Podmíněné pravděpodobnosti 1. prosince 2013 VY_42_INOVACE_190220 Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Vladimír Mikulík. Slezské gymnázium, Opava, příspěvková organizace. Vzdělávací materiál byl vytvořen v rámci OP VK 1.5 – EU peníze středním školám.
Pravděpodobností jevu A podmíněnou jevem B se rozumí pravděpodobnost jevu A za podmínky, že již nastal určitý jev B s nenulovou pravděpodobností P(B), značí se P(A|B) a je definována: 2
Jde-li o pokus se stejně pravděpodobnými výsledky, platí: kde m(X) značí počet výsledků příznivých jevu X. 3
Příklad 1 Při hodech kostkou sledujeme jevy A: „padne liché číslo“, jev B: „padne číslo větší než 2“, C: „ padne číslo menší než 4“. Vypočítejte podmíněné pravděpodobnosti P(A|B), P(A|C), P(B|C) a porovnejte je s pravděpodobnostmi P(A), P(B). Jev A …1; 3; 5 Jev B … 3; 4; 5; 6 Jev C … 1; 2; 3 4
Příklad 2 Máme tři měšce. V prvním jsou dvě zlaté mince, ve druhém jedna zlatá a jedna stříbrná a ve třetím dvě stříbrné mince. Vybereme si náhodně jeden měšec a z něj vytáhneme jednu minci. Jaká je pravděpodobnost, že v měšci zůstane zlatá mince, jestliže vytažená mince byla stříbrná? 1 2 3 1 2 1 2 5
Pokus se skládá ze 2 dílčích pokusů: výběru měšce a výběru mince Pokus se skládá ze 2 dílčích pokusů: výběru měšce a výběru mince. Všechny stejně pravděpodobné možnosti výběru měšce a mince, které mohou nastat jsou: M1 – z1; M1 – z2; M2 – z; M2 – s; M3 – s1; M3 – s2. Označme: jev A … zbývá zlatá mince (M1 – z1; M1 – z2; M2 – s) jev B … byla vytažena stříbrná mince (M2 – s; M3 – s1; M3 – s2) jev A∩B … byla vytažena stříbrná mince a zbývá ještě zlatá mince (M2 – s).
Příklad 3 V osudí je 9 bílých koulí a 1 červená koule. Vytáhneme jednu kouli, vrátíme ji a přidáme jednu kouli téže barvy; pak táhneme podruhé. Jaká je pravděpodobnost, že v obou tazích vytáhneme červenou? Jev C1 … vytáhneme v 1. tahu červenou kouli Jev C2 … vytáhneme v 2. tahu červenou kouli 7
Citace CALDA, Emil a Václav DUPAČ. Matematika pro gymnázia. 5. vyd. Praha: Prometheus, 2008, 170 s. Učebnice pro střední školy (Prometheus). ISBN 978-80-7196-365-3. POLÁK, Josef. Středoškolská matematika v úlohách. 1. vyd. Praha: Prometheus, 1999, 626 s. ISBN 80-719-6166-3. 8