MATEMATIKA Největší společný dělitel Nejmenší společný násobek

Název projektu: Nové ICT rozvíjí matematické a odborné kompetence Číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/ Název školy: Střední odborná škola Litovel, Komenského 677 Číslo materiálu: III _Operace_s_realnymi_cisly Autor: Mgr. Jitka Vyhlídalová Tematický okruh: Matematika Ročník: I. Datum tvorby: Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Jitka Vyhlídalová

Při určování největšího společného dělitele a nejmenšího společného násobku budeme vycházet z pojmů společný dělitel a společný násobek. Společný dělitel čísel a, b je číslo, které dělí obě čísla beze zbytku. Společný násobek čísel a, b je číslo, které je oběma čísly dělitelné. Př.: Vyjmenujte všechny společné dělitele čísel 8 a 12, určete příklad společného násobku čísel 8 a 12, kolik existuje společných násobků těchto čísel? Společné dělitele čísel 8 a 12:1, 2, 4 Společné násobky čísel 8 a 12: např. 24, 48, …….. Společných násobků čísel existuje nekonečně mnoho.

Největší společný dělitel čísel a, b je největší ze všech společných dělitelů těchto čísel. Budeme ho označovat D(a, b) Největší společný dělitel dvou nebo více čísel určíme tak, že z prvočíselných rozkladů vybereme prvočísla, která se vyskytují v každém rozkladu alespoň jednou, a to s nejnižší mocninou, ve které se prvočíslo v rozkladech vyskytuje. Tato prvočísla potom mezi sebou vynásobíme. Př.: Určete největší společný dělitel čísel 60 a 72.

Př.: Uveďte příklad: a) dvou čísel, jejichž největší společný dělitel je číslo 4 b) dvou čísel, jejichž největší společný dělitel je liché prvočíslo c) alespoň dvou společných dělitelů čísel 18 a 60 d) dvou čísel, jejichž největší společný dělitel se rovná jednomu z těchto čísel např.: 4 a 8, 4 a 12, 8 a 12, ….. např. : 6 a 9, 5 a 15, 7 a 21, …. 1,2,3,6, např.: 10 a 20, 16 a 32,…..

Př.: Rozhodněte, zda je pravda: a)Největšího společného dělitele má každá dvojice přirozených čísel. b) Pro každou dvojici přirozených čísel existuje jeden největší společný dělitel. c) Největší společný dělitel čísel je menší z nich. d) Prvočíslo je největším společným dělitelem dvou čísel, pokud dělí jedno z nich. NE ANO NE

Př.: Pomocí rozkladu na součin prvočísel určete největšího společného dělitel čísel: a) 924 a 198b) 120 a = 198 = D(924,198) = = 168 = D(120,168)=

Poznatky o společném děliteli můžeme využít při řešení slovních úloh Př.: Nádražím projížděly tři vlaky. V prvním vlaku bylo 462 cestujících, ve druhém 588 cestujících a ve třetím 630 cestujících. Všechny vagony byly plně obsazeny největším možným, avšak stejným počtem cestujících. Kolik cestujících bylo v každém vagonu a kolik vagonů měl který z vlaků? Počet cestujících ve vagonu…………...x, x je D(462,588,630) V každém vagonu bylo 42 cestujících, první vlak měl 11 vagonů, druhý 14 a třetí 15.

Nejmenší společný násobek čísel a, b je nejmenší ze všech společných násobků těchto čísel. Budeme ho označovat n(a, b) Nejmenší společný násobek dvou nebo více čísel určíme tak, že z prvočíselných rozkladů vybereme prvočísla, která se vyskytují alespoň v jednom rozkladu, a to s nejvyšší mocninou, ve které se prvočíslo v rozkladech vyskytuje. Tato prvočísla potom mezi sebou vynásobíme. Př.: Určete nejmenší společný násobek čísel 60 a 72.

Př.: Rozhodněte, zda je pravda: a) Společný násobek dvou lichých čísel je vždy liché číslo. b) Součin dvou čísel je vždy společným násobkem těchto dvou čísel. c) Každá dvojice čísel má právě jeden nejmenší společný násobek. d) Součin dvou čísel je vždy nejmenším společným násobkem těchto dvou čísel. NE ANO NE

Př.: Vyberte přirozené číslo tak, aby platilo tvrzení:

Př.: Pomocí rozkladu na součin prvočísel určete nejmenší společný násobek čísel:

Poznatky o společném násobku opět můžeme využít při řešení úloh z praxe. Př.: V přírodní rezervaci na Islandu je gejzír a sopka. Gejzír vytryskne pravidelně každých 18 dní, ze sopky stoupají oblaka dýmu každých 40 dní. Kolikrát v průběhu 9000 dní nastane situace, kdy můžeme oba tyto přírodní úkazy pozorovat v jeden den? Společná aktivita po x dnech Oba přírodní úkazy můžeme v průběhu dní pozorovat současně 25 krát.

Anotace: Tato prezentace slouží k procvičení a upevnění dovedností určování největšího společného dělitele a nejmenšího společného násobku. Žák využívá poznatky i při řešení úloh z praxe. Použité zdroje: doc. RNDr. Emil Calda, CSc.: Matematika pro dvouleté a tříleté učební obory SOU, 1. díl, 1. vydání 2002, Prometheus, ISBN Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Jitka Vyhlídalová RNDr. Peter Krupka, Ph.D.: Matematika pro střední školy – 1. díl, 1. vydání 2012, DIDAKTIS, ISBN