Možnosti využití stavebnice v matematických disciplínách posloupnosti, kombinatorika, pravděpodobnost a analytická geometrie v prostoru Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Zbyněk Tůma. Dostupné z Metodického portálu ISSN: , financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozuje Národní ústav pro vzdělávání, školské poradenské zařízení a zařízení pro další vzdělávání pedagogických pracovníků (NÚV).

Posloupnosti Ukázka úlohy: Ze stavebnice vymodelujte promítnutý tvar. Rozhodněte, zda postupně od středu tvoří počty zelených, červených, žlutých a modrých dílů stavebnice posloupnost. Pokuste se z promítnuté nabídky určit její vlastnosti a doplnit další čtyři její členy.

Vybírejte vlastnost aritmetická, geometrická rostoucí klesající nerostoucí neklesající konstantní omezená nekonečnákonečná

Správně vybrané vlastnosti neklesající omezená konečná {6, 6, 12, 12}

{6, 6, 12,12, …}

{6, 6, 12, 12, 24, 24, 48, 48,...}

Pravděpodobnost náhodného jevu Př. 1: V osudí je 7 kvalitních a 3 nekvalitní výrobky. Z osudí vylosujeme 1 výrobek. Jaká je pravděpodobnost jevu A: „Výrobek bude kvalitní.“

Př. 1: V osudí je 7 kvalitních a 3 nekvalitní výrobky. Z osudí vylosujeme 1 výrobek. Jaká je pravděpodobnost jevu A: „Výrobek bude kvalitní.“ řešení: P(A) = 7/10 = 0,7 = 70 %

Př. 2: Losujeme z celkového počtu trojici výrobků najednou. Vypočítejte pravděpodobnost níže uvedených náhodných jevů a realizujte náhodný pokus. D0: „Všechny výrobky budou bezvadné.“ D1: „Ve vylosované sérii bude právě jeden výrobek nekvalitní.“ D2: „Ve vylosované sérii budou právě dva výrobky nekvalitní.“ D3 : „Ve vylosované sérii budou právě tři výrobky nekvalitní.“ E1: „Ve vylosované sérii bude minimálně jeden výrobek nekvalitní.“ F1: „Ve vylosované sérii bude maximálně jeden výrobek nekvalitní.“

Př. 3: Opakujme úlohu minulou a losujme z celkového počtu tři výrobky za sebou. K úlohám D0, ……. F1 přidejme ještě úlohy další: G1: „První dva vylosované výrobky budou kvalitní, poslední nekvalitní.“ G2: „První výrobek bude nekvalitní, druhý kvalitní a třetí rovněž kvalitní.“ G3: „První výrobek bude kvalitní, druhý nekvalitní a třetí rovněž kvalitní.“ Vyučující vyzve žáky, aby se pokusili na základě výsledků interpretovat jednotlivé vztahy, výsledky pak budou základem pro definici nezávislých jevů.

Výpočty a výsledky P(D0) = 0,292; P(D1) = 0,525; P(D2) = 0,175; P(G1) = 0,175; P(G2) = 0,175; P(G3) = 0,175 P(G1) + P(G2) + P(G3) = P(D1) = 0,525

Př. 4: V osudí je 6 červených, 3 modré a jeden zelený trojúhelník. Jaká je pravděpodobnost, že v náhodně vylosované trojici trojúhelníků bude maximálně jeden modrý trojúhelník?

m = 4 (počet příznivých jevů) n = 7 (počet možných jevů) ukázky nemožných jevů P(A) = m/n

P(A) = P(A 0 ) + P(A 1 ) = 0, = 0,813 P(A) …….. vylosován maximálně jeden modrý trojúhelník

Analytická geometrie v prostoru Model k úloze č. 1

Úlohy k modelu č.1: 1.V půdorysné rovině ρ určete souřadnice bodů A, B a S (řešení hledejte v obr. č. 1). 2. Zapište souřadnice bodů A, B a S v prostoru E3. 3. V E3 určete souřadnice vrcholu jehlanu V. 4. Zapište parametrickou i obecnou rovnici roviny ABV. 5. Určete průsečnici roviny ABV s půdorysnou i nárysnou rovinou.

1. souřadnice průsečíku přímek p a g Varianta koncepce postupu řešení: 2. výpočet souřadnic bodů A a B 3. výpočet souřadnic bodu S (půdorys vrcholu jehlanu) 4. výpočet vrcholu jehlanu V

1. souřadnice průsečíku přímek p a g Varianta koncepce postupu řešení: 2. výpočet souřadnic bodů A a B 3. výpočet souřadnic bodu S (půdorys vrcholu jehlanu) 4. výpočet vrcholu jehlanu V

1. souřadnice průsečíku přímek p a g Varianta koncepce postupu řešení: 2. výpočet souřadnic bodů A a B 3. výpočet souřadnic bodu S (půdorys vrcholu jehlanu) 4. určení vrcholu jehlanu V [1/2+1/4.√6 ; -1/2-1/4.√6 ; 1] g: y = ‒ x p: y = x ‒ 1 průsečík p a k = (S´;0,5) S´ S´[1/2; –1/2] k: (x – 1/2) 2 + (y + 1/2) 2 = (1/2) 2 p: y = x ‒ 1 A [1/2 + 1/4.√2; -1/2 + 1/4.√2;], B [1/2 – 1/4.√2; - 1/2 – 1/4.√2;] g: y = –x l: B [1/2 – 1/4. √2; –1/2 – 1/4.√2;], r = 1 (x – 1/2 + 1/4.√2).(y – (–1/2 – 1/4. √2)) = 1 X = [1/2 + 1/4.√6 ] Y = [–1/2 – 1/4.√6 ]

Model k úloze č. 2

Úlohy k modelu č. 2: 1.Určete souřadnice bodů A, B, C, D, A´, B´, C´, D´, E, F. 2. Zapište rovnici roviny A´B´ E (rovina červené střechy) a) parametrickou rovnicí b) obecnou rovnicí 3. Určete a zapište průsečnici roviny A´B´ E s půdorysnou rovinou ρ. 4. Určete průsečíky průsečnice s osami souřadnic.

a = 10 m, u = √ = 10.√2 2. Zapište rovnici roviny A´B´ E (rovina červené střechy) a) parametrickou rovnicí b) obecnou rovnicí 1. Určete souřadnice bodů A, B, C, D, A´, B´, C´, D´, E, F u 3. Určete a zapište průsečnici roviny A´B´ E s půdorysnou rovinou ρ. 4. Určete průsečíky průsečnice s osami souřadnic.

2. Zapište rovnici roviny A´B´ E (rovina červené střechy) a) parametrickou rovnicí Rovnice průsečnice ρ: A[1;0; 0], B[0;1;0], C[0;0; 0], u = (1;0; 0), v = (0;1; 0), ρ: z=0 Konstrukce parametrické rovnice roviny A´ B´E: a = 10 m, u = √ = 10.√ 2 1. Určete souřadnice bodů A, B, C, D, A´, B´, C´, D´, E, F A [15√2; 5√2; 0] B [20√2; 10√2; 0], A´ [15√2; 5√2; 10] B´ [20√2; 10√2;10] E [17,5.√2; 2,5.√2; 10+5√3 ] F [22,5.√2; 7,5.√2; 10+5√3 ] parametrická rovnice roviny

b) obecnou rovnicí: Konstrukce: výsledná obecná rovnice roviny normálový vektor roviny vztah mezi směrovými a normálovým vektorem roviny

3. Určete a zapište průsečnici roviny A´B´ E s půdorysnou rovinou ρ. 4. Určete průsečíky průsečnice s osami souřadnic. parametrická rovnice průsečnice průsečíky s osami souřadnic