KMT/MCH1 – Mechanika 1 pro učitele 5. přednáška/cvičení, Jiří Kohout Katedra matematiky, fyziky a technické výchovy, Fakulta pedagogická, Západočeská univerzita v Plzni

Práce Výkon, účinnost Energie, mechanická energie Konzervativní síly, zákon zachování mechanické energie Nekonzervativní síly - odporové síly, třecí síly Obsah přednášky

Skalární fyzikální veličina, označení W (někdy A), jednotka 1 Joule (1 J), fyzikální rozměr: W = F*s → 1 J = (kg*m*s -2 )*m = kg*m 2 *s -2 ZŠ: W = F*s (platí, jen když F a s jsou rovnoběžné a síla je konstantní) SŠ: W = F*s (skalární součin) → W = F*s*cosφ (φ je úhel mezi F a s, platí jen když je síla konstantní¨) VŠ: dW = F(r)*ds → W = integrál z F(r)*ds (obecný vzorec i pro nekonstantní sílu, ale musí se umět integrovat…) – práce je obsah plochy pod křivkou v grafu závislosti síly na dráze! Práce F s φ s F s/m F/NW – obsah plochy pod křivkou ds dW = F*ds

Práce jako fyzikální veličina je nulová v případě, že a) těleso se nepohybuje, dráha je nulová (případ, kdy držíme nějaké těleso na jednom místě!) b) směr pohybu je kolmý na směr působící síly. (případ, kdy pohybujeme tělesem ve stejné výšce a zanedbáme odporové síly). V tom případě je totiž φ = 90º → cos φ = 0 → W = F*s*cos φ = 0. Příklad: Určete práci vykonanou při vytahování tělesa o hmotnosti 2 kg po nakloněné rovině dlouhé 5 m s úhlem 30º Řešení:φ = 60º → W = F*s*cos 60º = m*g*s*cos 60º = 2*10*5*0,5 = 50 J Práce 2 φ s F/N FGFG s = 5 m 30º φ = 60º FGFG

Výkon V řadě aplikací není tak důležitá celková vykonaná práce jako spíše to, jak rychle se tato práce koná. To vystihuje skalární veličina výkon (značení P, jednotka 1 Watt – 1W, fyzikální rozměr: P = W/t → 1W = J/s =kg*m 2 *s -2 /s =kg*m 2 *s -3 ). Výkon je tedy práce za čas. Platí pro něj (případ konstantní síly a rychlosti): P = W/t = F*s/t = F*(s/t) = F*v, pro velikost poté P = F*v*cos φ, kde φ je úhel mezi vektorem síly a vektorem rychlosti. Výkon je nenulový jen tehdy, když vektory síly a rychlosti na sebe nejsou kolmé! Pro práci platí vztah W = P*t, díky tomu můžeme práci udávat pomocí jednotek výkonu a času (běžně užíváno např. v energetice!) 1 W*s (wattsekunda) = 1 watt po dobu 1 sekundy, tedy 1 J

Výkon 2 1 kilowatthodina (kWh)= 1000 wattů po dobu 3600 s, tedy Ws = J = 3,6 MJ. Podobně 1 megawatthodina (MWh) = 10 6 W po dobu 3600 s, tedy, 3,6*10 9 Ws = 3,6*10 9 J = 3,6 GJ. Příklad: Lednice má výrobcem udanou spotřebu za rok 300 kWh. Kolik je to v Joulech a jaký je její průměrný výkon ve wattech? Řešení: 300 kWh = 300*1000*3600 = 1,08*10 9 J = 1,08 GJ. P = W/t = 1,08 *10 9 /(365*24*3600) = 34,3 W. Spotřeba energie za rok je 1,08 GJ, průměrný výkon ledničky je 34,3 W.

Účinnost Zpravidla se ne všechna spotřebovaná energie využije na účinnou práci (dochází ke ztrátám způsobeným třením apod.). To popisuje veličina účinnost: označení η, bezrozměrná veličina resp. vyjádření v procentech. Platí: η = W/W 0, kde W je vykonaná práce a W 0 dodaná energie. Příklad: Určete účinnost motoru auta, které ujelo 162 km přičemž přemáhalo konstantní odporovou sílu F = 700 N. Spotřeba paliva byla V = 12 l, jeho výhřevnost poté A = 32 MJ/l. Řešení:Vykonaná práce je dána vztahem W = F*s = 700* = 113, 4 MJ. Spotřebovaná energie je poté W 0 = V*A = 12*32 = 394 MJ. Účinnost je tedy η = W/W 0 = 113,4/394 ≈ 0,28 = 28 %.

Energie Energie je skalární fyzikální veličina udávající míru schopnosti tělesa konat práci. Charakterizuje stav soustavy. Energie soustavy je poté vždy definována jako práce vykonaná vnějšími silami k dosažení daného stavu → jednotka stejně jako práce 1 Joule. Rozlišujeme mechanickou energii (důležitá pro naši přednášku) a mnohé další druhy (elektrická, magnetická, energie vlnění, vnitřní energie – k ní patří např. tepelná, chemická či jaderná energie). V izolované soustavě (tj, žádná výměna energie) platí zákon zachování energie: Celková energie soustavy se nemění, dochází pouze k přeměnám mezi jednotlivými typy.

Druhy mechanické energie  Kinetická energie (práce nutná k dosažení dané rychlosti) E kin = W = F*s = m*a*s = m*a*(1/2*a*t 2 ) =1/2*m*(a*t) 2 = ½*m*v 2 (při odvození jsme uvažovali rovnoměrně zrychlený pohyb (s = 1/2*a*t 2 a v=a*t), ale výsledek platí obecně!)  Tíhová potenciální energie (práce nutná k dosažení určité výšky v homogenním tíhovém poli – pozor, platí jen pro malé výšky h!) E pot = W = F g *s = m*g*s = m*g*h (uvažujeme vytahování tělesa silou F g do velikosti tíhové síly do výšky h) h F = m*g W = m*g*h

Druhy mechanické energie 2  Potenciální energie pružnosti – práce nutná ke stlačení či prodloužení pružiny z rovnovážné polohy. Dá se odvodit, že platí E pr = ½*k*y 2, kde k je tuhost pružiny a y výchylka z rovnovážné polohy. Odvození těžší kvůli nekonstantnosti síly, více v KMT/KVA.  Tlaková potenciální energie – význam v hydromechanice, má-li kapalina tlak p a pohne pístem s průřezem S o délku ∆l, koná práci E pt = W = F*∆l = p*S*∆l = p*∆V. y F = k*y, W = ½*k*y 2 ∆l p F píst

Zachování mechanické energie Důležitá otázka je, kdy se celková mechanická energie zachovává?? Logická odpověď je, že tehdy, pokud v dané izolované soustavě nedochází k přeměnám na jiné druhy energie (např. na energii tepelnou v důsledku tření či odporu prostředí!!). Jakmile k těmto přeměnám dochází, ztrácí pojem potenciální energie tak, jak jsme je zavedli, zcela smysl! Velikost potenciální energie totiž závisí pouze na tom, jak vysoko nad povrchem se nacházíme či jaká je výchylka pružiny, ne však již na tom, jakým způsobem jsme této výšky či výchylky dosáhli. Je tedy třeba, aby bylo možné stanovit jednu potenciální energii pro jeden bod a to bez ohledu na cestu. To nás vejde k pojmu konzervativní síly (konzervativní silové pole)

Konzervativní síly Práce musí záviset pouze na počáteční a koncové poloze tělesa, nikoliv na trajektorii!! Ekvivalentní podmínka: Práce vykonaná při pohybu po uzavřené křivce musí být rovna nule. V takovém případě je každému bodu přiřadit potenciální energii jako práci nutnou k přenesení tělesa z hladiny nulové potenciální energie (není jednoznačně určena, u tíhové potenciální energie se volí zpravidla povrch Země, jindy se uvažuje v nekonečnu) W1W1 W2W2 W 1 = W 2 W = 0

Konzervativní síly 2 Příklady konzervativních sil:  Gravitační síly  Elektrostatické síly  Elastické síly Příklady nekonzervativních sil (práce po uzavřené křivce není rovna nule):  Třecí síly  Odporové síly U nekonzervativních sil dochází k přeměně mechanické energie na jiné druhy energie (např. na tepelnou – viz zahřívání koleček skateboardu při rychlé jízdě!)

Konzervativní síly 3 Ekvipotenciální plochy – množiny bodů majících stejnou potenciální energii (u tíhové potenciální energie body se stejnou výškou) Siločáry – neprotínající se křivky, které jsou kolmé k ekvipotenciálním plochám.Mají směr síly působící na těleso (přesněji směr intenzity pole – tj. síly vztažené na jednotkovou hmotnost (pole gravitačních sil) či jednotkový náboj (pole elektrostatických sil) h E p = m*g*h siločára ekvipotenciála

Zákon zachování mechanické energie Pokud působí jen konzervativní síly, celková mechanická energie se zachovává (nedochází na rozdíl od nekonzervativních sil k přeměně mechanické energie na jiné druhy!) Tíhové pole Země (neuvažujeme odpor prostředí!) – součet kinetické a tíhové potenciální energie je konstantní: E kin + E pot = ½*m*v 2 + m*g*h = konst. Kmitání pružiny bez odporu prostředí: součet kinetické a potenciální energie pružnosti je konstantní: E kin + E pr = ½*m*v 2 +1/2*k*y 2 = konst. Proudění ideální kapaliny (nulová viskozita) – součet kinetické a potenciální tlakové energie je konstantní: E kin + E pt = ½*m*v 2 + p*V = konst. (tzv. Bernoulliho rovnice)

Zákon zachování mechanické energie 2 Příklad: Těleso o hmotnosti m = 3 kg necháme padat z výšky h = 20 m v homogenním tíhovém poli Země. Jakou rychlostí v d dopadne? Tíhové zrychlení je g = 10 m*s -2. Neuvažujeme odpor vzduchu! Řešení: Na počátku má těleso pouze tíhovou potenciální energii E pot1 = m*g*h. Jeho kinetická energie je E kin1 = 0 (padá z klidu). Těsně před dopadem má naopak pouze kinetickou energii E kin2 = ½*m*v d 2, jeho potenciální energie je E pot2 = 0 (má nulovou výšku). Podle ZZME musí platit: E pot1 + E kin1 = E pot2 + E kin2 → m*g*h + 0 = 0 + ½*m*v d 2 → 2*g*h = v d 2 → v d = √2*g*h = √2*10*20 ≈ 20 m*s -1. Překvapivý výsledek – rychlost dopadu nezávisí na hmotnosti, pírko spadne z dané výšky stejně rychle jako cihla!! Proč??

Odporové síly prostředí Ve vakuu by skutečně pírko spadlo stejně rychle jako cihla. V reálu však hraje velkou roli odpor prostředí, v tomto případě vzduchu. Platí, že odporová síla (působí vždy proti směru pohybu) je úměrná hustotě prostředí, průřezu plochy a 2. mocnině rychlosti. Aerodynamiku tělesa vyjadřuje koeficient C (čím menší, tím lepší aerodynamika, tím menší odporová síla). Souhrnně platí: F od = 1/2*C*S*ρ*v 2 Poznámka: Uvedený vztah platí s rozumnou přesností pro středně vysoké rychlosti, pro velmi vysoké rychlosti je závislost dokonce na 3. mocnině rychlosti. Pro malé rychlosti naopak pouze závislost na 1. mocnině rychlosti…

Odporové síly prostředí 2 Příklad: Určete práci W od, kterou vykonaly odporové síly vzduchu během pádu kamene o hmotnosti m = 3 kg z výšky h = 20 m v homogenním tíhovém poli Země. Dopadová rychlost kamene byla v d = 10 m*s -1. Tíhové zrychlení je g ≈ 10 m*s -2. Řešení: Úlohu řešíme pomocí energií. Na začátku měl kámen pouze potenciální energii E pot1 = m*g*h = 3*20*10 = 600 J. Tato energie se dílem přeměnila během pádu na kinetickou energii, která byla těsně před dopadem E kin2 = ½*m*v 2 = ½*3*10 2 = 150 J, dílem se však v důsledku odporových sil prostředí přeměnila na tepelnou energii. Tato tepelná energie (rozdíl mezi původní potenciální a konečnou kinetickou) je podle zákona zachování energie (již nejen mechanické!) rovna práci odporových sil W od. Platí tedy: W od = E pot1 - E kin2 = 600 – 150 = 450 J.

Třecí síly Při pohybu tělesa po podložce vzniká tření (nauka o tření – tribologie). Třecí síla F t působící proti směru pohybu závisí na síle F n, kterou těleso působí kolmo na podložku a na tom, jaký je materiál tělesa a podložky. To vystihuje tzv. koeficient tření f. Naopak třecí síla nezávisí na dotykové ploše tělesa či na jeho rychlosti! Platí tedy: F t = f*F n Vybrané koeficienty smykového tření: ocel-ocel – 0,1; ocel-dřevo – 0,35; dřevo-dřevo – 0,3; ocel – led – 0,027; dřevo-led – 0,035. FnFn FtFt F F t = f*F n, bereme jen kolmou složku F