Kartézský součin Binární relace Gymnázium, Praha 10, Voděradská 2 Projekt OBZORY Kartézský součin Binární relace Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Evropský sociální fond

Kartézský součin (KS) Definice: Kartézský součin množin A, B je množina všech uspořádaných dvojic takových, že první prvek dvojice je prvkem A a druhý prvek dvojice je prvkem B. Značíme A×B. A ´ B = { [a,b] , a Î A Ù b Î B }

Příklad: Jsou dány množiny C = {1, 3, 7}, D = {2,5} Zapište výčtem prvků C × D, D × C, D × D. A zakreslete do grafu. Řešení: C × D = {[1,2], [3,2], [7,2], [1,5], [3,5], [7,5]} D × C = {[2,1], [2,3], [2,7], [5,1], [5,3], [5,7]} D × D = {[2,2], [5,5], [2,5], [5,2]}

Grafy C × D, D × C C × D D × C

Grafy R– × R, Z × R+0 R– × R Z × R+0

Binární relace (BR) Definice: Binární relací množiny A a množiny B se nazývá každá podmnožina KS A × B. Je-li A = B, pak mluvíme o binární relaci v množině A. Množina A se nazývá 1. obor relace, množina B se nazývá 2. obor relace.

Vlastnosti BR Nechť U je BR v množině A. Relace U se nazývá: reflexivní, právě když pro všechny prvky platí, že prvek je v relaci se sebou samým. "x Î A; [x, x] Î U

Vlastnosti BR symetrická, právě když platí: "x, y Î A; [x, y] Î U Þ [y, x] Î U transitivní, právě když platí: "x, y, z Î A; [x, y] Î U Ù [y, z] Î U Þ [x, z] Î U

Vlastnosti BR Relace je ekvivalence, právě tehdy, když je reflexivní, symetrická, a tranzitivní současně. Relace je zobrazení, pokud je každému prvku z 1. oboru přiřazen nejvýše jeden prvek z 2. oboru.

Příklad: V množině A ={1,2,3,4} je dána relace R={[1,2],[2,2],[3,3],[4,4]}. Určete její vlastnosti. Není reflexivní (chybí [1,1]) Není symetrická (chybí [2,1]) Je transitivní ([1,2] Ù[2,2] Þ [1,2]) Nejedná se o ekvivalenci Relace je zobrazení Nejedná se o prosté zobrazení (pro y=2 jsou přiřazeny 2 hodnoty x, x=1, x=2)

Příklad: Je dána množina A={2,3,4,6,11} Příklad: Je dána množina A={2,3,4,6,11}. Určete relaci S na množině A: „y je dělitelem x“. Určete její vlastnosti. S = {[2,2], [3,3], [4,2], [4,4], [6,2], [6,3], [6,6], [11,11]} Je reflexivní Není symetrická Je transitivní Nejedná se o zobrazení (pro x=6 jsou přiřazeny 3 hodnoty y)

Příklad: Je dána množina A={2,3,4,6,11} Příklad: Je dána množina A={2,3,4,6,11}. Určete relaci T na množině A: „y je ciferný součet x“. Určete její vlastnosti. T = {[2,2], [3,3], [4,4], [6,6], [11,2]} Není reflexivní (chybí [11,11]) Není symetrická Je transitivní Jedná se o zobrazení Nejedná se o prosté zobrazení (pro y=2 jsou přiřazeny 2 hodnoty x)

Příklad: Sestrojte v kartézské soustavě souřadnic Oxy graf relace: T={[x,y] Î <1,5> × R; y < x+1}

Příklad: Sestrojte graf relace V: |x|+2y =1 x < 0 -x+2y = 1 Py[0;0,5], Px[-1,0] x > 0 x+2y = 1 Py[0;0,5], Px[1,0]

Příklad: Sestrojte graf relace V: x + |2y| =1 y < 0 x - 2y = 1 Py[0;-0,5], Px[1,0] y > 0 x+2y = 1 Py[0;0,5], Px[1,0]

Příklad: Sestrojte graf relace V: |x| + |2y| =1 x > 0 Ù y > 0 x +2y = 1 Py[0;0,5], Px[1,0] x > 0 Ù y < 0 x - 2y = 1 Py[0;-0,5], Px[1,0] x < 0 Ù y < 0 -x - 2y = 1 Py[0;-0,5], Px[-1,0] x < 0 Ù y > 0 -x + 2y = 1 Py[0;0,5], Px[-1,0]

Příklad: Sestrojte graf relace W={[x,y] Î R × Z Ù 9x² + 16y² <=144} Elipsa (S[0,0], a=4, b=3)

Použité zdroje a literatura http://www.matweb.cz/relace Bušek, I.: Řešené maturitní úlohy z matematiky, SPN, Praha 1985 https://stag1.osu.cz/web_doc/1192087719009.pdf

Tato prezentace byla vytvořena v rámci projektu OBZORY Gymnázium, Praha 10, Voděradská 2 Projekt OBZORY Tato prezentace byla vytvořena v rámci projektu OBZORY Autor: Mgr. Hana Kačerová Předmět: Seminář z matematiky Datum: 27. 3. 2010 Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Evropský sociální fond

Kartézský součin Binární relace Gymnázium, Praha 10, Voděradská 2 Projekt OBZORY Kartézský součin Binární relace Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Evropský sociální fond