1 3 12 9 Poznáváme zlomky 12 12 4 Čtvrťáci a matematika XIII 5 3 KA TI 7 2 3 4 5 6 1 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 cm 5 cm 9 cm 12 cm 15 cm 3 12 9 12 Poznáváme zlomky Toto téma je zaměřeno na seznámení žáků se zlomky. Žáci si nejdříve vytvářejí konkrétní představy o zlomku. Poznávají zlomek jako část jednoho objektu a zlomek z daného počtu objektů. Učí se určovat zlomek z daného čísla a pak určovat číslo, je- li dán jeho zlomek. V souvislost s procvičováním zlomků žáci určují i zlomky z jednotek délky a jednotek času. Na závěr se seznámí i s rovností zlomků. Žáci pracují s příslušnými pracovními listy, číselnou osou, měřidly popř. se čtvercovou sítí. Při výpočtech mohou pracovat i s kalkulátory, při čemž poznávají, že kalkulátor se zlomky nepočítá. Což je startem k poznávání desetinných čísel. Po spuštění prezentace jsou animací uváděna řešení jednotlivých úloh. Čísla úloh v pracovních listech jsou v prezentaci uváděny v závorce v poznámkách. Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je PaedDr. Marie Janků. Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785. Provozuje Národní ústav pro vzdělávání, školské poradenské zařízení a zařízení pro další vzdělávání pedagogických pracovníků (NÚV).

Rozdělujeme dort a čokoládu 1. Zlomky - vyvození Mléčná čokoláda Rozdělujeme dort a čokoládu 1 2 zlomek čitatel zlomková čára jmenovatel jedna polovina Čokoláda má 24 dílků z 24 je 1 4 3 1 2 1 2 24 : 2 = 12 1 2 12 1 4 1 4 24 : 4 = 6 6 1 8 1 8 Je vhodné, jestliže první seznámení se zlomkem navazuje na práci žáků s papírem, kde překládáním rozdělují obdélníkový, čtvercový popř. kruhový list papíru na shodné části. Někdy potřebujeme matematicky zaznamenat část daného celku. To můžeme vyjádřit zlomkem. Zlomková čára mezi dvěma čísly vyjadřuje, že celek je rozdělen na stejné části. Číslo nad touto čárou je čitatel, ten vyjadřuje počet částí. Číslo pod čárou, jmenovatel vyjadřuje počet stejných částí. Při zapisování zlomku zapíšeme nejdříve zlomkovou čáru a pak zapíšeme čitatele a jmenovatele. Někdy se zlomková čára zapisuje šikmo. Tak se zapisuje zlomek na počítači např.….1/2 , ¾. (1) Zapište zlomkem části dortu. Zapište zlomkem části čokolády a vypočítejte, kolik dílků čokolády tvoří část zapsanou zlomkem. 1 8 3 24 : 8 = 3 1 3 1 3 24 : 3 = 8 8

Zapište zlomkem 1 část vybarveno nevybarveno Zapište zlomkem 1 2 1 20 6 14 1 4 3 1 9 7 2 1 4 1 3 2 1 5 3 2 1 4 1 4 1 10 4 6 2 6 1 4 (2) Žáci nejdříve ukazují a říkají na kolik shodných částí je rozdělen šestiúhelník, což je zaznamenáno jmenovatelem. Co nám např. říká číslo 6 ve jmenovateli? (Celek byl rozdělen na 6 shodných, stejných částí.) Co nám říká např. číslo 2 v čitateli. (Určuje počet shodných, stejných částí např. vybarvených, nevybarvených apod.) Zapište zlomkem jednu část šestiúhelníku, počet vybarvených částí šestiúhelníku, počet nevybarvených částí šestiúhelníku. Určete, kolik základních čtverců sítě tvoří obdélník. Kolik základních čtverců je vybarveno, kolik nevybarveno. 1 12 3 9 15 100 1 85 1 3 1 3

Vyznačte část danou zlomkem Vybarvete část danou zlomkem. 3 10 4 12 5 8 4 12 1 3 2 z 12 je 6 12 : 2 = 6 z 12 jsou 4 12 : 3 = 4 z 12 jsou 3 12 : 4 = 3 (3a, 3b) Žáci nejdříve říkají, na kolik shodných částí je obrazec rozdělen. Pak vybarvují část určenou zlomkem. Procvičování a čtení a zápis zlomků. z 12 jsou 4 6 15 27 100 Zapište: Přečtěte: osm desetin patnáct pětadvacetin dvacet sedm setin šest patnáctin 8 10 15 25

Polovina, desetina cm 7 2 3 4 5 6 1 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 cm 5 cm 12 cm 9 cm 15 cm Vyznačte na měřítku , , , , . 12 cm 1 2 15 cm 1 2 1 cm 1 2 5 cm 1 2 9 cm 1 2 Do rámečků doplňte délku udanou v centimetrech. 7 2 3 4 5 6 1 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 3 cm 1 2 13 cm 1 2 16 cm 1 2 7 cm 1 2 10 cm 1 2 7 2 3 4 5 6 1 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 Vyznačte na měřítku , , , , . 14 cm 11 cm 7 cm 4 cm 2 cm 1 10 2 cm 4 cm 7 10 7 cm 3 10 9 10 11 cm 5 10 14 cm (4) Žáci mají proužky papíru a ty překládáním rozdělují na shodné části a ukazují části proužku určené zlomkem. Pak si vezmou centimetrové měřítko, ukazují na něm centimetry a ukáží i půl centimetru a pak i desetinu centimetru - milimetr. Vyučující žáky upozorní, že v pracovních listech měřítko neodpovídá přesně délce centimetr. Žáci ukazují např. 41/2 centimetru, 61/2 centimetru apod. Pak vyznačí na měřítku dané zlomky. Žáci zapisují zlomkem délky vyznačené na měřítku. Desetiny centimetru: Žáci ukazují desetiny centimetru a pak vyznačují délky udané desetinnými zlomky. Žáci zapisují danou délku desetinným zlomkem v centimetrech. 7 2 3 4 5 6 1 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 Do rámečků doplňte délku udanou v centimetrech. 1 cm 2 10 3 cm 8 10 6 cm 2 10 8 cm 4 10 10 cm 9 10 6 10 15 cm

Zlomek úsečky úsečka zlomek CE AB DG FH BH BF AH AF CG BE C D A B E F G H 1 Doplňte tabulku 1. 1 7 3 7 2 7 6 7 2 7 4 7 5 7 7 4 7 3 7 /AB/ = 32 mm. Úsečka AB je třetinou úsečky CD. Narýsujte úsečku CD a určete její délku. C 2. /CD/ = 3 . 32mm = 96mm D 7 2 3 4 5 6 1 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1. (5) Žáci nejdříve určují, na kolik shodných částí je rozdělena úsečka AH. Pak ukazují jednotlivé části udané v tabulce a zapisují příslušný zlomek. 2. (6) Žáci ukáží na měřítku délku 32mm a vyznačí ji na polopřímce s počátkem C. Pak pomocí kružítka sestrojí úsečku CD. Měřením překontrolují přesnost rýsování. 3. (7) Žáci určují zlomky jednotek času a jednotek délky. Zdůvodňují, proč je 1 minuta šedesátinou hodin, 1 den sedminou týdne apod. 1 7 týdne je 24 dne je 365 roku je 60 hodiny je metru je 100 kilometru je 1000 Doplňte 3. 1 minuta 1 den 1 hodina 1 centimetr 1 den 1 metr

Zlomek jednotky délky 1 km = 1 000m 1 m = 1 000mm 1 m = 100cm m = cm 1 100 4 5 2 10 3 Vypočítejte a doplňte 1. 50 25 20 10 1 100 50 40 20 2 150 75 40 30 2 1 m = km 3 m = km 1 cm = m 23 cm = m 56 m = km 732 m = km 9 100 m = cm 69 83 1000 km = m 7 m = mm 40 5 Vypočítejte a doplňte 2. (8) Žáci si přinesou krejčovský metr nebo jiné vhodné měřidlo. Na něm ukazují délky udané zlomky metru. Pak řeší úkoly. (9) Žáci zdůvodňují, proč je např. 1 cm jednou setinou metru apod. Převádějí metry na centimetry, kilometry na metry a opačně. 1 100 23 1000 3 56 1000 9 69 732 83 5 7 40 4 = cm

2. Zlomek z čísla 4 6 z 12 je 1 2 5 3 Znázorněte a vypočítejte 1. 2 12 : 6 = 2 4 (12 : 6) . 2 = 4 10 (12 : 6) . 5 = 10 8 (12 : 6) . 4 = 8 6 (12 : 6) . 3 = 6 Zapište různými zlomky vybarvenou část čtverce 2. (10) Výpočet daného zlomku z čísla 12. Žáci znázorňují daný zlomek vybarvením příslušného počtu základních čtverců sítě a pak zlomek i vypočítají. (11) Žáci určí počet všech shodných trojúhelníků na něž je daný čtverec rozdělen a pak zapisují různými zlomky danou část a tak získávají první zkušenosti s rovností zlomků. 4 16 1 2 8 8 16 4 16 1 2 8 4 16 1 2 8 1 2 4 16 1 2 8

Výpočet zlomku z čísla 1 12 z 24 je 9 z 450 je 7 z 210 je 5 z 300 je 10 z 910 je 6 3 4 8 2 Vypočítejte 1. 12 24 : 2 = 12 2 24 : 12 = 2 8 24 : 3 = 8 50 450 : 9 = 50 6 24 : 4 = 6 30 210 : 7 = 30 4 24 : 6 = 4 60 300 : 5 = 60 3 24 : 8 = 3 91 910 : 10 = 91 2. Vypočítejte 2 3 z 24 je 5 6 8 7 z 49 je z 45 je z 28 je 4 9 z 54 je 10 z 110 je z 72 je z 77 je 6 21 (28 : 4) . 3 = 21 (24 : 8) . 3 = 9 (12) Výpočet zlomku (čitatel 1) z čísla 24 a pak i z trojciferných čísel. (13) Výpočet zlomku (čitatel větší než 1) z čísla 16 36 (24 : 3) . 2 = 16 (54 : 9) . 6 = 36 20 77 (24 : 6) . 5 = 20 (110 : 10) . 7 = 77 35 (49 : 7) . 5 = 35 45 (72 : 8) . 5 = 45 33 18 (45 : 5) . 2 = 18 (77 : 7) . 3 = 33

Aplikační úloha, zlomek času Podle obrázku utvořte úlohu. Části hodiny pak převeďte na minuty. XII VII VIII VI IX XI IV III II I V X 1hod. = min. 3/4 hod. = min. 1/4 hod. = min. 3 4 1 4 Vrátím se za 3/4 hodiny. Do té doby ať máš hotové úkoly. 1 2 Ty budu mít hotové za 1/4 hodiny a pak si budu hrát. 60 45 3/4 z 60 je (60 : 4) . 3 = 45 15 1/4 z 60 je 60 : 4 = 15 1/2 hod. = min. 30 (14) (Maminka šla na nákup. Nařídila Jirkovi, že si musí do jejího návratu udělat domácí úkoly. Řekla, ře se vrátí za ¾ hodiny. Jirka řekl, že ůkoly bude mít hotové za ¼ hodiny a pak si bude hrát. Jak dlouho si Jirka bude hrál?) Žáci úlohu znázorňují pomocí kruhu, který je rozdělen na čtvrtiny. 3/4 - 1/4 = 2/4 = 1/2 1/2 z 60 je 60 : 2 = 30 15 Jirka bude psát úkoly 1/4 hod. To je min. Maminka bude pryč 3/4 hod. To je min. 45 Jirka si bude hrát 1/2 hod. To je min. 30

Výpočet čísla, je-li dán zlomek 1 13 z je 10 100 z je 28 6 z je 30 9 z je 4 7 z je 5 z je 8 2 5 z je 6 10 z je 9 8 3 z je 7 Vypočítejte 1. 16 2 . 8 = 16 130 10 . 13 = 130 30 5 . 6 = 30 2 800 100. 28 = 2 800 90 10 . 9 = 90 180 6 . 30 = 180 80 8 . 10 = 80 36 9 . 4 = 36 21 3 . 7 = 21 35 7 . 5 = 35 5 6 z je 10 3 8 z je 9 z je 80 4 7 z je 48 z je 21 12 z je 24 2 z je 12 9 z je 18 z je 20 Vypočítejte 2. 12 (10 : 5) . 6 = 12 14 (24 : 12) . 7 = 14 (15) Výpočet čísla, je-li dán jeho zlomek s čitatelem 1. (16) Výpočet čísla, je.li dán jeho zlomek s čitatelem větším než jedna. 24 (9 : 3) . 8 = 24 28 (21 : 3) . 4 = 28 80 (80 : 8) . 8 = 80 30 (12 : 2) . 5 = 30 84 (48 : 4) . 7 = 84 27 (18 : 6) . 9 = 27 28 (21 : 3) . 4 = 28 30 (20 : 2) . 3 = 30

Zlomek roku 6 9 7 8 10 12 3 1 2 4 5 11 Rok Květen Duben Březen Leden Prosinec Únor Listopad Říjen Září Srpen Červenec Červen Kolik měsíců trvá jedno roční období? Malé Aničce je 3/4 roku. Kolik je to měsíců? Kolik měsíců trvá 1/2 roku? Kdy uplyne 1/2 roku od počátku nového roku? 12 : 2 = 6 1/2 roku je 6 měsíců. Šestý měsíc je červen, 30. června uplyne 1/2 roku od počátku roku. Jedno roční období trvá 1/4 roku. To jsou 3 měsíce. (17) Převádění částí roku určených zlomkem na měsíce. (12 : 4) . 3 = 9 Aničce je 9 měsíců.

Tabulky 1. 3 5 z x x 50 15 30 550 135 410 45 100 x z 96 1 2 4 6 12 8 16 48 x z 72 7 Doplňte tabulky 30 9 18 27 81 246 330 60 48 32 24 16 12 8 6 2 12 24 36 48 60 72 84 96 2. Podle obrázků utvořte úlohu a vyřešte ji. Zlevněno o 2/5 ceny 500 Kč Prodejna oděvů Zlevněno na 2/5 ceny Kalhoty jsou levnější ve žluté/zelené prodejně. (500 : 5) . 2 = 200 z 500 je 2 5 200 (18) Výpočet čísla, je- li dám jeho zlomek formou doplňování tabulky. Výpočet zlomku s čitatelem 1 z čísla 96. Výpočet zlomku se jmenovatelem 6 z čísla 72. (19) s Nová cena 500 – 200 = 300 300 Kč 200 Kč

Aplikační úloha zlomek kilometru Jirka... 3 a ½ km to je m Hanka... 3 600 m Matěj... 3 a ¾ km to je m Nejdelší cestu ujel . Nejmenší vzdálenost ujel . Podle obrázku utvořte úlohu. Části kilometru převeďte na metry. Já jsem ujela 3 600 metrů. 3 500 Ujel jsem 3 a 1/2 kilomertu. 3 750 1 km = 1 000 m 3 km = 3 000m 1/2 z 1 000 je 1 000 : 2 = 500 Já jsem ujel 3 a 3/4 kilomertu. (20) Děti jezdily po cyklostezkách, když se setkaly na křižovatce, říkaly si kdo kolik kilometrů ujel. (Na kolo je možno připevnit měřič kilometrů.) Jirka ujel 3a3/4 km, Hanka ujela 3 600m, Matěj ujel 3 a 3/4km. Kdo ujel nejvíce, kdo nejméně?) 3/4 z 1 000 je (1 000 : 4) . 3 = 250 . 3 = 750 3 500 < 3 600 < 3 750 Matěj Jirka

1kg 120 Kč Blaťácké zlato 10 dkg 16 Kč Kefírové 1/4 l 7 Kč mléko Cena, hmotnost Vypočítejte Máslo 1/4 kg Kefírové mléko 1l 28Kč, 1/4 l – x Kč Jogobella ovocný jogurt 1/2 l 20 Kč, 1/4 l – z Kč. Blaťácké zlato Kefírové mléko Jogobella ovocný jogurt 1/2 l v = 30 . 4 Jihočeské máslo 1/4 kg 30 Kč, 1 kg – v Kč. 1kg 120 Kč v = 120 Blaťácké zlato 1 kg 160 Kč, 10 dkg – r Kč. r = 160 : 10 10 dkg 16 Kč r = 16 x = 28 : 4 1/4 l 7 Kč x = 7 (21) Výpočet ceny mléčného zboží, je-li cena určena za zlomek jednotky váhy, za zlomek jednotky objemu. 1/4 l 10 Kč z = 20 : 2 z = 10

Výprodej: slevy 1/3 z každé ceny Zlomek ceny Vypočítejte slevu a novou cenu. Výprodej: slevy 1/3 z každé ceny Eidam 1kg 150 Kč Sýr Eidam Sleva: Nyní: 150 : 3 = 50 150 Kč – 50 Kč = 100Kč 100 Kč Sýrový dort Sýrový dort s ořechy 1kg 270 Kč Sleva: Nyní: 270 : 3 = 90 270 Kč – 90 Kč = 180Kč 180 Kč Nyní: Sleva: Balkánský sýr 1kg 120 Kč sýr 120 : 3 = 40 80 Kč 120 Kč – 40 Kč = 80Kč (22) Výpočet slevy a nové ceny po slevě, je-li sleva udána zlomkem ceny. Ementál 1 kg 240 Kč Nyní: Sleva: Ementál sýr 240 : 3 = 80 240 Kč – 80 Kč = 160Kč 160 Kč Camembert 1kg 210 Kč Cmembert L´Original Sleva: Nyní: 210 : 3 = 70 140 Kč 210 Kč – 70 Kč = 140Kč

Aplikační úloha, spoření Když se Barunka narodila, vložila ji babička s dědečkem na účet ve spořitelně 10 000 Kč. Ve spořitelně připisovali každý rok úrok 2/100 z uložených peněz. Barunce je dnes 10 let. 1 000 2 000 3 000 4 000 5 000 6 000 7 000 8 000 9 000 10 000 500 6 500 1 500 2 500 3 500 4 500 5 500 7 500 8 500 9 500 Barunka si ze spořitelny ještě nic nevybrala. Kolik korun má nyní na účtě? 1000 Kč vloženo ...................................... ročně úrok.................................. úrok za 10 let.............................. ve spořitelně nyní....................... 10 000 Kč 2/100 z 10 000 Kč je r n x 1000 Kč n 2 100 (23) Vyučující žákům nejdříve vysvětlí co to znamená úrok. Žáci pak podtrhnou v textu úlohy potřebné údaje, které doplní do stručného záznamu úlohy. Na číselné ose pak vyznačí dvě setiny. A pak vyznačí desetkrát dvě setiny. Tak úlohu znázorní a pak i vyřeší. x = 10 000 + n r = (10 000 : 100) . 2 n = 10 . r x = 10 000 + 2 000 n = 10 . 200 r = 100 . 2 x = 12 000 n = 2 000 r = 200 Barunka má nyní na účtě Kč. 12 000

Zlomek z ůspor Honzík měl ušetřeno Kč. Honzíkovi zůstalo Kč. měl .......................... utratil........................ zůstalo mu................ Honzík koupil za 28 Kč mamince k svátku kytičku. Utratil tak 4/7 z ušetřených peněz. Kolik peněz měl ušetřeno? Kolik korun mu zůstalo? m 28 Kč 4/7 z m z 4/7 z m = 28 z = 49 - 28 m 28 Kč 4/7 z m (24.) Žáci podtrhnou v úloze potřebné údaje, ty doplní do stručného záznamu, úlohu znázorní a vyřeší. m = (28 : 4) . 7 z = 21 z m = 7 . 7 m = 49 49 21

Zapište zlomky, které se sobě rovnají 3. Rovnost dvou zlomků Zapište zlomky, které se sobě rovnají 1 5 v 2 10 4 20 3 = 16 6 8 1 8 1 4 6 8 3 4 1 2 2 4 = = 1 2 z 12 je 2 4 z 12 je 6 6 12 : 2 = 6 (12 : 4) . 2 = 6 2 10 8 10 (25) Žáci zapíší zlomkem vybarvenou část kruhu. Uvažují o tom, zda jsou vybarvené části obou kruhů shodné. Pak porovnávají zlomky 3/4 a 6/8. Ve druhé úloze zapíší zlomkem vyznačené části skupin kroužků a ty pak porovnávají. Ve třetí úloze vyhledávají pomocí znázornění zlomek, který je rovný danému zlomku. 2 10 3 5 2 5 8 10 12 20 4 10

Zapište zlomky, které se sobě rovnají Rovnost dvou zlomků Zapište zlomky, které se sobě rovnají 2 4 8 5 1 3 = 6 1 3 5 2 4 2 4 2 6 2 8 2 10 4 6 1 10 9 8 7 6 4 8 4 10 (26) Žáci pomocí posouvání pravítka vyhledávají zlomek, který se rovná danému zlomku. 3 9 6 8 6 10 4 8 5 10

Aplikační úloha Markéta má více než 90, ale méně než 100 korálků. 1/3 z nich je červených a 1/4 modrých. Ostatní jsou žluté. Kolik korálků má Markéta? má.............................. červené....................... modré......................... žluté........................... Markéta má celkem korálků. Červených je , modrých je a žlutých je . 1/3 z n n 1/4 z n v 90 < n < 100 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99 n = 96 není dělitelné 3 není dělitelné 4 1/3 z 96 je 32 96 : 3 = 32 32 + 24 + v = 96 24 1/4 z 96 je 96 : 4 = 24 56 + v = 96 (27) Úloha je poměrně náročná, proto nelze počítat s tím, že se do jejího řešení zapojí všichni žáci. Žáci nejdříve v úloze podtrhnou potřebné údaje, které doplní do stručného záznamu.Vyučující přivede žáky vhodně volenými otázkami k závěru, že počtem všech korálků je jedno z čísel 91 až 99, které je dělitelné třemi i čtyřmi, proto aby bylo možno z tohoto čísla určit třetinu i čtvrtinu. Pokusem pak zjistí, že to je číslo 96. Dokreslí 6 kroužků do schématu. v = 96 - 56 v = 40 96 32 24 40

n = 1 2 ze 100 a ze 48 a z 36 4 3 v = z 96 a z 50 a z12 z x = z x + 6 Vypočítejte neznámou s = z 2 400 - ze 105 - ze108 5 10 n = 100 : 2 + 48 : 4 + 36 : 3 v = 96 : 4 + 50 : 2 + 12 : 3 n = 50 + 12 + 12 v = 24 + 25 + 4 n = 74 v = 83 2 4 z x = z x + 6 1 s = 2 400 : 10 - 105 : 5 - 108 : 4 1 4 z x = 6 s = 2 40 - 25 - 27 (28) Uvedené rovnice jsou poměrně náročné, proto není vhodné vyžadovat samostatné řešení ode všech žáků. x = 6 . 4 s = 2 15 - 27 x = 24 s = 188

n + 1/2n = 60 s + 1/5s = 60 r + 5/5 = 100 1/3x = 4 2/2n + 1/2n = 60 Myslím si číslo Myslím si číslo, když k němu přičtu jeho pětinu, je to 60. Myslím si číslo, když k němu přičtu pětinu čísla 5, je to 100. Myslím si číslo, když k němu přičtu jeho polovinu, je to 60. Myslím si polovinu čísla, jehož třetina jsou 4 . n + 1/2n = 60 (29.) Pod vedením vyučujícího žáci zaznamenají rovnicí myšlené číslo. Rovnice pak vyřeší. Kladně je třeba hodnotit každé správné řešení i bez záznamu rovnicí. s + 1/5s = 60 r + 5/5 = 100 1/3x = 4 2/2n + 1/2n = 60 5/5s + 1/5s = 60 r + 1 = 100 x = 4 . 3 6/5s = 60 3/2n = 60 r = 100 - 1 x = 12 n = (60 : 3) . 2 s = (60 : 6) . 5 r = 99 z = 1/2x n = 40 s = 50 z = 6