Slovní úlohy řešené soustavou rovnic

Slovní úlohy řešené soustavou rovnic
Řešené příklady 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Autor materiálu: Mgr. Martin Holý Další šíření materiálu je možné pouze se souhlasem autora

Slovní úlohy řešené soustavou rovnic
Soustavy rovnic používáme k řešení slovních úloh v případech, kdy máme spočítat 2 údaje a známe 2 vztahy mezi nimi Některé úlohy jdou řešit i jednou rovnicí se složitějším zápisem zpět

Slovní úlohy řešené soustavou rovnic – úloha č.1
Určete čísla, jejichž součet je 23 a rozdíl 9. 1.číslo …x 2.číslo … y 16 7 x + y = 23 x – y = 9 2x = 32 /:2 x = 16 Zk. = 23 16 – 7 = 9 16 + y = 23 /-16 y = 7 Hledaná čísla jsou 16 a 7 celé řešení zpět

Určete čísla, jejichž součet je 23 a rozdíl 9. 1.číslo …x 2.číslo … y 16 7 x + y = 23 x – y = 9 2x = 32 /:2 x = 16 Zk. = 23 16 – 7 = 9 16 + y = 23 /-16 y = 7 Hledaná čísla jsou 16 a 7 zpět

Michal zameškal za celý školní rok 56 hodin. V 1.pololetí o 6 hodin více než ve druhém pololetí. Kolik hodin zameškal Michal ve 2.pololetí? 1.pololetí …x 2.pololetí … y 31 25 x + y = 56 x = y + 6 x + y = 56 x – y = 6 2x = 62 /:2 Zk. = 56 31 = x = 31 31 + y = 56 /-31 y = 25 Ve 2.pololetí zameškal Michal 25 hodin. celé řešení zpět

Michal zameškal za celý školní rok 56 hodin. V 1.pololetí o 6 hodin více než ve druhém pololetí. Kolik hodin zameškal Michal ve 2.pololetí? 1.pololetí …x 2.pololetí … y 17 11 x + y = 56 x = y + 6 x + y = 56 x – y = 6 2x = 62 /:2 Zk. = 56 31 = x = 31 31 + y = 56 /-17 y = 25 Ve 2.pololetí zameškal Michal 25 hodin. zpět

Ve třídě je celkem 23 žáků. Dnes, protože chybí 4 chlapci a 1 dívka, je chlapců a dívek stejně. Kolik je ve třídě chlapců a kolik dívek? chlapci …x dívky … y 13 10 x + y = 23 x – 4 = y – 1 /-y +4 x + y = 23 x – y = 3 Zk. = 23 13 – 4 = 10 – 1 9 = 9 2x = 26 /:2 x = 13 13 + y = 23 /-13 y = 10 Ve třídě je 13 chlapců a 10 dívek. celé řešení zpět

Ve třídě je celkem 23 žáků. Dnes, protože chybí 4 chlapci a 1 dívka, je chlapců a dívek stejně. Kolik je ve třídě chlapců a kolik dívek? chlapci …x dívky … y 13 10 x + y = 23 x – 4 = y – 1 /-y +4 x + y = 23 x – y = 3 Zk. = 23 13 – 4 = 10 – 1 9 = 9 2x = 26 /:2 x = 13 13 + y = 23 /-13 y = 10 Ve třídě je 13 chlapců a 10 dívek. zpět

Určete čísla, jejichž součet je 72 a podíl 5 1.číslo …x 2.číslo … y 60 12 x + y = 72 y ≠0 x + 12 = 72 /-12 x + y = 72 x = 60 x y =5 /.y x + y = 72 Zk. = 72 60 12 =5 x = 5y /-5y x + y = 72 x - 5y = 0 /.(-1) x + y = 72 Jsou to čísla 60 a 12. -x + 5y = 0 6y = 72 /:6 y = 12 celé řešení zpět

Určete čísla, jejichž součet je 72 a podíl 5 1.číslo …x 2.číslo … y 60 12 x + y = 72 y ≠0 x + 12 = 72 /-12 x + y = 72 x = 60 x y =5 /.y x + y = 72 Zk. = 72 60 12 =5 x = 5y /-5y x + y = 72 x - 5y = 0 /.(-1) x + y = 72 Jsou to čísla 60 a 12. -x + 5y = 0 6y = 72 /:6 y = 12 zpět zpět

Určete čísla, pro která platí: dvojnásobek jejich součtu je 34 a třetina jejich rozdílu je 3. 1.číslo …x 2.číslo … y 13 4 x - y = 9 13 - y = 9 /-13 2.(x + y) = 34 -y = -4 /:(-1) /.3 y = 4 2x + 2y = 34 Zk. 2.(13+4) = 2.17 = 34 x - y = 9 /.2 2x + 2y = 34 2x - 2y = 18 4x = 52 /:4 x = 13 Jsou to čísla 13 a 4. celé řešení zpět

Určete čísla, pro která platí: dvojnásobek jejich součtu je 34 a třetina jejich rozdílu je 3. 1.číslo …x 2.číslo … y 13 4 x - y = 9 13 - y = 9 /-13 2.(x + y) = 34 -y = -4 /:(-1) /.3 y = 4 2x + 2y = 34 Zk. 2.(13+4) = 2.17 = 34 x - y = 9 /.2 2x + 2y = 34 2x - 2y = 18 4x = 52 /:4 x = 13 Jsou to čísla 13 a 4. zpět

Petr a Honza váží dohromady 90 kg. Petr říká, když já shodím 4 kg a ty 2 kg přibereš, budeme vážit stejně. Kolik kg chlapci váží? Petr… x Honza … y 48 42 x + y = 90 x – 4 = y + 2 /-y +4 x + y = 90 x – y = 6 Zk. = 90 48 – 4 = 44 = 44 2x = 96 /:2 x = 48 48 + y = 90 /-48 y = 42 Petr váží 48 kg, Honza 42 kg. celé řešení zpět

Petr a Honza váží dohromady 90 kg? Petr říká, když já shodím 4 kg a ty 2 kg přibereš, budeme vážit stejně. Kolik kg chlapci váží? Petr… x Honza … y 48 42 x + y = 90 x – 4 = y + 2 /-y +4 x + y = 90 x – y = 6 Zk. = 90 48 – 4 = 44 = 44 2x = 96 /:2 x = 48 48 + y = 90 /-48 y = 42 Petr váží 48 kg, Honza 42 kg. zpět

Určete čísla, pro která platí, že trojnásobek většího čísla je roven pětinásobku menšího čísla a polovina jejich součtu se rovná jejich rozdílu zvětšenému o 4. větší číslo …x menší číslo … y 10 6 3x = 5y 3x = 30 /:3 3x = 5y x = 10 x+y 2 =x−y+4 /.2 Zk. = 5 . 6 30 = 30 3x = 5y /-5y x + y = 2x – 2y + 8 /-2x +2y =10−6+4 3x - 5y = 0 -x + 3y = 8 /.3 3x - 5y = 0 8 = 8 -3x + 9y = 24 Jsou to čísla 10 a 6. 4y = 24 /:4 celé řešení zpět y = 6

Určete čísla, pro která platí, že trojnásobek většího čísla je roven pětinásobku menšího čísla a polovina jejich součtu se rovná jejich rozdílu zvětšenému o 4 větší číslo …x menší číslo … y 10 6 3x = 5y 3x = 30 /:3 3x = 5y x = 10 x+y 2 =x−y+4 /.2 Zk. = 5 . 6 30 = 30 3x = 5y /-5y x + y = 2x – 2y + 8 /-2x +2y =10−6+4 3x - 5y = 0 -x + 3y = 8 /.3 3x - 5y = 0 8 = 8 -3x + 9y = 24 Jsou to čísla 10 a 6. 4y = 24 /:4 zpět y = 6

Určete čísla, pro která platí, že jejich součet je 30 a rozdíl jejich dvojnásobků je 40. 1.číslo …x 2.číslo … y 25 5 x + y = 30 25 + y = 30 /-25 x + y = 30 /.2 y = 5 2x−2y=40 2x + 2y = 60 Zk. = 30 2.25−2.5=40 2x−2y=40 /-5y 4x = 100 x = 25 Jsou to čísla 25 a 5. celé řešení zpět

Určete čísla, pro která platí, že jejich součet je 30 a rozdíl jejich dvojnásobků je 40. 1.číslo …x 2.číslo … y 25 5 x + y = 30 25 + y = 30 /-25 x + y = 30 /.2 y = 5 2x−2y=40 2x + 2y = 60 Zk. = 30 2.25−2.5=40 2x−2y=40 /-5y 4x = 100 x = 25 Jsou to čísla 25 a 5. zpět

Dvojnásobek menšího čísla je o 10 větší než větší číslo. Třetina většího čísla je o 1 menší než polovina menšího čísla. Určete obě čísla. větší číslo …x menší číslo … y 18 14 -x + 2y = 10 -x = 10 /-28 2y = x + 10 /-x -x = -18 /.(-1) /.6 x = 18 Zk. 2.14 = 28 = 28 -x + 2y = 10 /.2 2x + 6 = 3y /-3y -6 -2x + 4y = 20 2x - 3y = -6 y = 14 7 = 7 Jsou to čísla 18 a 14. celé řešení zpět

Dvojnásobek menšího čísla je o 10 větší než větší číslo. Třetina většího čísla je o 1 menší než polovina menšího čísla. Určete obě čísla větší číslo …x menší číslo … y 18 14 -x + 2y = 10 -x = 10 /-28 2y = x + 10 /-x -x = -18 /.(-1) /.6 x = 18 Zk. 2.14 = 28 = 28 -x + 2y = 10 /.2 2x + 6 = 3y /-3y -6 -2x + 4y = 20 2x - 3y = -6 y = 14 7 = 7 Jsou to čísla 18 a 14. zpět

Určete čísla, pro která platí: Dvojnásobek součtu je 48. Čtvrtina součtu se rovná třetině rozdílu. 1.číslo …x 2.číslo … y 21 3 -x + 7y = 0 -x = 0 /-21 2.(x + y) = 48 -x = -21 /.(-1) /.12 x = 21 Zk. 2.(21 + 3) = 48 2x + 2y = 48 3x + 3y = 4x – 4y /-4x +4y 2x + 2y = 48 -x + 7y = 0 /.2 6 = 6 2x + 2y = 48 -2x + 14y = 0 Jsou to čísla 21 a 3. 16y = 48 /:16 celé řešení zpět y = 3

Určete čísla, pro která platí: Dvojnásobek součtu je 48. Čtvrtina součtu se rovná třetině rozdílu. 1.číslo …x 2.číslo … y 21 3 -x + 7y = 0 -x = 0 /-21 2.(x + y) = 48 -x = -21 /.(-1) /.12 x = 21 Zk. 2.(21 + 3) = 48 2x + 2y = 48 3x + 3y = 4x – 4y /-4x +4y 2x + 2y = 48 -x + 7y = 0 /.2 6 = 6 2x + 2y = 48 -2x + 14y = 0 Jsou to čísla 21 a 3. 16y = 48 /:16 zpět y = 3

Jirka s Petrem byli v cukrárně. Jirka si koupil 6 lízátek a 4 čokoládové bonbóny a platil 36 Kč, Petr si koupil 5 lízátek a 3 čokoládové bonbóny a platil 29 Kč. Kolik Kč stálo lízátko a kolik Kč čokoládový bonbón? lízátko …x bonbón … y 4 3 6x + 4y = 36 /.3 5x + 3y = 29 /.(-4) 18x + 12y = 108 -20x - 12y = -116 Zk. = = 36 = = 29 -2x = -8 /:(-2) x = 4 24 + 4y = 36 /-24 Lízátko stálo 4 Kč, bonbón 3 Kč. 4y = 12 /:4 y = 3 celé řešení zpět

Jirka s Petrem byli v cukrárně. Jirka si koupil 6 lízátek a 4 čokoládové bonbóny a platil 36 Kč, Petr si koupil 5 lízátek a 3 čokoládové bonbóny a platil 29 Kč. Kolik Kč stálo lízátko a kolik Kč čokoládový bonbón? lízátko …x bonbón … y 4 3 6x + 4y = 36 /.3 5x + 3y = 29 /.(-4) 18x + 12y = 108 -20x - 12y = -116 Zk. = = 36 = = 29 -2x = -8 /:(-2) x = 4 24 + 4y = 36 /-24 Lízátko stálo 4 Kč, bonbón 3 Kč. 4y = 12 /:4 y = 3 zpět

Michal s Davidem byli v papírnictví, kde byl výprodej samolepek hokejistů. Michal si koupil 6 malých samolepek, 10 velkých samolepek a platil 102 Kč. David si koupil 8 malých samolepek, 20 velkých samolepek a platil 186 Kč. Kolik Kč stála malá samolepka a kolik velká? malé samolepky …x velké samolepky … y 4,50 7,50 6x + 10y = 102 /.(-2) 8x + 20y = 186 -12x - 20y = -204 Zk. 6.4, ,5 = = 102 8.4, ,5 = = 186 8x + 20y = 186 -4x = -18 /:(-4) x = 4,5 Malá samolepka stála 4,50 Kč, velká 7,50 Kč. y = 102 /-27 10y = 75 /:10 celé řešení zpět y = 7,5

Michal s Davidem byli v papírnictví, kde byl výprodej samolepek hokejistů. Michal si koupil 6 malých samolepek, 10 velkých samolepek a platil 102 Kč. David si koupil 8 malých samolepek, 20 velkých samolepek a platil 186 Kč. Kolik Kč stála malá samolepka a kolik velká? malé samolepky …x velké samolepky … y 4,50 7,50 6x + 10y = 102 /.(-2) 8x + 20y = 186 -12x - 20y = -204 Zk. 6.4, ,5 = = 102 8.4, ,5 = = 186 8x + 20y = 186 -4x = -18 /:(-4) x = 4,5 Malá samolepka stála 4,50 Kč, velká 7,50 Kč. y = 102 /-27 10y = 75 /:10 zpět y = 7,5

Jirka má dohromady 20 kuliček. Michal tvrdí, že má třikrát více červených než Jirka a naopak polovinu modrých. Kolik má Jirka červených kuliček a kolik modrých, jestliže Michal má 25 kuliček? Jirka červené …x modré … y 6 14 x + y = 20 x + y = 20 y = 3x + y 2 = 25 /.2 y = 14 x + y = 20 /.(-1) Zk. = 20 = = 25 6x + y = 50 -x - y = -20 6x + y = 50 Jirka má 6 červených kuliček a 14 modrých 5x = 30 /:5 x = 6 celé řešení zpět

Na parkovišti jsou zaparkována auta a autobusy. Kdyby přijelo ještě 5 aut, bude počet aut čtyřnásobkem počtu autobusů. Když naopak 10 aut odjede, bude jejich počet trojnásobkem počtu autobusů. Kolik je na parkovišti aut a kolik autobusů? auta …x autobusy … y 55 15 x - 4y = -5 x = x + 5 = 4y /-4y -5 x = 55 x - 10 = 3y /-3y +10 Zk. = 4.15 60 = 60 = 3.15 45 = 45 x - 4y = -5 /.(-1) x - 3y = 10 -x + 4y = 5 x - 3y = 10 y = 15 Aut bylo 55, autobusů 15. celé řešení zpět

Na parkovišti jsou zaparkována auta a autobusy. Kdyby přijelo ještě 5 aut, bude počet aut čtyřnásobkem počtu autobusů. Když naopak 10 aut odjede, bude jejich počet trojnásobkem počtu autobusů. Kolik je na parkovišti aut a kolik autobusů? auta …x autobusy … y 55 15 x - 4y = -5 x = x + 5 = 4y /-4y -5 x = 55 x - 10 = 3y /-3y +10 Zk. = 4.15 60 = 60 = 3.15 45 = 45 x - 4y = -5 /.(-1) x - 3y = 10 -x + 4y = 5 x - 3y = 10 y = 15 Aut bylo 55, autobusů 15. zpět

Před třemi roky byl otec třikrát starší než syn. Za devět let bude jen dvakrát starší. Kolik je otci a synovi let? syn … x otec … y 15 39 3x - y = 6 y = 6 /-45 3.(x - 3) = y - 3 - y = -39 /.(-1) y = 39 2.(x + 9) = y + 9 3x - 9 = y - 3 /-y +9 Zk. 3.(15 – 3) = 39 – 3 36 = 36 2.(15 + 9) = 48 = 48 2x + 18 = y + 9 /-y -18 3x - y = 6 2x - y = -9 /.(-1) 3x - y = 6 -2x + y = 9 Otci je 39 let, synovi 15 let. x = 15 celé řešení zpět

Před třemi roky byl otec třikrát starší než syn. Za devět let bude jen dvakrát starší. Kolik je otci a synovi let? syn … x otec … y 15 39 3x - y = 6 y = 6 /-45 3.(x - 3) = y - 3 - y = -39 /.(-1) y = 39 2.(x + 9) = y + 9 3x - 9 = y - 3 /-y +9 Zk. 3.(15 – 3) = 39 – 3 36 = 36 2.(15 + 9) = 48 = 48 2x + 18 = y + 9 /-y -18 3x - y = 6 2x - y = -9 /.(-1) 3x - y = 6 -2x + y = 9 Otci je 39 let, synovi 15 let. x = 15 zpět

Michal je o 9 let starší než jeho bratr Petr. Chlapci zjistili, že za 4 roky bude Petrův věk poloviční než Michalův. Kolik je oběma bratrům let? Michal …x Petr … y 14 5 x = y + 9 x = 5 + 9 x – y = 9 x = 14 x + 4 = 2.(y + 4) x - y = 9 Zk. 14 – 5 = 9 = 2.(5 + 4) 18 = 18 x + 4 = 2y + 8 /-2y -4 x - y = 9 x - 2y = 4 /.(-1) x - y = 9 -x + 2y =-4 Michalovi je 14 let, Petrovi 5 let y = 5 celé řešení zpět

Michal je o 9 let starší než jeho bratr Petr. Chlapci zjistili, že za 4 roky bude Petrův věk poloviční než Michalův. Kolik je oběma bratrům let? Michal …x Petr … y 14 5 x = y + 9 x = 5 + 9 x – y = 9 x = 14 x + 4 = 2.(y + 4) x - y = 9 Zk. 14 – 5 = 9 = 2.(5 + 4) 18 = 18 x + 4 = 2y + 8 /-2y -4 x - y = 9 x - 2y = 4 /.(-1) x - y = 9 -x + 2y =-4 Michalovi je 14 let, Petrovi 5 let y = 5 zpět

Jana s Petrou byli v cukrárně na zmrzlině. Jana si koupila 2 kopečky vanilkové a 3 kopečky čokoládové a platila 41 Kč. Petra naopak 3 kopečky vanilkové a 2 kopečky čokoládové a platila 39 Kč. Kolik Kč stál kopeček vanilkové a kolik kopeček čokoládové? vanilková … x Kč/kop čokoládová … y Kč/kop 7 9 2x + 3y = 41 /.3 3x + 2y = 39 /.(-2) 6x + 9y = 123 Zk. = = 41 = = 39 -6x - 4y = -78 5y = 45 /:5 y = 9 Vanilková stála 7 Kč, čokoládová 9 Kč. 2x = 41 /-27 2x = 14 /:2 celé řešení zpět x = 7

Jana s Petrou byli v cukrárně na zmrzlině. Jana si koupila 2 kopečky vanilkové a 3 kopečky čokoládové a platila 41 Kč. Petra naopak 3 kopečky vanilkové a 2 kopečky čokoládové a platila 39 Kč. Kolik Kč stál kopeček vanilkové a kolik kopeček čokoládové? vanilková … x Kč/kop čokoládová … y Kč/kop 7 9 2x + 3y = 41 /.3 3x + 2y = 39 /.(-2) 6x + 9y = 123 Zk. = = 41 = = 39 -6x - 4y = -78 5y = 45 /:5 y = 9 Vanilková stála 7 Kč, čokoládová 9 Kč. 2x = 41 /-27 2x = 14 /:2 zpět x = 7

Petr říká klukům na fotbalovém tréninku: „ když dám letos ještě jeden gól, budu mít polovinu střelených gólů než loni“. Kolik gólů zatím Petr letos vstřelil, když dohromady s loňským rokem jich má 35? letos …x gólů loni … y gólů 11 24 11 + y = 35 /-11 y = 24 2.(x + 1) = y x + y = 35 Zk. 2.(11 + 1) = 24 2x + 2 = y /-y -2 x + y = 35 = 35 2x - y = -2 x + y = 35 3x = 33 /:3 Petr zatím letos vstřelil 11 gólů. x = 11 celé řešení zpět

Petr říká klukům na fotbalovém tréninku: „ když dám letos ještě jeden gól, budu mít polovinu střelených gólů než loni“. Kolik gólů zatím Petr letos vstřelil, když dohromady s loňským rokem jich má 35? letos …x gólů loni … y gólů 11 24 11 + y = 35 /-11 y = 24 2.(x + 1) = y x + y = 35 Zk. 2.(11 + 1) = 24 2x + 2 = y /-y -2 x + y = 35 = 35 2x - y = -2 x + y = 35 3x = 33 /:3 Petr zatím letos vstřelil 11 gólů. x = 11 zpět

Pokud zvětšíme délku zahrady o 8 m a zároveň její šířku zmenšíme o 5 m, výměra zahrady se nezmění. Pokud však délku zmenšíme o 4 m a šířku zvětšíme o 6 m, zvětší se výměra o 96 m2. Jaké jsou rozměry zahrady? délka …x m šířka … y m 40 30 -5x + 8y = 40 y = 40 /+200 (x + 8).(y – 5) = xy 8y = 240 / :8 (x - 4).(y + 6) = xy + 96 y = 30 xy -5x + 8y - 40 = xy / +40 xy + 6x - 4y -24 = xy + 96 / +24 Zk. (40 + 8).(30 – 5) = 40.30 1200 = 1200 -5x +8y = 40 6x - 4y = 120 / .2 (40 - 4).(30 + 6) = 1296 = 1296 -5x + 8y = 40 12x - 8y = 240 Zahrada má rozměry 40 x 30 m. 7x = 280 /:7 celé řešení zpět x = 40

Pokud zvětšíme délku zahrady o 8 m a zároveň její šířku zmenšíme o 5 m, výměra zahrady se nezmění. Pokud však délku zmenšíme o 4 m a šířku zvětšíme o 6 m, zvětší se výměra o 96 m2. Jaké jsou rozměry zahrady? délka …x gólů šířka … y gólů 40 30 -5x + 8y = 40 y = 40 /+200 (x + 8).(y – 5) = xy 8y = 240 / :8 (x - 4).(y + 6) = xy + 96 y = 30 xy -5x + 8y - 40 = xy / +40 xy + 6x - 4y -24 = xy + 96 / +24 Zk. (40 + 8).(30 – 5) = 40.30 1200 = 1200 -5x +8y = 40 6x - 4y = 120 / .2 (40 - 4).(30 + 6) = 1296 = 1296 -5x + 8y = 40 12x - 8y = 240 Zahrada má rozměry 40 x 30 m. 7x = 280 /:7 zpět x = 40

Do tanečního kroužku chodí celkem 39 dětí. Dnes chyběla jedna dívka a dva chlapci a při nácviku společné skladby vycházely na každého chlapce dvě dívky. Kolik chodí do kroužku chlapců a kolik dívek? chlapci …x dívky … y 14 25 x + y = 39 2.(x – 2) = y - 1 Zk. = 39 2.(14 – 2) = 25 – 1 24 = 24 x + y = 39 2x - 4 = y - 1 /-y +4 x + y = 39 2x - y = 3 3x = 42 /:3 x = 14 Do kroužku chodí 14 chlapců a 25 dívek. 14 + y = 39 /-14 y = 25 celé řešení zpět

Do tanečního kroužku chodí celkem 39 dětí. Dnes chyběla jedna dívka a dva chlapci a při nácviku společné skladby vycházely na každého chlapce dvě dívky. Kolik chodí do kroužku chlapců a kolik dívek? chlapci …x dívky … y 14 25 x + y = 39 2.(x – 2) = y - 1 Zk. = 39 2.(14 – 2) = 35 – 1 24 = 24 x + y = 39 2x - 4 = y - 1 /-y +4 x + y = 39 2x - y = 3 3x = 42 /:3 x = 14 Do kroužku chodí 14 chlapců a 25 dívek. 14 + y = 39 /-14 y = 25 zpět

Slovní úlohy řešené soustavou rovnic

Podobné prezentace

Prezentace na téma: "Slovní úlohy řešené soustavou rovnic"— Transkript prezentace:

Podobné prezentace

O projektu

Kontaktní formulář

Přihlásit se

Přihlásit se přes sociální síť:

Slovní úlohy řešené soustavou rovnic

Podobné prezentace

Prezentace na téma: "Slovní úlohy řešené soustavou rovnic"— Transkript prezentace:

Podobné prezentace

O projektu

Kontaktní formulář