CW-057 LOGISTIKA 36. PŘEDNÁŠKA Lineární programování – 6 distribuce AKREDITAČNÍ ZMĚNA OZNAČENÍ PŘEDMĚTU – z CW13 na CW057 CW-057 LOGISTIKA 36. PŘEDNÁŠKA Lineární programování – 6 distribuce Březen 2017 © Ing. Václav Rada, CSc.

CW057 CW13 CW05 POKRAČOVÁNÍ Další ….. METODY ŘEŠENÍ patřící do oblasti lineárního programování – 6 … ☺ Březen 2017

CW057 CW13 CW05 POKRAČOVÁNÍ ….. touto další oblastí jsou Systémy dopravní obsluhy neboli Distribuční úloha – – dopravní problém (DP) …. ☺ Březen 2017

Logistika a distribuce CW057 CW13 CW05 Obvykle se domníváme, že lidé sdílejí své před-stavy o tom, jaký je a jak funguje okolní svět. Jenže, každý z nás vnímá individuálně okolní svět prostřednictvím svých smyslů a naučených způ-sobů myšlení. Jednou z takových oblastí je i logistická problema-tika dopravy a distribuce. březen 2017

ZASILATELSKÁ LOGISTIKA Logistika a distribuce CW057 CW13 CW05 Další z oblastí kde se uplatní teorie lineárního programování a následná optimalizace dosaže-ných výsledků – v praxi velice častou aplikační oblastí je DOPRAVNÍ A ZASILATELSKÁ LOGISTIKA březen 2017

CW057 CW13 CW05 Distribuční a dopravní modely Dopravní logistika je částí komplexního vědního oboru a patří do ní zej-ména znalosti z oblasti velice praktické …... oblasti Systémů dopravní obsluhy - neboli - Distribuč-ních úloh a dopravních problémů (DP) V současnosti je tato oblast logistiky nejznámější a nejpoužívanější – a mnohdy je zaměněna s celko-vým oborem logistické vědy. leden 2017

CW057 CW13 CW05 Dopravní úlohy Dopravní logistika je po podnikové logis-tice druhou největší oblastí aplikace logis-tické vědy. Rozvoj dopravní logistiky je determinován úrovní dopravní infrastruktury. Březen 2017

CW057 CW13 CW05 Dopravní úlohy Ze zásad logistiky plyne, že pojetí dopravní logistiky dává podněty – a prostředky i teo-retické principy a praktická vodítka – k optima-lizaci rozmístění uzlových a liniových prvků dopravní infrastruktury a k optimalizaci jejich kapacit. Březen 2017

Logistika a distribuce CW057 CW13 CW05 Dopravní logistika koordinuje, synchronizuje a optimalizuje pohyby zásilek po dopravní síti od místa jejich vstupu do této sítě (do logistického sys-tému) až po místo jejich výstupu z této sítě. Musí se tedy taky zabývat koordinací, synchronizací a optimalizací prostorového rozmístění, ka-pacit a pohybů všech prostředků a zařízení, jejichž součinnost je nutná k uskutečnění pře-pravy určité zásilky (zboží, služby, informace). březen 2017

Logistika a distribuce CW057 CW13 CW05 Dopravní logistiku lze proto chápat jako koordinaci, synchronizaci a optimalizaci - pohybů zásilek (objektů, služeb, informací, pasiv-ních prvků, …) mezi uzly dopravní sítě - pohybů souvisejících s činností přepravních a do-pravních prostředků - činnosti uzlů na dopravní síti z hlediska odbavo-vání a zpracování zásilek. březen 2017

Jako nejvhodnější se jeví metoda Hub and Spoke – popsaná v literatuře. Logistika a distribuce CW057 CW13 CW05 Vede ke snižování dopravní náročnosti a následně i náročnosti ekonomické (v tom je i energetická náročnost) a ekologické (!!!). Nesmí přitom nic ztratit z plnění nároků flexibility a pružnosti (vůči cílovému zákazníkovi). Jako nejvhodnější se jeví metoda Hub and Spoke – popsaná v literatuře. březen 2017

Logistika a distribuce CW057 CW13 CW05 Do uváděné oblasti patří i mezipodniková logistika – jejím předmětem jsou části logis-tického řetězce vně určitého podniku – pro-pojují ho s dodavateli a se zákazníky. Je to komplex přepravních, manipulačních, skladových a dalších služeb zajišťovaných zasilatelem, který tak může za výrobní prů-myslový nebo velkoobchodní podnik převzít určité logistické funkce (činnosti). březen 2017

CW057 CW13 CW05 Dopravní úlohy Součástí formulací základních úloh LP použitých v logistice jsou i dopravní a přiřazovací úlohy. Tyto úlohyby bylo teoreticky možné řešit simplex-ovou metodou, bylo by to však zdlouhavé a vzhle-dem k rozsahu úloh složitě řešitelné. Využívají se tzv. distribuční metody řešení apliko-vané pro řešení dopravního problému. Obdobně lze řešit i problém přiřazovací, i když pro něj existují i další, efektivnější metody. Březen 2017

CW057 CW13 CW05 Dopravní úlohy Distribuční a dopravní modely Modely daných (teoretických i reálných) problémů jsou konstruovány pro řešení rozhodovacích pro-blémů, se kterými se lze setkat zejména v oblasti klasické zásobovací, skladovací a distribuční logistiky. Tam pomáhají řešit otázky jak, co a jak dlouho skla-dovat, případně vyrábět, odkud kam, kolik a kdy pře-pravovat + k těmto činnostem jsou přiřazovány zdroje – pracovníci, materiál a hlavně informace. Březen 2017

CW057 CW13 CW05 Dopravní úlohy Obecný DISTRIBUČNÍ PROBLÉM Jedná se o složitější úlohy. Potřeba rozdělení sortimentu rozdělí procesy do více skupin. Úrovně procesů můžeme číslovat dvoj-indexovou proměnou, nebo průběžně. Březen 2017

CW057 CW13 CW05 Dopravní úlohy Distribuční a dopravní modely Zjednodušeně řešeno – jde o procesy řešící vztah výroba (dodavatel) *** spotřebitel (zákazník) - - ve smyslu = jak pokrýt potřeby na straně spotřeby při daném množství produkce z výroby + při dobré ekonomice rozvozu - nezabývá se formou vlastní dopravy a organizací kudy vést rozvozové trasy - nezabývá se ani vlastními sklady a jejich provozem leden 2017

CW057 CW13 CW05 Dopravní úlohy Distribuční a dopravní modely Pro praktickou aplikaci logistických zásad a přístupů jsou z matematických metod využívány ty, které se zabývají klasickými distribučními modely. Patří sem dopravní modely, které mají za cíl nalézt optimální a efektivní způsob přepravy materiálu jakéhokoliv druhu a množství, přitom v dané časové relaci. Březen 2017

CW057 CW13 CW05 Dopravní úlohy Obecný DOPRAVNÍ PROBLÉM Jedná se o určení plánu přepravy od dodavatelů, kteří mají dané kapacity možných dodávek k odbě-ratelům, kteří poptávají určité množství. Zpravidla se požaduje, aby přeprava byla usku-tečněna s minimálními náklady. Březen 2017

CW057 CW13 CW05 Dopravní úlohy Distribuční a dopravní modely Následně jde o i procesy řešící stejný vztah výroba (dodavatel) *** spotřebitel (zákazník) – ale ve smyslu = dopravní a distribuční problém, kdy jde o typický případ distribuce nějakého zboží či ma-teriálu z dodavatelských míst (zdrojů) odběratelům (cílová místa, spotřebiště) tak, aby byly minimalizo-vány celkové náklady na distribuci. Poprvé formulován F. L. Hitchcockem v roce 1941. Březen 2017

CW057 CW13 CW05 Dopravní úlohy Dopravní modely V dopravním problému (DP) se v typickém případě jedná o rozvržení rozvozu nějakého zboží či mate-riálu z dodavatelských míst (zdroje, skladu) k odbě-ratelům (cílová místa, spotřebitelé) tak, aby byly minimalizovány celkové náklady spojené s tímto rozvozem. Březen 2017

CW057 CW13 CW05 Dopravní úlohy Nejjednodušší úlohou je úloha obsahující dodava-tele + zákazníka a nerozlišuje použitelné dopravní prostředky. Je to tzv. jedno-stupňová dopravní úloha s jednostu-pňovým dvou-indexovým systémem. Jednostupňová dopravní úloha je nejjednodušší variantou dopravního problému a její grafické zná-zornění je na obrázku dále. Březen 2017

CW057 CW13 CW05 Dopravní úlohy Řešitelnost dopravní úlohy V diskuzi o řešitelnosti úlohy je potřeba respektovat dvě podmínky. První podmínkou je úplná zastupitelnost přepravo-vaného produktu – libovolný dodavatel musí být schopen dodat každému spotřebiteli libovolné množ-ství produktu (zde je vidět, že použít jen toto ome-zení nebude v praxi stačit) a dělitelnost materiálu. Březen 2017

CW057 CW13 CW05 Dopravní úlohy Druhou je předpoklad vyváženosti úlohy (což říká, že nic (dodávaný produkt) nesmí přebývat a nic nesmí scházet, protože všichni dodavatelé dohro-mady musí být schopni uspokojit všechny požadav-ky spotřebitelů). Pokud toto platí a obě podmínky jsou splněny, pak omezující podmínky dopravní úlohy jsou soustavou lineárních rovnic, a proto jsou řešitelné. Březen 2017

CW057 CW13 CW05 Dopravní úlohy Ekonomické hledisko je obvykle dosti jednoznačné a bývá vyjadřováno náklady na přemístění určité jednotky přemisťova-ného materiálu, při různých parametrech (délka dopravní vzdálenosti, ……………………). Březen 2017

Nc = ( Np / Q ) + Nv Náklady lze vyjádřit vztahem: CW057 Dopravní úlohy Náklady lze vyjádřit vztahem: Nc = ( Np / Q ) + Nv kde: Nc = celkové náklady Np = pevné náklady vztažené na příslušnou časovou jednotku (hodina, směna, …) – nezáleží na počtu manipulovaných jednotek a jsou tvořeny složkami: a) odpis kapitálové investice b) hodinová mzda obsluhy c) proměnné náklady na údržbu a opravy Nv = variabilní náklady tvořené cenou za energii a cenou úkolové mzdy Q = množství materiálu v jednotkách hmotnosti dopravené v příslušné časové jednotce. Březen 2017

CW057 CW13 CW05 Dopravní úlohy V grafickém znázornění klesají náklady Nc ve vztahu k přepravenému množství materiálu a to až k hodnotě Nc Q Nv. Březen 2017

CW057 CW13 CW05 Dopravní úlohy Základní charakteristiky dopravního pro-blému jsou dány parametry a proměnnými: Je m zdrojů Z1, Z2, …, Zi s omezenými kapaci-tami ai vyjadřujícími množství, které je zdroj scho-pen v uvažovaném období dodat, a n cílových míst S1, S2, …, Sj (spotřebitelů) se stanovenými požadavky bj vyjadřujícími množství, které spotřebitelé v daném období požadují. Březen 2017

Toto kvantifikované ocenění tvoří tzv. matici sazeb C s prvky cij CW057 CW13 CW05 Dopravní úlohy Vztah každé dvojice zdroj – spotřebitel je oceněn, např. vykalkulovanými náklady na přepravu jednotky zboží nebo kilometrovou vzdáleností. Toto kvantifikované ocenění tvoří tzv. matici sazeb C s prvky cij Březen 2017

byly uspokojeny všechny požadavky spotřeby CW057 CW13 CW05 Dopravní úlohy Úkolem je najít takový přepravní plán s mini-malizací nákladů na distribuci ze zdrojů ke spotřebitelům – přitom: byly uspokojeny všechny požadavky spotřeby nebyly překročeny kapacity jednotlivých zdrojů a přitom všem musí být dosaženo minimálních celkových dopravních nákladů F. Březen 2017

Kriteriální funkcí bude součet všech nákladů na všechny přepravy: CW057 CW13 CW05 Dopravní úlohy Rozhodovacími proměnnými jsou dopravo-vaná množství xij , kterých je celkem m*n . Kriteriální funkcí bude součet všech nákladů na všechny přepravy: Březen 2017

CW057 CW13 CW05 Dopravní úlohy Řešení matematického modelu Přípustné řešení je takové řešení soustavy lineár-ních rovnic, které vyhovuje všem podmínkám úlohy - množina přípustných řešení může být - prázdná - omezená - neomezená - otevřená. Březen 2017

CW057 CW13 CW05 Dopravní úlohy Řešení matematického modelu Základní přípustné řešení, je takové řešení, které má nejvýše tolik kladných složek, kolik je lineárně ne-závislých rovnic tvořících vlastní omezení (tj. nejvýše m kladných složek a nejméně n-m nulových složek za předpokladu, že n>m). Optimální řešení je základní přípustné řešení s nejlepší hodnotou účelové funkce ( v případě minimalizace s nejnižší hodnotou). Březen 2017

CW057 CW13 CW05 Dopravní úlohy Při grafickém zobrazení jsou: dodavatelé a spotřebitelé jako „uzly“ (vrcholy) grafů a možné cesty jako „hrany“ mezi uzly. Březen 2017

CW057 CW13 CW05 Dopravní úlohy Distribuční modely Speciálním případem lineárních optimalizačních modelů jsou distribuční modely, které zachycují a řeší pohyb. Mají speciální typ základní matice A, ve které se prakticky nevyskytují nenulové (často jsou jednot-kové) koeficienty. Březen 2017

CW057 CW13 CW05 Dopravní úlohy Matice strukturních koeficientů dopravního pro-blému má specifickou strukturu, obsahuje pouze jedničky a nuly. Díky tomu je možno řešit dopravní problém i jinými metodami než je simplexová metoda. Březen 2017

CW057 CW13 CW05 Dopravní úlohy Dopravní problém Matematický model je shrnout do problému „hledání matice“ Březen 2010

vyhovující vlastním omezením ve tvaru CW057 CW13 CW05 Dopravní úlohy vyhovující vlastním omezením ve tvaru Březen 2010

podmínky nezápornosti CW057 CW13 CW05 Dopravní úlohy podmínky nezápornosti minimalizující funkci Březen 2010

Nebo obecně: - obecně lze DP zapsat ve tvaru: minimalizované funkce CW057 CW13 CW05 Dopravní úlohy Nebo obecně: - obecně lze DP zapsat ve tvaru: minimalizované funkce při dodržení podmínek pro ….. Březen 2016

ai kapacita i-tého dodavatele CW057 CW13 CW05 Dopravní úlohy A kde: cij vyjadřují náklady spojené s přepravou jednotky produkce od i-tého dodavatele k j-tému spotřebiteli, xij neznámé objemy přepravované produkce od i-tého dodavatele k j-tému spotřebiteli ai kapacita i-tého dodavatele bj požadavky j-tého spotřebitele. Březen 2016

musí být všechna omezení splněna jako rovnice. CW057 CW13 CW05 Dopravní úlohy Při formulaci dopravního problému se používají: - v kapacitních omezeních nerovnosti typu  a - v požadavkových omezeních nerovnosti typu  a Jestliže platí musí být všechna omezení splněna jako rovnice. Pak …, že dopravní problém je vyrovnaný. Březen 2010

Nevyrovnaný dopravní problém CW057 CW13 CW05 Dopravní úlohy Nevyrovnaný dopravní problém Není-li podmínka splněna, musí se - formálně pro účely výpočtu - vyrovnat součty kapacit a požadavků tím, že do problému je přidán jeden nereálného, fiktivního dodavatel nebo odbě-ratel. Březen 2010

Fiktivní odběratel (FO) Existuje dopravní problém. CW057 CW13 CW05 Dopravní úlohy Fiktivní odběratel (FO) Existuje dopravní problém. Vyrovnají se součty kapacit a požadavků a stanoví se optimální program dopravy. Březen 2010

Otázkou je, jaké mají být přepravní sazby. CW057 CW13 CW05 Dopravní úlohy Problém je doplněn fiktivním odběratelem a tím je dosaženo vyrovnání součtu kapacit a součtu požadavků. Otázkou je, jaké mají být přepravní sazby. Je zřejmé, že fiktivní odběratel představuje dodá-vané zboží, které odběrateli zůstává například na skladě. Přepravní sazby se proto odvozují dle ekonomického modelu. Březen 2010

kde M je prohibitivní sazba, CW057 CW13 CW05 Dopravní úlohy Pokud dodavateli vznikají skladovací náklady Dk, bude sazba rovna těmto nákladům (na jednotku). Pokud dodavatel musí vydat veškeré zboží, volí se sazba, která zamezí dodávce fiktivnímu odběrateli ciF = M kde M je prohibitivní sazba, t.j. řádově relativní vysoká sazba, která zamezí do-dávce od Dk fiktivnímu odběrateli OF. V ostatních případech je rovna 0. Březen 2010

Pokud bude požadavek některého odběratele neuspokojen … CW057 CW13 CW05 Dopravní úlohy Fiktivní dodavatel Je dán základní vztah Pokud bude požadavek některého odběratele neuspokojen … Pokud odběratel musí být zásoben v plné výši … pak se volí opět prohibitivní sazba. Pokud se penalizuje nebo se použije pro danou jednotku penalizační sazba cFj, pak se použije stejná (tato) sazbu. Březen 2010

V ostatních případech je sazba nulová. CW057 CW13 CW05 Dopravní úlohy V ostatních případech je sazba nulová. Většinou označujeme prohibitivní sazby pouze symbolem M a nedosazujeme konkrétní hodnotu: m znamená pak dostatečně vysokou sazbu (1000, 100 000, atd.) Březen 2010

Řešení vyrovnaného dopravního problému CW057 CW13 CW05 Dopravní úlohy Řešení vyrovnaného dopravního problému Algoritmus řešení dopravního problému má obecné kroky shodné se simplexovou metodou. Zahrnuje tyto kroky: - nalezení výchozího základního řešení - test optimality - transformace řešení Březen 2010

CW057 CW13 CW05 Dopravní úlohy Každému prvku xij matice X je vyhrazeno jedno pole tabulky, xij se píší do středu polí. V pravém rohu nahoře každého pole je zapsán odpovídající koeficient cij z účelové funkce. Do levého rohu dole se zapisují čísla cij´, s jejichž významem se čtenář seznámí později. Prvních m rovnic soustavy představuje v tabulce řádkové součty hodnot xij, dalších n rovnic pak sloupcové součty. Březen 2010

cij´ nepřímými sazbami ai kapacitami bj požadavky. CW057 CW13 CW05 Dopravní úlohy V souladu s ekonomickou interpretací proměnných a koeficientů matematického modelu v dopravním problému nazývají se: xij přepravami cij sazbami cij´ nepřímými sazbami ai kapacitami bj požadavky. Březen 2010

CW057 Dopravní úlohy CW13 CW05 Březen 2015 celkový součet bn … b2 b1 Sloupcové součty xmn xm2 xm1 am cmn cm2 cm1 m . x2n x22 x21 a2 c2n c22 c21 2 x1n x12 x11 a1 c1n c12 c11 1 Řádkové součty n Březen 2015

Počet proměnných v modelu je m.n, počet rovnic (omezení) je m+n. CW057 CW13 CW05 Dopravní úlohy Nejprve se odvodí, jaké vlastnosti má základní řešení distribuční úlohy. Počet proměnných v modelu je m.n, počet rovnic (omezení) je m+n. Ukáže se nyní, že pouze m+n-1 je lineárně nezávislých. Podmínka vyrovnanosti způsobuje, že součet prvních m rovnic je roven součtu dalších n rovnic. Obsazení pole nesmí tvořit uzavřený okruh (cyklus). Březen 2010

CW057 CW13 CW05 Dopravní úlohy Skupina vektorů je lineárně závislá tehdy a jen tehdy, když jejich lineární kombinace aspoň s jedním nenulovým koeficientem je rovna nulovému vektoru. Jestliže ve skupině vektorů tvořených řádky matice /aij/ vždy dvojice vektorů obsahuje jedničku na stej-ném místě, pak je možno utvořit jejich lineární kom-binaci rovnou nulovému vektoru tak, že vždy jednomu z dvojice se přiřadí koeficient +1 a druhému –1. Březen 2010

Jim odpovídající vektory pak tvoří lineárně závislou skupinu. CW057 CW13 CW05 Dopravní úlohy Taková dvojice vektorů odpovídá vždy dvěma polím tabulky v jednom řádku nebo sloupci. Tvoří-li obsazená pole uzavřený obvod, pak se tato obsazená pole vyskytují v řádcích a sloupcích tabulky po dvojicích. Jim odpovídající vektory pak tvoří lineárně závislou skupinu. Březen 2010

CW057 CW13 CW05 Dopravní úlohy Jestliže naopak obsazená pole netvoří uzavřený obvod, nelze vektory jim odpovídající seskupit v lineární kombinaci rovnou nulovému vektoru, a jsou tedy lineárně nezávislé. Březen 2010

Řešení vyrovnaného dopravního problému CW057 CW13 CW05 Dopravní úlohy Řešení vyrovnaného dopravního problému Algoritmus řešení dopravního problému má obecné kroky shodné se simplexovou metodou. Zahrnuje tyto kroky: - nalezení výchozího základního řešení - postupné zlepšování výchozího řešení až k opti-málnímu řešení - test optimality - transformace řešení Březen 2017

CW057 CW13 CW05 Dopravní úlohy Aproximativní metody pro hledání výchozích řešení – vychází z tabulkové konstrukce uspo-řádání známých požadavků a dopravních nákladů. Březen 2017

Metody nalezení výchozího základního řešení CW057 CW13 CW05 Dopravní úlohy Metody nalezení výchozího základního řešení V teorii existuje celá řada metod, z nichž řada má praktický apli-kační dopad. Březen 2017

Metody nalezení výchozího základního řešení CW057 CW13 CW05 Dopravní úlohy Metody nalezení výchozího základního řešení Základem jsou následující tři nejčastěji používané metody. Jsou to metody: - severozápadního rohu - indexní - Vogelova aproximační - MODI Březen 2017

Metoda Severozápadního rohu (SZR) CW057 CW13 CW05 Dopravní úlohy Metoda Severozápadního rohu (SZR) Dodané kusy jsou umístěny do pole s minimálními jednotko-vými přepravními náklady. Nebo je možné splnit požadavek v buňce, která je vlevo na-hoře ( x11 ) a dorovnat v další buňce (vpravo od té první vy-plněné) na celkovou kapacitu první výroby. Pak se vyplní buňka dalšího levého horního rohu ( x22 ) – hodnota je dána tak, aby v druhém řádku i druhém sloupci byly splněny hod-noty kapacity druhého výrobce i požada-vek druhého odběratele - a tak se pokračuje až do vyplnění celé tabulky - znamená to, že se nerespektují hodnoty nákladů na přepravu jednoho kusu – výsledek bývá obvykle špatný!!! Březen 2017

Metoda Severozápadního rohu (SZR) CW057 CW13 CW05 Dopravní úlohy Metoda Severozápadního rohu (SZR) Spočívá v tom, že se obsazuje pole od SZR (nejvyšší levý roh) postupně nejvyšší možnou přepravou, bez ohledu na přepravní sazby. Postup ilustruje příklad: Březen 2010

Metoda Severozápadního rohu (SZR) CW057 CW13 CW05 Dopravní úlohy Metoda Severozápadního rohu (SZR) Ze tří lomů (dodavatelé) jsou zásobovány tři staveniště (odběratelé) pískem [ t ]. 3 dodavatelé  výrobní kapacita (v tunách písku): 50, 60, 90 3 odběratelé  požadavky (v tunách písku): 34, 46, 120 . Březen 2017

- cílem je minimalizovat celkové dopravní náklady. CW057 CW13 CW05 Dopravní úlohy Metoda Severozápadního rohu (SZR) Dopravní náklady v Kč na 1 tunu: - cílem je minimalizovat celkové dopravní náklady. Matice dopravních nákladů: Březen 2010

Metoda Severozápadního rohu (SZR) CW057 CW13 CW05 Dopravní úlohy Metoda Severozápadního rohu (SZR) Veškeré výpočty se provádí v tabulce dodavatel označen Di, odběratel označen Oj. Nejdříve se zapíší do tabulky požadavky a kapacity a zkontroluje se, zda jsou si rovny jejich součty. Dále se obsazuje pole tabulky (počínaje např. zleva nahoře) nejvyššími možnými hodnotami proměn-ných, tak aby řádkové a sloupcové součty hodnot proměnných dávaly požadovaná čísla ai,bj. Březen 2010

Metoda Severozápadního rohu (SZR) CW057 CW13 CW05 Dopravní úlohy Metoda Severozápadního rohu (SZR) Začne se polem D1O1, které ze obsadit nejvýše hodnotu x11 = 34. Tím je splněn požadavek, že součet hodnot prv-ního sloupce – O1 – musí být 34 a dále se již první sloupec neobsazuje. Březen 2015

Metoda Severozápadního rohu (SZR) CW057 CW13 CW05 Dopravní úlohy Metoda Severozápadního rohu (SZR) O1 02 O3 Kapacity D1 34 8 4 2 50 D2 - 5 60 D3 3 6 90 Požadavky 46 120 120/120 Březen 2015

Metoda Severozápadního rohu (SZR) CW057 CW13 CW05 Dopravní úlohy Metoda Severozápadního rohu (SZR) Pokračuje se polem D1O2, do něhož lze dosadit nejvýše x12 = 16. Tím je splněn požadavek, aby součet hodnot prvního řádku byl 50, a dále se již neobsazuje ani první řádek. Dále se pokračuje stejným způsobem a konečná varianta řešení ….. Březen 2015

Metoda Severozápadního rohu (SZR) CW057 CW13 CW05 Dopravní úlohy Metoda Severozápadního rohu (SZR) O1 02 O3 Kapacity D1 34 8 16 4 - 2 50 D2 30 5 60 D3 3 90 6 Požadavky 46 120 120/120 Březen 2015

Metoda Severozápadního rohu (SZR) CW057 CW13 CW05 Dopravní úlohy Metoda Severozápadního rohu (SZR) Dále se pokračuje výpočtem efektů: z = 34*8 + 16*4 + 30*4 + 30*5 + 90*6 = 1 146 Kč Březen 2017

Metoda Severozápadního rohu (SZR) CW057 CW13 CW05 Dopravní úlohy Metoda Severozápadního rohu (SZR) Vypíše se matici řešení: Březen 2015

Metoda Severozápadního rohu (SZR) CW057 CW13 CW05 Dopravní úlohy Metoda Severozápadního rohu (SZR) Prvky matice X jsou nezáporné, řešení splňuje podmínku nezápornosti. Splňuje i omezující podmínky, neboť bylo sestaveno s ohledem na ně. Je to tedy přípustné řešení. Obsahuje m + n – 1 nenulových prvků a lze se přesvědčit, že sloupcové vektory koeficientů u těchto nenulových proměnných v soustavě jsou lineárně nezávislé. Je to tedy základní přípustné řešení. Březen 2015

Metoda Severozápadního rohu (SZR) CW057 CW13 CW05 Dopravní úlohy Metoda Severozápadního rohu (SZR) Spojí-li se obsazená pole v tabulce vodorovnými a svislými čárami, vznikne graf. Podle tvaru tohoto grafu lze spolehlivě určit vlast-nosti řešení v tabulce. Platí tato poučka: tvoří-li graf (třeba jen svou částí) uzavřený obvod, není řešení v tabulce základní. Březen 2010

Metoda Severozápadního rohu (SZR) CW057 CW13 CW05 Dopravní úlohy Metoda Severozápadního rohu (SZR)  D3 D2 D1 O3 O2 O1 Březen 2010

VARIANTA VSTUPŮ I VÝSLEDKŮ ÚLOHY CW057 CW13 CW05 Dopravní úlohy VARIANTA VSTUPŮ I VÝSLEDKŮ ÚLOHY    Zdroje S1 Cílová S2 místa S3    S4 Kapacity zdrojů D1 180 150 330 D2 xxx D3 110 220 Požadavky cílov. míst  180 360  50  700    Zdroje S1 Cílová S2 místa S3    S4 Kapacity zdrojů D1 xxx 150 D2 100 50 D3 110 220 Požadavky cílov. míst  xxx 360  50  700 Březen 2017

Metoda Severozápadního rohu (SZR) CW057 CW13 CW05 Dopravní úlohy Metoda Severozápadního rohu (SZR) Další variantou může být, že každý odběratel nebere všechny druhy překladů. Je to poměrně obvyklá varianta v realitě dosti běžná. Tato úloha je ale v ROZPORU se zadáním. Ukázka náhodného zadání potřeb může vést i k hor-šímu finančnímu výsledku – ale to může být podříze-no jistému zadání…… Březen 2017

VARIANTA VSTUPŮ I VÝSLEDKŮ ÚLOHY CW057 CW13 CW05 Dopravní úlohy VARIANTA VSTUPŮ I VÝSLEDKŮ ÚLOHY Počet kusů … x    Zdroje S1 Cílová S2 místa S3    S4 Kapacity zdrojů D1 180 150 330 D2 100 50 D3 110 220 Požadavky cílov. míst  180 360  50  700 Součet požadavků se rovná součtu kapacit. Březen 2017

VARIANTA VÝSLEDKŮ ÚLOHY CW057 CW13 CW05 Dopravní úlohy VARIANTA VÝSLEDKŮ ÚLOHY Cena za dodávky    Zdroje S1 Cílová S2 místa S3    S4 zdroje D1 1980 600 2580 D2 700 500 1200 D3 990 1320 2310 cílová místa 2290 6090 Březen 2017

JINÁ VARIANTA VSTUPŮ I VÝSLEDKŮ TÉŽE ÚLOHY CW057 CW13 CW05 Dopravní úlohy JINÁ VARIANTA VSTUPŮ I VÝSLEDKŮ TÉŽE ÚLOHY Počet kusů … x    Zdroje S1 Cílová S2 místa S3    S4 Kapacity zdrojů D1 180 150 330 D2 100 50 D3 110 220 Požadavky cílov. míst 250 160 700 Součet požadavků se rovná součtu kapacit. Březen 2017

CW057 Dopravní úlohy JINÁ VARIANTA ÚLOHY Cena za dodávky 1980 600 2580    Zdroje S1 Cílová S2 místa S3    S4 zdroje D1 1980 600 2580 D2 700 500 1200 D3 550 1320 1870 cílová místa 1300 1050 5650 Březen 2017

Metoda Severozápadního rohu (SZR) CW057 CW13 CW05 Dopravní úlohy Metoda Severozápadního rohu (SZR) Metoda severozápadního rohu nepřihlíží k sazbám cij. Nelze tedy očekávat, že by získané základní řešení bylo blízké optimu, nebo dokonce přímo optimální. Často je třeba toto řešení postupně zlepšovat v mnoha krocích, než se dojde k optimu. Existují i jiné metody, jak nalézt výchozí základní řešení, které vedou k řešením již blízkým opti-málnímu. Březen 2017

Metoda Severozápadního rohu (SZR) CW057 CW13 CW05 Dopravní úlohy Metoda Severozápadního rohu (SZR) Metoda severozápadního rohu – je ne-praktická - nepřihlíží k hodnotám dopravních sazeb - je nejjednodušší = neuvažuje velikost sazeb nákladů, ale řešení získané touto meto-dou bývá značně vzdálené optimu. Březen 2017

CW057 CW13 CW05 Dopravní úlohy Metoda indexní Indexní metoda (metoda maticového mini-ma) – postupně se obsazují pole s nejnižšími dopravními sazbami maximálně přípustným množstvím – nedává záruku vzniku optimál-ního řešení, ale pouze „dobrého“ – nehodnotí relativní výhodnost jednotlivých dopravních sazeb Březen 2017

CW057 CW13 CW05 Dopravní úlohy Metoda indexní Dalšími metodami jsou metody patřící do tzv. aproximačních metod. Patří mezi ně i metoda indexní. Postup ilustruje příklad: Březen 2017

Metoda indexní Postup je následovný: CW057 CW13 CW05 Dopravní úlohy Metoda indexní Postup je následovný: Nalezne se políčko s nejnižším koeficientem cij, které není dosud proškrtnuto, indexy tohoto pole dosadíme do i a j. Je-li více polí se shodnou minimální sazbou cij, vybere se to, které lze obsadit vyšší hodnotou xij. Březen 2010

Metoda indexní Obsadíme pole i,j hodnotou xij = min (ai, bj) CW057 CW13 CW05 Dopravní úlohy Metoda indexní Obsadíme pole i,j hodnotou xij = min (ai, bj) je-li xij = ai, vyškrtne se i-tý řádek, ai = 0, bj = bj - ai b) je-li xij = bj, vyškrtne se j-tý sloupec, bj = 0, ai = ai - bj c) je-li xij = ai = bj, vyškrtne se j-tý sloupec a i-tý řádek, ai = bj = 0. Březen 2015

CW057 CW13 CW05 Dopravní úlohy Metoda indexní Jsou-li všechny kapacity a požadavky rovny 0, výpočet končí, jinak se vrací na bod 1. Je vhodné vypsat předem všechny koeficienty do řady vzestupně a indexy vyčerpaných polí se vy-škrtávají. Zabrání se tak chybám v řešení. Březen 2010

Metoda indexní …… tabulky s jednotlivými kroky postupu řešení …. CW057 Dopravní úlohy Metoda indexní …… tabulky s jednotlivými kroky postupu řešení …. Březen 2017

První krok - výchozí tabulka : CW057 CW13 CW05 Dopravní úlohy Metoda indexní Pokračování příkladu již probraného. O1 O2 O3 Kapacity Rozdíl Diference D1 - 8 4 50 2 2. D2 5 60 D3 3 6 90 1. Požadavky 34 46 120 120/120 70 3. První krok - výchozí tabulka : Březen 2017

Druhý krok - tabulka řešení: CW057 CW13 CW05 Dopravní úlohy Metoda indexní O1 O2 O3 Kapacity Rozdíl Diference D1 - 8 4 50 2 2.X D2 34 5 60 26 2.2 D3 3 6 90 1.1 Požadavky 46 120 120/120 70 2. 2 1. 1 3. 1 Druhý krok - tabulka řešení: Březen 2017

Třetí krok - tabulka řešení: CW057 CW13 CW05 Dopravní úlohy Metoda indexní O1 O2 O3 Kapacity Rozdíl Diference D1 - 8 4 50 2 2.X D2 34 5 60 26 2.2.1 D3 46 3 6 90 44 1.1.3 Požadavky 120 120/120 70 2.2.X 1.1.1 3.1.1 Třetí krok - tabulka řešení: Březen 2017

Čtvrtý krok - tabulka řešení: CW057 CW13 CW05 Dopravní úlohy Metoda indexní O1 O2 O3 Kapacity Rozdíl Diference D1 - 8 4 50 2 2.X D2 34 26 5 60 2.2.1.X D3 46 3 6 90 44 1.1.3.X Požadavky 120 120/120 2.2.X 1.1.1.X 3.1.1.1 Čtvrtý krok - tabulka řešení: Březen 2017

Pátý krok - tabulka řešení: CW057 CW13 CW05 Dopravní úlohy Metoda indexní O1 O2 O3 Kapacity Rozdíl Diference D1 - 8 4 50 2 2.X D2 34 26 5 60 2.2.1.X D3 46 3 44 6 90 1.1.3.X Požadavky 120 120/120 2.2.X 1.1.1.X 3.1.1.1.X Pátý krok - tabulka řešení: Březen 2017

Metoda indexní Dále se pokračuje výpočtem efektů: CW057 CW13 CW05 Dopravní úlohy Metoda indexní Dále se pokračuje výpočtem efektů: z = 50*2 + 34*2 + 26*5 + 46*3 + 44*6 = 700 Kč Březen 2015

Degenerace základního řešení CW057 CW13 CW05 Dopravní úlohy Degenerace základního řešení Pro další řešení je zapotřebí, aby v dopravní úloze bylo obsazeno právě m + n – 1 polí. Má-li úloha méně nenulových přeprav, je základní řešení degenerované. Narazí-li výpočet na degenerované řešení, je nutno degeneraci formálně odstranit, aby výpočet mohl pokračovat. Březen 2010

Degenerace základního řešení CW057 CW13 CW05 Dopravní úlohy Degenerace základního řešení Postup: Vhodné neobsazené pole se obsadí zanedbatelně malou přepravou, tak malou, že řádkové a sloup-cové součty se prakticky nemění. Tato přeprava se označí jako nulová na rozdíl od prázdných, neobsazených polí. Březen 2010

Degenerace základního řešení CW057 CW13 CW05 Dopravní úlohy Degenerace základního řešení Pole obsazené nulou se považuje za obsazené pole. Doplňuje se počet obsazených polí na (m + n – 1) a odstraní se tím degenerace. Nulovou přepravou je třeba obsadit takové pole, které netvoří s ostatními obsazenými poli uzavřený obvod. Březen 2015

Degenerace základního řešení CW057 CW13 CW05 Dopravní úlohy Degenerace základního řešení V případě tzv. dvojnásobné nebo vícenásobné degenerace se doplňují nulové přepravy na více polích tak, aby celkový počet obsazených polí byl vždy m + n – 1. Březen 2010

Vogelova Aproximační metoda – VAM CW057 CW13 CW05 Dopravní úlohy Vogelova Aproximační metoda – VAM Vogelova aproximativní metoda – je velice jednoduchá a rychlá – vhodná i pro ruční vý-počty složitých problémů a velkých tabulek – založena na oceňování relativní výhodnosti sazeb Březen 2017

Vogelova Aproximační metoda – VAM CW057 CW13 CW05 Dopravní úlohy Vogelova Aproximační metoda – VAM V malých problémech dává často přímo optimum, ve větších pak řešení tak blízké optimálnímu, že se někdy lze dokonce spokojujit s tímto přibližným řešením. Pro získání optimálního řešení je základní řešení získané metodou VAM výchozí a pokračuje se dis-tribuční metodou až k optimu, které je obvykle získáno již po malém počtu kroků. Březen 2010

Vogelova Aproximační metoda – VAM CW057 CW13 CW05 Dopravní úlohy Vogelova Aproximační metoda – VAM Princip spočívá v tom, že jsou porovnávány druhá nejnižší a nejnižší sazby v řádku nebo sloupci. Rozdíl těchto dvou sazeb udává nárůst přepravních nákladů na jednotku v případě, že není obsazeno pole s nejnižší sazbou. Březen 2017

Vogelova Aproximační metoda – VAM CW057 CW13 CW05 Dopravní úlohy Vogelova Aproximační metoda – VAM Pravidla VAM: Nejprve se stanoví pro každý řádek a sloupec dife-rence mezi nejmenší a druhou nejmenší sazbou v tomto řádku nebo sloupci (jsou-li dvě nejmenší sazby stejné, pak diference je nula). Vybere se řada (tj. řádek nebo sloupec) s největší diferencí. V této řadě se obsadí největší možnou přepravou pole s nejmenší sazbou. Březen 2017

Vogelova Aproximační metoda – VAM CW057 CW13 CW05 Dopravní úlohy Vogelova Aproximační metoda – VAM V této řadě se obsadí největší možnou přepravou pole s nejmenší sazbou. Řadu s vyčerpanou kapacitou nebo požadavkem se vyškrtne a v dalším postupu se s ní nepočítá. Znovu se stanoví diference (pro sloupce, jestliže jsme škrtli řádek, a naopak) a postupujeme dále stejným způsobem. Březen 2010

Vogelova Aproximační metoda – VAM CW057 CW13 CW05 Dopravní úlohy Vogelova Aproximační metoda – VAM Jestliže je největší diference stejná u více řad, hledá se v těchto řadách s největší diferencí „sedlový bod“ = pole s nejmenší sazbou z hlediska řádku i sloupce. Pak je obsazen tento „sedlový bod“ (mezi několika „sedlovými body“ se rozhodneme pro ten, pro který je součet řádkové a sloupcové diference největší). Březen 2010

Vogelova Aproximační metoda – VAM CW057 CW13 CW05 Dopravní úlohy Vogelova Aproximační metoda – VAM Neexistuje-li v řadách s největší diferencí ani jediný sedlový bod, pak jsou pro tyto řady stanoveny druhé diference. Druhá diference je rozdíl mezi druhou nejmenší sazbou v řadě a mezi nejmenší sazbou v řadě kolmé na původní. Březen 2010

Vogelova Aproximační metoda – VAM CW057 CW13 CW05 Dopravní úlohy Vogelova Aproximační metoda – VAM Středem kříže těchto dvou na sebe kolmých řad je druhá nejmenší sazba v řadě, pro niž druhou diferenci určujeme. Vybere se řada s největší druhou diferencí a v ní pak se osadí pole s nejmenší sazbou. Březen 2017

Vogelova Aproximační metoda – VAM CW057 CW13 CW05 Dopravní úlohy Vogelova Aproximační metoda – VAM Tato metoda VAM je výpočetně složitější, poskytuje však většinou nejlepší řešení. Pro každý řádek a sloupec se vypočte DIFERENCE jako rozdíl mezi dvěma nejnižšími sazbami (ceno-vými koeficienty) v daném řádku či sloupci. Vybere se pole, které má v řádku nebo sloupci s ma-ximální diferencí. Může nastat situace, kdy existuje více řádků a sloupců se stejnou maximální diferencí. Březen 2017

Vogelova Aproximační metoda – VAM CW057 CW13 CW05 Dopravní úlohy Vogelova Aproximační metoda – VAM Pak se vybere pole, které má nejnižší sazbu z těch polí, které leží v řádcích a sloupcích s těmito maxi-málními diferencemi. Po obsazení pole dojde k vyloučení takto obsaze-ného řádku a sloupce. Potom se přepočtou diference a postup se opakuje. Diference může být i nulová, jsou-li dva nejmenší cenové koeficienty v daném řádku nebo sloupci stejné. Březen 2017

VARIANTA VSTUPŮ I VÝSLEDKŮ ÚLOHY CW057 CW13 CW05 Dopravní úlohy VARIANTA VSTUPŮ I VÝSLEDKŮ ÚLOHY Počet kusů … x    Zdroje S1 Cílová S2 místa S3    S4 Kapacity zdrojů D1 250 80 330 D2 120 30 150 D3 60 160 220 Požadavky cílov. míst 180 110 700 Součet požadavků se rovná součtu kapacit. Březen 2017

VARIANTA VÝSLEDKŮ ÚLOHY CW057 CW13 CW05 Dopravní úlohy VARIANTA VÝSLEDKŮ ÚLOHY Cena za dodávky    Zdroje S1 Cílová S2 místa S3    S4 zdroje D1 1000 720 1720 D2 240 960 D3 180 800 980 cílová místa 900 3660 Součet financí je nejnižší, ale patří do úloh, které nerespektují zadání….. Březen 2017

MODI - modifikovaná distribuční metoda CW057 CW13 CW05 Dopravní úlohy MODI - modifikovaná distribuční metoda Metoda MODI (modifikovaná distribuční metoda) + Test optimality – slouží ke zlep-šování výchozího řešení – zjišťování optimality pomocí dalších údajů (řádkových a sloupco-vých pomocných čísel) – provádí se postupné přesuny a sledují se vyvolané změny (musí se najít uzavřený okruh, v němž změna „koluje“). Březen 2017

CW057 CW13 CW05 Dopravní úlohy Protože daná úloha je vyrovnaným dopravním pro-blémem – tak má vždy optimální řešení. Používá se metoda MODI (modifikovaná distribuční metoda). Při výpočtu se jedná doplnění tabulky o hodnoty proměnných tak, aby jejich řádkové součty byly rovny kapacitám, sloupcové součty požadavkům a počet nenulových proměnných ≤ (m + n − 1). Březen 2017

Metoda má tyto kroky: 1. nalezení výchozího základního řešení CW057 CW13 CW05 Dopravní úlohy Metoda má tyto kroky: 1. nalezení výchozího základního řešení 2. test optimality (v případě, že už je řešení optimál-ní, ukončení výpočtu) 3. výpočet nového základního řešení s lepší (nižší) hodnotou účelové funkce – zahrnuje jako u sim-plexové metody: - volbu vstupující proměnné, - volbu vystupující proměnné, - přepočet tabulky, ve které je výpočet realizován. Březen 2017

MODI - modifikovaná distribuční metoda CW057 CW13 CW05 Dopravní úlohy MODI - modifikovaná distribuční metoda Pro text optima a transformaci řešení se používá MODI – modifikovaná distribuční metoda. Je založena na dualitě lineárních modelů. Protože dopravní úloha má vždy 2 skupiny ome-zení – kapacitní a požadavky – přiřadíme 1. sku-pině omezení duální proměnnou ui a 2. skupině vj. . Březen 2010

MODI - modifikovaná distribuční metoda CW057 CW13 CW05 Dopravní úlohy MODI - modifikovaná distribuční metoda Duálně sdružená omezení: Každé podmínce nezápornosti primárního problé-mu xij  0 odpovídá duální omezení ui + vj  cij u1 + v1  c11 u1 + v2  c12 . ui + vj  cij Březen 2010

MODI - modifikovaná distribuční metoda CW057 CW13 CW05 Dopravní úlohy MODI - modifikovaná distribuční metoda Test optima řešení dopravního problému Vychází z věty o rovnováze. Důsledkem této věty je skutečnost, že pro duálně sdružená omezení platí: je-li jedno z duálně sdružených omezení splněno jako ostrá nerovnost, je druhé splněno jako rovnice. Březen 2015

MODI - modifikovaná distribuční metoda CW057 CW13 CW05 Dopravní úlohy MODI - modifikovaná distribuční metoda Test optima řešení dopravního problému V optimálním řešení dopravního problému platí: - pro obsazená políčka - pro neobsazená políčka Březen 2017

MODI - modifikovaná distribuční metoda CW057 CW13 CW05 Dopravní úlohy MODI - modifikovaná distribuční metoda Test optima řešení dopravního problému Úloha má m + n proměnných a m * n omezení. Proměnné ui jsou nazývány řádkové proměnné a vj sloupcové proměnné. Proměnné cij jsou již námi známé náklady spoje-né s přepravou jednotky produkce od i-tého do-davatele k j-tému spotřebiteli. Březen 2017

…..… Informace pokračují …..č.7…….př. ………..… cw057 – p. 36. CW057 POKRAČOVÁNÍ PŘÍŠTĚ ……. Informace pokračují …..č.7…….př. ………..… …..… cw057 – p. 36. březen 2017

CW057 CW13 CW05 ……… Březen 2017