Funkce Konstantní a Lineární Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

Konstantní funkce Funkci y = b, nazýváme konstantní funkci. Jejím grafem je přímka rovnoběžná s osou x, která prochází bodem [0, b]. y y = – 4 5 4 x -1 2 y = – 4 -4 3 y = 2 2 1 y = 2 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 x -1 x -3 4 y = 2 2 -2 -3 y = – 4 -4

Grafem lineární funkce je přímka různoběžná s osou x i osou y. Definice Každá funkce y = ax + b, kde a, b jsou libovolná reálná čísla a definičním oborem je množina všech reálných čísel R, se nazývá lineární funkce. Grafem lineární funkce je přímka různoběžná s osou x i osou y.

Pozorování Sestroj graf lineární funkce y = 3x – 2. x 1 2 y = 3x – 2 4 5 4 x 1 2 y = 3x – 2 4 3 2 1 x -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -1 A[0; – 2] -2 Všimni si souřadnic průsečíku grafu funkce s osou y. Označíme jej bodem A, platí A[0; -2], y-ová souřadnice bodu A je rovna konstantě b v rovnici funkce. -3 -4 -5

Příklady 1. Kterému číslu je rovna konstanta b v zadání lineární funkce y = 2x + b, jestliže graf této funkce protíná osu y v bodě o souřadnicích [0; 5]? b = 5 y = 2x + 5 2. Určete, jaké souřadnice bude mít bod, ve kterém protíná graf lineární funkce y = 3x – 5 osu y. [0; – 5] 3. Zapište lineární funkci, jestliže víte, že platí: a = 5, b = 0. Jaké souřadnice má bod, ve kterém graf této funkce protíná osu y? y = 5x bodem [0; 0]

Závěr Graf lineární funkce y = ax + b protíná osu y v bodě o souřadnicích [0; b]. Graf lineární funkce y = ax (b = 0) prochází počátkem soustavy souřadnic [0; 0].

Lineární funkce y y = 3x – 2 5 4 3 2 1 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 x -1 Funkce je rostoucí, právě když pro každé dvě hodnoty x1, x2 z jejího definičního oboru platí: jestliže x1 < x2, pak y1 < y2. y = 3x – 2 5 4 x 1 2 y = 3x – 2 4 3 2 1 Funkce je klesající, právě když pro každé dvě hodnoty x1, x2 z jejího definičního oboru platí: jestliže x1 > x2, pak y1 < y2. -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 x -1 A[0; – 2] -2 -3 x – 1 – 2 y = – 3x – 2 1 4 -4 -5 y = – 3x – 2 Pozoruj číslo a v rovnici. Co vidíš?

Lineární funkce Lineární funkce y = ax + b je rostoucí, jestliže a > 0. příklady rostoucí funkce : y = x – 4 y = 0,3x + 0,1 y = 1,4x – 5; Lineární funkce y = ax + b je klesající, jestliže a < 0. příklady klesající funkce: y = – 2x – 5 y = – x + 1 y = – 0,4x – 5

Příklady 1. Rozhodněte, která z daných funkcí je lineární. a) y = 2x + 1 b) y = x2 – 5 c) y = 0,5 – 2x d) e) f) Řešení: a), c), e), f) a) [0; 3] a) [0; 15] a) [0; - 0,6] 2. Určete průsečíky grafů daných funkcí s osou y: a) y = – x + 3 b) y = 7x + 15 c) y = 0,5x - 0,6 a) klesající b) rostoucí c) klesající d) konstantní e) klesající 3. Rozhodněte, zda je daná funkce rostoucí nebo klesající: a) y = – 5x b) y = 2x – 4 c) y = – 0,3x + 0,5 d) y = – 8 e) y = 1 – x

Pozorování Sestrojte grafy lineárních funkcí. y = 2x + 1 y = 2x

Pozorování y y = 2x + 3 y = 2x + 1 y = 2x + 1 5 y = 2x 4 y = 2x - 3 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 x -1 x 2 y = 2 1 -2 Přímky lineárních funkcí se shodným parametrem a jsou rovnoběžné -3 -4 y = 2x + 3 -5 x -1 y = 2 1

Pozorování Sestrojte grafy lineárních funkcí. y = – x + 3 y = x + 3

Pozorování y y = – x + 3 y = – x + 3 y = x + 3 5 4 y = x + 3 3 2 1 -2 y = 2 1 2 1 y = 6x – 2 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 x -1 x 1 y = 2 4 -2 y = – 6x – 2 -3 -4 y = – 6x – 2 Přímky lineárních funkcí s různým parametrem a jsou různoběžné -5 x -1 y = 2 4 y = 6x – 2

není grafem žádné funkce (např. x=2) Pozor Přímka rovnoběžná s osou y není grafem žádné funkce (např. x=2)

Příklad: y = 170 – 30.x 20 = 170 – 30.x 30.x = 170 – 20 30.x = 150 Ze sudu, v němž je 170 litrů vody, vyteče každou minutu 30 litrů. Zapiš rovnici funkce, která určuje objem vody v sudu v závislosti na době vypouštění. Za jak dlouho bude v sudu 20 litrů vody? y = 170 – 30.x Čas, počet minut vytékání. 20 = 170 – 30.x Množství vody v sudu v čase. 30.x = 170 – 20 30.x = 150 Množství vody na začátku. x = 150 / 30 x = 15/3 min 20 litrů bude v sudu za 5 minut.

Příklady z praxe 1. V balonu je 1,8 kg tekutého propanu. Plynovým hořákem se spotřebuje každou hodinu 0,2 kg propanu. Jaké množství m propanu bude v balonu za t hodin letu? Sestrojte graf a určete z něho: Kolik kg propanu bude v balonu za 3 h; 5 h; 6,5 h? Za jakou dobu se zmenší zásoba propanu o 0,6 kg; 1 kg; 1,5 kg? 2. Na natření 10 metrů plotu se spotřebuje 4,5 kg barvy. Natěrač má zásobu 20 kg barvy. Napište rovnici popisující závislost množství zásoby barvy (y kg) na délce natřeného plotu (x m). Určete podmínku pro x.

Příklady z praxe 3. Napište rovnici funkce vyjadřující závislost počtu vyrobených součástek n na čase t (v hodinách) na pravidelně pracujícím automatu, který vyrobí za 8 hodin vždy 120 součástek. 4. Silnice stejnoměrně klesá. Určete výšku bodu, který je vzdálen od místa 15 km, má-li bod vzdálený od místa 5 km výšku 150 m a bod vzdálený od místa 9 km výšku 120 metrů. 5. Cisterna na naftu se má naplnit na 55 m3. Čerpadlo dodá do cisterny 3,5 m3 nafty za minutu. Před začátkem činnosti čerpadla bylo již 6 m3 nafty. Určete, za jak dlouho se cisterna naplní. 6. Auto a motorka vyjíždějí z místa B po stejné trase tak, že nejprve vyjede auto průměrnou rychlostí 50 km/h a za dvě hodiny za ním motorka průměrnou rychlostí 70 km/h. Určete, kdy a v jaké vzdálenosti od výchozího místa motorka auto dohoní.

Příklady z praxe - řešení m = - 0,2t + 1,8; m3 = 1,2 kg; m5 = 0,8 kg; m6,5 = 0,5 kg; 3 h, 5 h, 7,5 h y = - 0,45x + 20 0 ≤ x ≤ 400/9 n = 15t v=-7,5x+150 75 m y = 3,5x + 6 y1 = 50x + 100; y2 = 70x; 5 h; 350 km