Číslo projektuCZ.1.07/1.5.00/ Název školyGymnázium, Soběslav, Dr. Edvarda Beneše 449/II Kód materiáluVY_42_INOVACE_12_24 Název materiáluVennovy diagramy příklady II AutorMgr. Ivana Stefanová Tematická oblastMatematika Tematický okruhMnožiny Ročník1 Datum tvorbyzáří 2013 Pokud není uvedeno jinak, použitý materiál je z vlastních zdrojů autora.
Vennovy diagramy příklady II
Písemná práce z matematiky, které se zúčastnilo 35 studentů, obsahovala tři úlohy. Dva studenti vyřešili jenom první úlohu a tři studenti jenom druhou úlohu. První a druhou úlohu vyřešilo 16 studentů, druhou a třetí 14 studentů. Všechny úlohy vyřešilo 10 studentů, první nebo třetí 31 studentů a 3 studenti nevyřešili ani první, ani druhou úlohu. Kolik studentů vyřešilo: a) aspoň dvě úlohy, b) aspoň jednu úlohu?
Písemná práce z matematiky, které se zúčastnilo 35 studentů, obsahovala tři úlohy. Dva studenti vyřešili jenom první úlohu a tři studenti jenom druhou úlohu. První a druhou úlohu vyřešilo 16 studentů, druhou a třetí 14 studentů. Všechny úlohy vyřešilo 10 studentů, první nebo třetí 31 studentů a 3 studenti nevyřešili ani první, ani druhou úlohu. Kolik studentů vyřešilo: a) aspoň dvě úlohy, b) aspoň jednu úlohu? Písemné práce z matematiky se zúčastnilo 35 studentů ⇒ a + b + c + d + e + f + g + h = 35 Dva studenti vyřešili jenom první úlohu ⇒ a = 2 Tři studenti vyřešili jenom druhou úlohu ⇒ c = 3 První a druhou úlohu vyřešilo 16 studentů ⇒ b + e =16 Druhou a třetí úlohu vyřešilo 14 studentů ⇒ e + f =14 Všechny úlohy vyřešilo 10 studentů ⇒ e =10 První nebo třetí vyřešilo 31 studentů ⇒ a + b + d + e + f + g = 31 3 studenti nevyřešili ani první ani druhou ⇒ g + h = 3
Za neznámé a, c, e dosadíme do ostatních rovnic: 2 + b + 3+ d f + g + h = 35 ⇒ b + d + f + g + h = 20 b +10 =16 ⇒ b = 6 10 f 14 ⇒ f 4 2 b d 10 f g 31 ⇒ b d f g 19 g h 3
Za neznámé a, c, e dosadíme do ostatních rovnic: 2 + b + 3+ d f + g + h = 35 ⇒ b + d + f + g + h = 20 b +10 =16 ⇒ b = 6 10 f 14 ⇒ f 4 2 b d 10 f g 31 ⇒ b d f g 19 g h 3 Zbývají t ř i rovnice, do kterých dosadíme za neznámé b a f: (1) d g h 10 (2) d g 9 (3) g h 3 Z (2) dosadíme do (1): 9 h 10 ⇒ h =1 Z (3) dosadíme do (1): d + 3 = 10 ⇒ d = 7 Z (2): 7 g 9 ⇒ g = 2
Za neznámé a, c, e dosadíme do ostatních rovnic: 2 + b + 3+ d f + g + h = 35 ⇒ b + d + f + g + h = 20 b +10 =16 ⇒ b = 6 10 f 14 ⇒ f 4 2 b d 10 f g 31 ⇒ b d f g 19 g h 3 Zbývají t ř i rovnice, do kterých dosadíme za neznámé b a f: (1) d g h 10 (2) d g 9 (3) g h 3 Z (2) dosadíme do (1): 9 h 10 ⇒ h =1 Z (3) dosadíme do (1): d + 3 = 10 ⇒ d = 7 Z (2): 7 g 9 ⇒ g = 2
Za neznámé a, c, e dosadíme do ostatních rovnic: 2 + b + 3+ d f + g + h = 35 ⇒ b + d + f + g + h = 20 b +10 =16 ⇒ b = 6 10 f 14 ⇒ f 4 2 b d 10 f g 31 ⇒ b d f g 19 g h 3 Alespoň dvě úlohy vyřešilo 27 studentů (množina b + d + e + f ). Alespoň jednu úlohu vyřešilo 34 studentů (množina a + b + c + d + e + f + g ). Zbývají t ř i rovnice, do kterých dosadíme za neznámé b a f: (1) d g h 10 (2) d g 9 (3) g h 3 Z (2) dosadíme do (1): 9 h 10 ⇒ h =1 Z (3) dosadíme do (1): d + 3 = 10 ⇒ d = 7 Z (2): 7 g 9 ⇒ g = 2
Při dopravní kontrole bylo zkontrolováno 800 řidičů. Mezi nejčastější přestupky patřilo překročení stanovené rychlosti (R), nesprávná jízda v jízdních pruzích (P) a špatný technický stav vozidla (S). Žádného z uvedených přestupků se nedopustilo 500 řidičů, všechny 3 přestupky byly zjištěny u 2 řidičů a u 43 řidičů byly zjištěny právě dva z těchto přestupků. Rychlost překročilo 187 řidičů a špatný technický stav byl zjištěn v 110 případech. 75 řidičů mělo vozidlo ve špatném technickém stavu a přitom se nedopustilo žádného dalšího přestupku. Přestože 27 řidičů mělo vozidlo ve špatném technickém stavu, překročilo stanovenou rychlost. U kolika řidičů byla zjištěna nesprávná jízda v jízdních pruzích? Kolik řidičů se dopustilo právě jednoho z uvedených přestupků?
Při dopravní kontrole bylo zkontrolováno 800 řidičů. Mezi nejčastější přestupky patřilo překročení stanovené rychlosti (R), nesprávná jízda v jízdních pruzích (P) a špatný technický stav vozidla (S). Žádného z uvedených přestupků se nedopustilo 500 řidičů, všechny 3 přestupky byly zjištěny u 2 řidičů a u 43 řidičů byly zjištěny právě dva z těchto přestupků. Rychlost překročilo 187 řidičů a špatný technický stav byl zjištěn v 110 případech. 75 řidičů mělo vozidlo ve špatném technickém stavu a přitom se nedopustilo žádného dalšího přestupku. Přestože 27 řidičů mělo vozidlo ve špatném technickém stavu, překročilo stanovenou rychlost. U kolika řidičů byla zjištěna nesprávná jízda v jízdních pruzích? Kolik řidičů se dopustilo právě jednoho z uvedených přestupků? Žádného z uvedených přestupků se nedopustilo 500 řidičů ⇒ h = 500 Všechny 3 přestupky byly zjištěny u 2 řidičů ⇒ e = 2 75 řidičů mělo vozidlo ve špatném technickém stavu a přitom se nedopustilo žádného dalšího přestupku ⇒ g = 75 Přestože 27 řidičů mělo vozidlo ve špatném technickém stavu, překročilo stanovenou rychlost ⇒ d + e = 27 ⇒ d = 25 Při dopravní kontrole bylo zkontrolováno 800 řidičů ⇒ a + b + c + d + e + f + g + h = 800 U 43 řidičů byly zjištěny právě 2 z těchto přestupků ⇒ b + d + f = 43 ⇒ b + f = 18 Rychlost překročilo 187 řidičů ⇒ a + b + d + e = 187 ⇒ a + b= 160 Špatný technický stav byl zjištěn v 110 případech ⇒ d + e + f + g = 110 ⇒ 27 + f + 75 = 110 ⇒ f = 8
Zbývají 3 rovnice: a + b + c = 800 ⇒ a + b + c = 190 ( ) b + f = 18 ⇒ b + 8 = 18 ⇒ b = 10 a + b = 160 ⇒ a + 10 = 160 ⇒ a = 150 Dosadíme do ( ): c = 190 ⇒ c = 30
Zbývají 3 rovnice: a + b + c = 800 ⇒ a + b + c = 190 ( ) b + f = 18 ⇒ b + 8 = 18 ⇒ b = 10 a + b = 160 ⇒ a + 10 = 160 ⇒ a = 150 Dosadíme do ( ): c = 190 ⇒ c = 30
Zbývají 3 rovnice: a + b + c = 800 ⇒ a + b + c = 190 ( ) b + f = 18 ⇒ b + 8 = 18 ⇒ b = 10 a + b = 160 ⇒ a + 10 = 160 ⇒ a = 150 Dosadíme do ( ): c = 190 ⇒ c = 30 Nesprávná jízda v jízdních pruzích byla zjištěna u 50 řidičů (množina b + c + e + f ). Právě 1 z uvedených přestupků se dopustilo 255 řidičů (množina a + c + g).
Použité zdroje: Bušek I., Calda E. Matematika pro gymnázia – Základní poznatky z matematiky. Dotisk 3., upraveného vydání, Praha, Prometheus, s.r.o., s. ISBN Použité obrázky: Vytvořeno autorem v programu Cabri Geometrie.