Mnohočleny Václav Dobiáš Jiří Komínek

Alois Bedřich 10 Alois Bedřich 10 Obvod = a nebo můžeme napsat Obvod = Alois = a Bedřich = b Alois + Bedřich Alois Bedřich 2· Bedřich + 2· Alois + 2· 10

a b 10 a b Když dosadím: a = 3 b = = 2· 3 + 2· = 30 a + b a + b +10 2a + 2b + 20 Obvod = Zjednodušený Mnohočlen Mnohočlen Obvod = Tedy platí: a + b a + b +10 = 2a + 2b + 20 Správnost zjednodušení si tedy ověříme dosazení libovolných čísel do daného i zjednodušeného mnohočlenu.

Co je to tedy mnohočlen? 5x 3 - 2x x xy - 3x 2 y 2 mnohočlen jednočlen jednočen jednočlen reálný člen jednočlen Za mnohočlen tedy považujeme součet několika jednočlenů.

Příklady na úpravu mnohočlenů: 1) 2a 2 – 14a + a – 7 = 2) 4x 2 + 6x – 6x – 9 = 3) -u + 7v + 4u – 7v = 4) 3x 4 – 3x 3 + 3x 2 + 2x 3 - 2x 2 +2x – x 2 + x -1 = 5) 5u 2 + 3uv + u 2 v + 3u 2 – 3uv – 2u 2 –uv 2 = 2a 2 – 13a - 7 4x u 3x 4 – x 3 +3x - 1 6u 2 + u 2 v – uv 2

Sčítání a odčítání mnohočlenů (3m - 1) - (5 - m) =3m m = 4m - 6 Příklady: 2a - 2 x 2 + 3x + 7 5x 3 – 11x – 5 10ax + 18 Který mnohočlen je o 4x + 3y – 2 menší než 4x – y – 2? Který mnohočlen je o a + 2b větší než 5b – 7a? (4a + 3) + (-2a - 5) = (2x 2 + 3x + 1) - (x 2 - 6) = (4x 3 – 2x + 3) + (x 3 – 9x - 8) = (5ax + 9) - (-5ax – 9 ) = (5b – 7a) + (a + 2b) = -6a + 7b (4x – y – 2) – (4x + 3y – 2) = -4y !

x2x2 3x 2x x x x xx Obsah = 3x· 2x Obsah = A) Násobení jednočlenu jednočlenem Násobení mnohočlenů Příklad: 3x· 2x = 6x 2

B) Násobení mnohočlenu jednočlenem 4x8 x x Obsah = (x + 2)· 4 Obsah = 4x + 8 Příklad: 4 · (x + 2) = Každý člen mnohočlenu vynásobíme jednočlenem.

C) Násobení mnohočlenu mnohočlenem x2x2 x3 3x x x3 1 Obsah = (x + 1)· (x + 3) Obsah = x 2 + 3x + x + 3 Obsah = x 2 + 4x + 3 Nyní musíme tedy vynásobit každý člen jednoho mnohočlenu každým členem druhého mnohočlenu. Vidíme že součin dvou mnohočlenů je zase mnohočlen. Příklad: (x + 1) · (x + 3) = x + 3 x+1

Příklady: Namalujte mnohočlen (x + 1)· (x - 3) Vypočtěte: -8y 2 · (-3y 3 ) = 4a· (a – 9) = (a – b)· (a 2 + ab + b 2 ) = 24y 5 4a a a 3 – b 3 x 1 x + 1 x x2x2 -3 x -3x

(x + 2) 2 =x 2 + 2x + 2x =(x + 2)· (x + 2) = = x 2 + 4x + 4 Obsah = x· xx· x 2 · 2 2x x2 2 x Druhá mocnina dvojčlenu

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 Odvození základních vzorců (a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2 a 2 - b 2 = (a - b)· (a + b)

(a + b) 2 = a2a2 b2b2 ab ab b a a 2 + ab + ab + b 2 =(a + b)· (a + b) = a 2 + 2ab + b 2 (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 a + b

(a – b) 2 = (a-b) 2 b2b2 a b a - b a 2 – 2ab + b 2 (a – b)· (a – b) =a 2 – ab – ab + b 2 = (a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2

a 2 - b 2 = (a - b)· (a + b) ! Tak a to je úkol pro Vás b2b2 a b b b a - b

(p + r) 2 +(p – r) 2 = Doplňte následující výraz na druhou mocninu dvojčlnenu: 1 + ? + 25a 2 b 2 = 4a 2 – 36ab 2 + ? = 4a 2 – 36ab b 4 (a + 3)· (a – 3) · (a 2 + 9) = Příklady: 4· (b – 1) 2 + (b + 4) 2 = Upravte: ab +25a 2 b 2 2p 2 + 2r 2 5b a

? S = x 2 + xx x 2 + x = x· ? (x 2 + x) : x = ? (x 2 + x) : x = x + 1 Dělení mnohočlenu jednočlenem Znamená to tedy, že každý člen mnohočlenu podělíme jednočlenem a vzniklé podíly sečteme

Dělte: (6x – 8y) : 2 = (21z 4 – 14z 3 + 7z 2 ) : (-7z 2 ) = (15a - 10) : 5 – (8a +12) : 4 = d(d-3) – (6d 3 – 12d 2 ) : 6d = Příklady: 3x -4y -3z 2 + 2z -1 a -5 -d

5 x y x + 15y = Rozklad mnohočlenů na součin xyyy · (x + 3y)5 Takové hledání společných vlastností nazýváme vytýkání. 5

K rozkladu výrazů na součin nám mohou dobře posloužit vzorečky, které jsme si již dříve odvodily. (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a – b) 2 = a 2 – 2ab + b 2 a 2 – b 2 = (a – b)(a+b) 4x 2 – 12x + 9 = (2x) 2 2· 2· x· (2x – 3) 2 Příklad:

Vytýkejte: 2c + 2cd = 2c· (1 + d) 5x x 2 – 15x = 5x· (x 2 + 2x – 3) Rozložte na součin: 16s 2 + 8s + 1 = (4s + 1) 2 c 2 – 20c = (c – 10) 2 (a + 3) 2 – b 2 = (a b)· (a + 3 – b) Příklady: