EMM81 Ekonomicko-matematické metody 8 Prof. RNDr. Jaroslav Ramík, CSc.

EMM82 Modely analýzy obalu dat - DEA Modely analýzy obalu dat (DEA – Data Envelopment Analysis) Specializovaný modelový nástroj pro hodnocení efektivnosti homogenních produkčních jednotek (DMUs) Hodnocení efektivnosti, výkonnosti, produktivity, účinnosti,… Využití v dodavatelsko-odběratelských řetězcích Aplikuje se lineární programování (mnohonásobně)

EMM83 Homogenní produkční jednotky Soubor jednotek, které se zabývají produkcí identických (ekvivalentních) žádoucích (pozitivních) výstupů (výrobků, služeb apod.) z daných vstupů Též rozhodovací jednotky (DMUs – Decision Making Units) Vyšší hodnota výstupů (za jinak nezměněných podmínek) vede k vyšší efektivnosti jednotky (maximalizační povaha) Pokud jsou výstupy minimalizační povahy, užij „-“ Vstupy – spotřeba homogenní produkční jednotky při vytváření výstupů (minimalizační povaha)

EMM84 Příklad 1. Vstup: počet pracovníků firmy (náklady, investice,…) Výstup: tržby (zisk, čas,…) Efektivnost: Příklad 2. Vstup: počet zaměstnanců nemocnice Výstup: počet pacientů za rok počet „lůžkodnů“ za rok

EMM85 Více jednotek, vstupů a výstupů (1) U 1,U 2,…,U n – n jednotek X = {x ij : i =1,2,…,m, j =1,2,…,n} – matice m vstupů n jednotek ( m x n ) Y = {y ij : i =1,2,…,r, j =1,2,…,n} – matice r výstupů n jednotek ( r x n ) Efektivnost E q jednotky q : u i – váha i -tého výstupu v j – váha j -tého vstupu Jak stanovit váhy?

EMM86 Více jednotek, vstupů a výstupů (2) Efektivnost E q jednotky U q : Množina přípustných možností (MPM)- všechny možné přípustné kombinace vstupů a výstupů pro daný problém Efektivní hranice (EH) – hranice (obal ) MPM Efektivní jednotka – kombinace jejích vstupů a výstupů leží na efektivní hranici EH

EMM87 Příklad 3. Obchodní řetězec s 8 jednotkami (1) Vstup: počet pracovníků ( x ) Výstup: tržby ( y ) Pobočka U1U1 U2U2 U3U3 U4U4 U5U5 U6U6 U7U7 U8U8 x y y/ x 1,171,711,221,000,573,000,672,25

EMM88 Příklad 3. Obchodní řetězec s 8 jednotkami (2) Předpoklad konstantních výnosů z rozsahu (CRS - Constant Return to Scale) – je-li kombinace ( x,y ) prvkem MPM, potom (  x,  y ) je také prvkem MPM pro všechna  > 0 ! Důsledek: kónický tvar MPM - kónický obal, viz Obr.1: Aby jednotka byla efektivní (např. U 8 ) musí se: zvýšit výstup na y´ při zachování vstupu x – virtuální jednotka U´´ - model orientovaný na výstupy snížit vstup na x ´ při zachování výstupu y – virtuální jednotka U´ - model orientovaný na vstupy

EMM89 Příklad 3. Konstatntní výnosy z rozsahu: CRS počet prac tržby U 1 U 2 U 4 U 5 U 7 U 3 x´ U´ U“ U 8 y y´ x Množina produkčních možností MPM Efektivní hranice EH 0 U 6 - Efektivní jednotka

EMM810 Příklad 3. Obchodní řetězec s 8 jednotkami (3) Předpoklad variabilních výnosů z rozsahu (VRS - Variable Return to Scale) – efektivní hranice EH tvoří konvexní obal dat ! Důsledek: polyedrický tvar MPM, viz Obr.2: Aby jednotka byla efektivní (např. U 3 ) musí se: zvýšit výstup na y´ při zachování vstupu x – virtuální jednotka U´´ - model orientovaný na výstupy snížit vstup na x ´ při zachování výstupu y – virtuální jednotka U´ - model orientovaný na vstupy

EMM811 Příklad 3. Variabilní výnosy z rozsahu: VRS počet prac tržby U 1 U 2 U 4 U 5 U 7 U 3 x´ U´ U“ U 8 y y´ x Množina produkčních možností - MPM Efektivní hranice EH 0 U 6 - Efektivní jednotky

EMM812 Základní modely analýzy obalu dat 1 CCR modely První DEA model (Charnes, Cooper, Rhodes, 1978) CCR model: maximalizuje míru efektivnosti hodnocené jednotky U q vyjádřené jako podíl r vážených výstupů k m váženým vstupům míra efektivnosti všech ostatních jednotek U i je menší nebo rovna jedné, i = 1,2,…,n, i  q předpokládají se konstantní výnosy z rozsahu (konický obal dat)

EMM813 CCR model – matematické vyjádření Maximalizujte(pro q -tou jednotku) za podmínek u i  , i = 1,2,…,r, v j  , j = 1,2,…,m. Každá ( k -tá) jednotka má m vstupů x jk a r výstupů y ik  - infinitezimální konstanta

EMM814 CCR model – transformace na LP Maximalizujte (pro q -tou jednotku) za podmínek u i  , i = 1,2,…,r, v j  , j = 1,2,…,m. Proměnné modelu jsou u i a v j, i = 1,…,r, j = 1,…,m !

EMM815 CCR model – duální LP model… Minimalizujte (pro q -tou jednotku) za podmínek k  0, k = 1,2,…,n. Proměnné modelu jsou k a  q, k = 1,…,n !

EMM816 CCR model - duální LP model…  q – míra efektivnosti q-té jednotky Též míra potřebné redukce vstupů pro dosažení efektivní hranice X a Y - vstupy a výstupy (lineární kombinace vstupů a výstupů všech jednotek – jsou to vektory!) zvolené jednotky U q Platí: X ≤  q x q a Y  y q, přitom x q a y q jsou vstupy a výstupy U q U q je efektivní právě když X = x q a Y = y q, neboli  q = 1

EMM817 CCR model – duální LP model orientovaný na výstupy - vektorový zápis… Minimalizujte za podmínek. Proměnné modelu jsou k,  q, s i +,s j -, i = 1,…,r, j = 1,…,m, k = 1,…,n Přídatné proměnné  - infinit. konstanta = 10 -8, e T = (1,…,1)

EMM818 CCR model – duální LP model orientovaný na výstupy… Optimální řešení CCR (vstupy): Výpočet cílových hodnot vstupů a výstupů :

EMM819 CCR model – duální LP model orientovaný na vstupy - vektorový zápis… Maximalizujte za podmínek. Proměnné modelu jsou k,  q, s i +,s j -, i = 1,…,r, j = 1,…,m, k = 1,…,n,! Přídatné proměnné  - infinit. konstanta = 10 -8, e T = (1,…,1)

EMM820 CCR model – duální LP model orientovaný na vstupy… Optimální řešení CCR (výstupy): Výpočet cílových hodnot vstupů a výstupů :

EMM821 Základní modely analýzy obalu dat 2 BCC modely Další DEA model (Banker, Charnes, Cooper, 1984) BCC model: předpokládají se variabilní výnosy z rozsahu (konvexní obal dat  větší počet efektivních jednotek) maximalizuje míru efektivnosti hodnocené jednotky U q vyjádřené jako podíl r vážených výstupů k m váženým vstupům + podmínka konvexnosti míra efektivnosti všech ostatních jednotek U i je menší nebo rovna jedné, i = 1,2,…,n, i  q jinak vše stejné jako u CCR modelu

EMM822 BCC model – duální LP model orientovaný na výstupy - vektorový zápis… Minimalizujte za podmínek. Proměnné modelu jsou k,  q, s i +,s j -, i = 1,…,r, j = 1,…,m, k = 1,…,n,! Podmínka konvexnosti  - infinit. konstanta = 10 -8, e T = (1,…,1)

EMM823 BCC model – duální LP model orientovaný na vstupy - vektorový zápis… Maximalizujte za podmínek. Proměnné modelu jsou k,  q, s i +,s j -, i = 1,…,r, j = 1,…,m, k = 1,…,n,!  - infinit. konstanta = 10 -8, e T = (1,…,1) Podmínka konvexnosti

EMM824 Příklad 3. Obchodní řetězec 8 jednotek – efektivnost U 3 LP model CCR v Excelu Minimalizujte za podmínek. pro jednotku U 3 Optimální řešení: z * =  3 * = 0,4074  U 3 není CCR efektivní

EMM825 Příklad 3. Obchodní řetězec s 8 jednotkami – model CCR orientovaný na vstup - program DEA v Excelu (1) Vstupní data:

EMM826 Příklad 3. Obchodní řetězec s 8 jednotkami – model CCR orientovaný na vstup - program DEA v Excelu (2) Výstup programu (Constant Returns to Scale Output):

EMM827 Příklad 3. Obchodní řetězec s 8 jednotkami – model BCC orientovaný na vstup - program DEA v Excelu (3) Výstup programu (Variable Returns to Scale Input):

EMM828 Příklad 3. Obchodní řetězec s 8 jednotkami – model BCC orientovaný na vstup - program DEA v Excelu (4) SW pro řešení DEA modelů - Add-In k Excelu: DEA Frontier Free (pro Excel 2003 a starší verze, v An) DEA Frontier Free 2007 (pro Excel 2007, v An) DEA (pro Excel 2003 a starší verze, též v Cz) Viz adresáře: L:\RAMIK\PUBLIC\EMM\DEA - verze pro Excel 2003 L:\RAMIK\PUBLIC\EMM\DEA_nova - verze pro Excel 2007 elearning.opf.slu.cz - eL kurz pro PEMM elearning.opf.slu.cz