8

vybíráme dvě barvy ze 3 zbylých na volné pruhy → V(2, 3) = 3x2 → 6 vlajek má uprostřed červený pruh 9

10

Všechny možné vlajky buď mají červený pruh, nebo ho nemají. 24 - 18 6 vlajek nemá červený pruh Všechny možné vlajky buď mají červený pruh uprostřed, nebo ho nemají. 24 – 6 18 vlajek nemá červený pruh uprostřed 11

Příklad 2 Kolik je možných výsledků, jestliže utkání neskončilo nerozhodně a žádné z obou mužstev nevstřelilo více než 9 branek. [90] Příklad 3 Urči kolik pěticiferných přirozených čísel, v jejichž zápisu jsou každé dvě číslice různé, je dělitelných pěti. [6048] http://en.wikipedia.org/wiki/Multidimensional_Poverty_Index 12

Citace CALDA, Emil a Václav DUPAČ. Matematika pro gymnázia. 5. vyd. Praha: Prometheus, 2008, 170 s. Učebnice pro střední školy (Prometheus). ISBN 978-80-7196-365-3. http://en.wikipedia.org/wiki/Multidimensional_Poverty_Index 13