Lineární algebra Ing. Petr Beremlijski, Ph.D. Katedra aplikované matematiky, FEI místnost EA 534

Aplikace I: dopravní problém Úvodní přednáška LA S 1 =100 S 2 =300 S 3 =50 O 1 =100 O 2 =170 O 3 =100 O 4 =80 x 1,1 x 1,2 x 1,3 x 2,2 x 2,3 x 2,4 x 3,1 x 3,4

Aplikace I: dopravní problém Úvodní přednáška LA Soustava lineárních rovnic:

Aplikace I: dopravní problém Úvodní přednáška LA S 1 =100 S 2 =300 S 3 =50 O 1 =100 O 2 =170 O 3 =100 O 4 =

Aplikace I: dopravní problém Řešitelnost soustavy – soustava nemá řešení (zboží nelze rozvést) – soustava má jediné řešení (zboží lze rozvést jediným způsobem) – soustava má nekonečně mnoho řešení (zboží lze rozvést různým způsobem – možno dále specifikovat jakým) Úvodní přednáška LA Maticový zápis soustavy:

Aplikace II: vyhledávací nástroje Knihovny o tisících knih či jiných dokumentů – Manuální indexování pomocí klíčových slov – Boolovské vyhledávání Internet o miliónech webových stránek a dalších dokumentů – Vyhledávání na základě podobnosti k dotazu – Statisíce klíčových slov – Automatické indexování Vyhledávací nástroje jsou založeny na základech lineární algebry! Úvodní přednáška LA

Aplikace II: seznam receptů R1: Čočka po orientálsku – Ingredience: cca 1/4 kg čočky, 2 rajčata, 1 mrkev, 1 větší cibule, kousek celeru (nemusí být), sůl, olej, špetka saturejky, kari podle chuti R2: Fazole s klobásou – Ingredience: 300 g bílých fazolí, 2 bobkové listy, 200 g klobásy, 1 velká cibule, 2 lžíce hladké mouky, 1 lžíce mleté papriky, 4 lžíce kečupu, 1 palička česneku, majoránka R3: Klobásový koláč se špenátem – Ingredience: 250 g polohrubé mouky, 140 g másla, sůl, 1 cibule, 300 g mraženého špenátu, pepř, muškátový oříšek, 2 lžíce strouhanky, 500 g bílé klobásy v celku, 1 lžíce oleje, 100 g strouhaného sýra (např. goudy), 3 vejce, 6 lžic mléka Úvodní přednáška LA

Aplikace II: seznam receptů II R4: Chilli con carne – Ingredience: 500 g mletého hovězího masa, 200 g červených fazolí, 2 lžíce oleje, 1 cibule, 2 zelené papriky, 500 g rajčat, 2 stroužky česneku, 1 lžíce sladké papriky, 1/2 lžička chilli, 1/2 lžičky oregana, 1/4 lžičky pepře, bobkový list, petželka, sůl R5: Argentinská čočka – Ingredience: 350 g čočky, olej, 2-3 velké cibule, 1 klobása, ostrý kečup Hamé, sůl, pepř R6: Čočka s kuřecím masem a mandlemi – Ingredience: 200 g čočky, 500 g kuřecích prsíček, 2 cibule, 100 g plátků mandlí, sůl, kari koření, 2 bobkové listy, olej Recepty převzaty z Úvodní přednáška LA

Aplikace II: klíčová slova Fazole (Fazolí) Čočka (Čočky) Kuřecí (Kuřecího) Hovězí (Hovězího) Klobása (Klobásy) Česnek (Česneku) Je třeba provést indexování K1 se vyskytuje v R2,4 K2 se vyskytuje v R1,5,6 K3 se vyskytuje v R6 K4 se vyskytuje v R4 K5 se vyskytuje v R2,3,5 K6 se vyskytuje v R2,4 Úvodní přednáška LA

Aplikace II: matice klíčových slov a dokumentů Řádky matice reprezentují klíčová slova Sloupce reprezentují dokumenty Prvky matice představují počty výskytů klíčových slov v dokumentech Sloupcové vektory pak představují výskyt klíčových slov v dokumentech Úvodní přednáška LA

Aplikace II: dotazy Vyber „zdravý“ recept, tj. který bude obsahovat fazole, čočku a nebo kuřecí maso – Vektorový zápis: q1=[1,1,1,0,0,0] Vyber „nezdravý“ leč „chutný“ recept, který obsahuje klobásku a česnek – Vektorový zápis: q2=[0,0,0,0,1,1] Výběr receptů tak závisí na „blízkosti“ dotazů q1, q2 k jednotlivým sloupcům matice A – popisují výskyty klíčových slov v jednotlivých dokumentech Úvodní přednáška LA

Aplikace II: test blízkosti Vzdálenost bodu dotazu od bodu definovaného sloupcem matice A Cosinus úhlu mezi vektorem dotazu a sloupcem matice A Úvodní přednáška LA

Aplikace II: výsledek vyhledávání Test blízkosti: cosinus úhlu mezi vektorem dotazu a sloupcem matice A Úvodní přednáška LA Dotaz q 1 Dotaz q 2 Čočka s kuřecím masem a mandlemi Fazole s klobásou

Aplikace III: délka vodiče Úvodní přednáška LA Určete potřebnou délku vodiče zavěšeného na sloupech vysokého napětí, pokud jsou sloupy od sebe vzdáleny 12 metrů. L u G

Aplikace III: délka vodiče Úvodní přednáška LA u0u0 u1u1 u2u2 u3u3 u4u4 u5u5 u6u6 hhhhhh PP G Malé deformace: u 1 - u 0 h h u 2 - u 1 u1u1 u0u0 00 11 u2u2 22 Linearizace úlohy:

P1P1 -P 1 P0P0 Aplikace III: délka vodiče Úvodní přednáška LA P P u0u0 u1u1 00 11 G

Aplikace III: délka vodiče Úvodní přednáška LA Soustava lineárních rovnic: Au=b

Aplikace III: délka vodiče Úvodní přednáška LA [0,u 0 ] [h,u 1 ] Pokud jsou sloupy od sebe vzdáleny 12 metrů, potřebujeme metrů vodiče. Výpočet délky: Norma vektoru: u0u0 u1u1 u2u2 u3u3 u4u4 u5u5 u6u6 hhhhhh

Aplikace IV: složitější úloha Úvodní přednáška LA At=b

Aplikace V: ještě složitější úloha Úvodní přednáška LA

Paralelní řešení

Škálovatelné algoritmy V případě paralelních algoritmů je výpočetní náročnost přímoúměrná počtu neznámých Úvodní přednáška LA-IT

Současné superpočítače Tianhe-2 Intel Xeon E5 Kylin Linux jader PetaFlops National University of Defense TechnologyNational University of Defense Technology, Guangzhou,China GuangzhouChina

IT4Innovations – superpočítač v Ostravě

IT4Innovations – superpočítač v Ostravě Malý klastr – AnselmMalý klastr – Anselm zprovozněn v květnu 2013zprovozněn v květnu Velký klastr – SalomonVelký klastr – Salomon 48. nejvýkonnější superpočítač světa48. nejvýkonnější superpočítač světa zprovozněn v září 2015 zprovozněn v září

Obsah předmětu Operace s vektory a maticemi – vlastnosti těchto operací Řešení soustav lineárních rovnic Teorie vektorových prostorů – řešitelnost soustav lineárních rovnic Lineární zobrazení a transformace – zobecnění soustav lineárních rovnic Multilineární zobrazení, determinanty Úvod do spektrální analýzy Úvodní přednáška LA

Cíle předmětu Seznámení se se základy maticového počtu Zvládnutí principů řešení soustav lineárních rovnic (řešení, teoretické souvislosti) Porozumění pojmu vektorového prostoru (jeho vlastnosti a použití) Seznámení se s pojmy, základními vlastnostmi a užitím lineárních a multilineárních zobrazení a problematikou s nimi související Pochopení základních pojmů spektrálni analýzy Aplikace Úvodní přednáška LA

Organizace výuky Úvodní přednáška LA Přednáška Cvičení

Hodnocení Cvičení (max. 30 bodů) – Písemný test 1 (12 bodů), minimálně 3 body je nutno získat – Písemný test 2 (12 bodů), minimálně 3 body je nutno získat – 1 písemný test je možno opravit – Domácí úkol (6 bodů), minimálně 3 body je nutno získat – Aktivní účast na cvičeních (aktivní účastí se rozumí přítomnost na 80% cvičení, očekává se, že student je na cvičení připraven z přednášky, případně samostudiem, a zapojuje se do jeho průběhu, v případě, že student nenaplní toto očekávání, není mu započítána účast) – Pro udělení zápočtu je nutno získat minimálně 10 bodů a splnit podmínku aktivní účasti. Úvodní přednáška LA

Hodnocení Písemná zkouška (max. 70 bodů) – Ukázka zkouškové písemné prácezkouškové písemné práce Celkem (max. 100 bodů) – nevyhověl (0-50 bodů) – dobře (51-65 bodů) – velmi dobře (66-85 bodů) – výborně ( bodů) Úvodní přednáška LA

Literatura Základní literatura – Z. Dostál, Lineární algebra, VŠB-TU Ostrava 2000 – Z. Dostál, V. Vondrák, D. Lukáš, Lineární algebra, VŠB-TU Ostrava – M. Demlová, B. Pondělíček, Úvod do algebry, ČVUT Praha 1996 – Sylaby přednášek na Doplňková literatura – L.Šindel, Sbírka úloh z algebry, VŠB-TU Ostrava 2006 – B. Budinský, J. Charvát, Matematika I, SNTL Praha 1987 – V. Havel, J. Holenda, Lineární algebra, SNTL/Alfa Praha 1984 – J. Schmidtmayer, Maticový počet a jeho použití v technice, SNTL Praha 1967 – J. Vrbický, D. Šalounová, M. Sedláček, Lineární algebra, VŠB-TU Ostrava 1994 – Sylaby cvičení na Úvodní přednáška LA