FINANČNÍ MATEMATIKA Jiří Matějíček MENDELU, LDF Brno Kurz CŽV – 2. výukový blok dne

Základy finanční matematiky Základní znalosti nutné k pochopení kalkulace kapitálových vkladů Jsou základem kalkulace kapitálu investičního početnictví výpočtu kapitálové služby stanovení hodnoty renty stanovení hodnoty podnikového výnosu aj.

Finanční gramotnost Finanční gramotnost jako základ individuální zodpovědnosti občanů Současná finanční krize odkryla podstatu růstu řady významných ekonomik – růst na dluh má své meze Finanční krize umocnila význam finanční gramotnosti Nízká úroveň ekonomické a finanční gramotnosti a právního vědomí Rizika dluhových pastí již ve velmi mladém věku

FINANČNÍ MATEMATIKA V PRAXI A) JEDNODUCHÉ ÚROČENÍ jednoduchý úrok bankovní diskont některé krátkodobé cenné papíry (směnka, státní pokladniční poukázka, obchodní cenný papír, depozitní certifikát, bankovní akcept …..) B) SLOŽENÉ ÚROČENÍ složený úrok inflace časová hodnota peněz spojité úrokování finanční toky (současná hodnota cash flow) C) DŮCHODY (RENTY) současná a koncová hodnota důchodu D) UMOŘOVÁNÍ DLUHU A UMOŘOVACÍ FOND (výpočet kapitálové služby - anuita) E) INVESTIČNÍ ROZPOČET, DANĚ A ODPISY (investiční početnictví) f) Obligace a akcie g) Obchody s cennými papíry h) Ohodnocení cenných papírů kopírováním portfolií ch) Pojem rizika ve finanční matematice i) Finanční řady

Úrok Úrok je odměna za zapůjčení kapitálu (vklady, úvěry) cena, kterou je nutné zaplatit za zapůjčení peněz (kapitálu) cena za přenechání kapitálu na určité časové období Výše úroku se udává pomocí úrokové míry

Úroková míra v procentech (%) vyjádřený úrok z kapitálu podíl z jistiny za celý rok Jistina v bankovnictví znamená původní (základní) částku vkladu, úvěru nebo jiné částky peněz, z nichž je placen úrok. *** Čas stojí peníze právě tak jako ostatní vstupy a cena času je obvykle měřena úrokovou mírou.

Jednoduché a složené úročení Jednoduchý úrok: Bere-li se v úvahu jednoroční částka úroků samo o sobě, aniž by se připočítávala k výchozímu kapitálu (jistině). Konečná hodnota kapitálu při jednoduchém úročení se zvyšuje ročně vždy o stejný obnos (o stejnou částku) Výpočet jednoduchého úroku: p u = K o. 0,0p resp. v oceňování 0,0p =  100 Výpočet počátečního kapitálu: u K o =  0,0p

Jednoduché a složené úročení Součet všech jednoduchých úroků po n-letech: Σ u = K o. 0,0p. n n …. doba trvání kapitálového vkladu K n = K o + Σ u K n = K o + K o. 0,0p. n K n = K o. (1 + 0,0p. n)

Jednoduché a složené úročení Složený úrok: Nebudou-li se úroky ročně vybírat, ale budou-li přičteny vždy ke kapitálu a spolu s ním budou zúročeny Částka konečného (budoucího) kapitálu K n K n = K o. 1,0p n 1,0p n úročitel p v oceňování (1 +  ) n = (1 + i) t 100

Jednoduché a složené úročení Velikost všech složených úroků po n-letech: Σ uu = K n - K o = K o.1,0p n - K o = K o.(1,0p n -1)

Složené úročení Prolongování (zúročení): K n = K o. 1,0p n K o. (1 + i) t 1,0p n …. úročitel Diskontování (odúročení): 1 K n K n K o = K n.  nebo  K o.  1,0p n 1,0p n (1 + i) t 1  ….. odúročitel neboli diskontovatel 1,0p -n 1,0p n

současná hodnota kapitálu budoucí (konečná) Kč hodnota kapitálu roky odúročení (diskontování) zúročení (prolongování) složené úrokování K n = K o. q n jednoduché úrokování K n = K o + K o pn

RENTNÍ POČET RENTA = peněžní obnos, který se vyplácí pravidelně, ve stejných časových intervalech a ve stejné výši (starobní důchod, trvale docilovaný čistý výnos lesního podniku, podíl ušlého zisku z důvodu odnětí, kapitálová služba anuitní půjčky atd.) Renty rozdělujeme: podle doby trvání konečné (dočasné) věčné (nekonečné) podle časového intervalu roční periodické podle okamžiku své splatnosti zálohové, předlhůtní (např. k začátku roku) doplatkové, polhůtní (např. ke konci roku)

Hodnota retního kapitálu Současná hodnota renty roční, konečné (dočasné), polhůtní Současná hodnota kapitálu se zjišťuje např. při vyjímání půdy z hospodářské činnosti jako cena odškodnění. Současná hodnota kapitálu (K o ) je dána odúročenou (diskontovanou) budoucí hodnotou retního kapitálu (K n ) 1,0p n - 1 K o = r.  0,0p. 1,0p n

Hodnota retního kapitálu Budoucí (konečná) hodnota renty roční, konečné (dočasné), polhůtní (splatné ke konci roku) 1,0p n – 1 1,0p n - 1 K n = r.  = r.  1,0p – 1 0,0p 1,0p n - 1  ….střadatel 0,0p

Hodnota retního kapitálu Současná (počáteční) hodnota renty roční, konečné (dočasné), polhůtní (splatné ke konci roku) 1,0p n – 1 K o = r.  0,0p. 1,0p n 1,0p n - 1  …….zásobitel 0,0p. 1,0p n

Hodnota retního kapitálu Současná (počáteční) hodnota renty roční, věčné (nekonečné), polhůtní (splatné ke konci roku) r 1 K o =  nebo r.  0,0p 0,0p 1 při 2 % při 4 %  …….kapitalizační faktor ( 1/0,02 = 50, 1/0,04 = 25 …) 0,0p

Hodnota retního kapitálu Současná (počáteční) hodnota renty periodické, věčné (nekonečné), polhůtní (splatné ke konci roku) R K o =  1,0p n - 1

Výpočet anuit (amortizační výpočty) Dočasná roční renta (zde „anuita“) splatná ke konci roku, která se n-krát opakuje: 1,0p n. 0,0p r = a. K o.  1,0p n - 1 1,0p n. 0,0p  …… umořovatel neboli faktor reprodukce 1,0p n - 1 Úhrada úroků a úmoru anuitního kreditu Výpočet anuity: 1,0p n. 0,0p a = K o. kf = K o.  1,0p n - 1

RokÚhrada úrokůÚmor kredituAnuitaZbytek dluhu CELKEM Kč Průběh splácení půjčky a úhrady úroků: 1,0p n. 0,0p 1, ,12 a = Ko. kf = Ko.  =  = ,2774 = ,- 1,0p n - 1 1, Výpočt anuity: PŘÍKLAD