NUMERICKÁ ANALÝZA PROCESů

Prezentace na téma: "NUMERICKÁ ANALÝZA PROCESů"— Transkript prezentace:

1 NUMERICKÁ ANALÝZA PROCESů
NAP12 NUMERICKÁ ANALÝZA PROCESů DEM (Discrete Element Method) nebo též metoda diskrétních částic SPH (Smooth Particle Hydrodynamics) Rudolf Žitný, Ústav procesní a zpracovatelské techniky ČVUT FS 2010

2 DEM NAP12 V předchozí kapitole NAP11 byla uvedena Lagrangeova metoda modelování heterogenních systémů, popisující plynnou nebo kapalnou fázi diferenciálními rovnicemi kontinua, zatímco částice nebo kapičky výpočtem jejich trajektorií (Lagrangeovsky). Podstatným předpokladem bylo zanedbání vzájemných interakcí (konkrétních srážek, konkrétních částic), což znamená omezení na systémy s relativně malou koncentrace partikulární fáze (např. fluidní lože s vysokou hustotou částic se muselo modelovat na základě představy, že obě fáze jsou kontinuem, tj. metodou směsi nebo metodou Euler-Euler). Metoda DEM/DPM (Discrete Element/Particle Method často v kombinaci DEM+CFD) je zdánlivě totožná s výše uvedenou Lagrangeovskou metodou, ale s tím zásadním rozdílem, že vzájemné interakce částic uvažuje. DEM je východiskem pro řešení dříve neřešitelných problémů v nichž klíčovou roli hraje kontakt, deformace a vzájemné silové působení částic a to až do úrovně mikrostruktury (příkladem jsem problémy s porušením, migrací a segregací částic v mísičích, mlýnech, výsypkách, separátorech apod.). První aplikace DEM se datují již od počátku sedmdesátých let minulého století a jsou spojeny s mechanikou hornin (1971 Peter Cundall dokončil svůj doktorát na Imperial College London prací: The Distinct Element Method for modeling jointed rock and granular material). První publikovanou a často citovanou prací popisující DEM je až článek Cundall, P.A., Strack, O.D.L., A discrete numerical model for granular assemblies. Geotechnique 29 (1), 47–65.

3 DEM – historie ČVUT NAP12 Vývojem metod typu DEM se koncem sedmdesátých a počátkem osmdesátých let zabývala i katedra chemických a potravinářských strojů a výpočetní středisko strojní fakulty vybavené počítačem Tesla a programovatelným kalkulátorem HP-85 s výkonem cca 200 operací v pohyblivé řádové čárce za sekundu. V té době neexistovaly žádné databáze, Xeroxy, netušil jsem, že existuje P.Cundall v Imperial College (upřímně řečeno, netušil jsem, že vůbec nějaká Imperial College existuje). Jediné, co bylo k dispozici, byly články Harlow a Welch (týmu z laboratoří v Los Alamos), kteří vyvinuli metody MAC (Marker And Cell) a PIC (Particle In Cell), jenomže tyto metody stále spočívaly na principech a rovnicích kontinua. Hnacím motivem zájmu o jinou koncepci byly úvahy typu: Povaha přírody je diskrétní (molekuly). Pro popis této reality byla navržena mechanika kontinua operující s diferenciálními rovnicemi. Tyto rovnice jsou přirozeně řešitelné analogovými počítači, jenomže jejich éra v šedesátých letech již doznívala a byly nahrazovány univerzálnějšími digitálními počítači. Pro ně ovšem musely být použity numerické metody, které analogové diferenciální rovnice diskretizují a teprve s těmito diskrétními veličinami umí digitální počítače pracovat. Tak proč mechaniku kontinua nepřeskočit, proč nevyužít paralelního zpracování na víceprocesorových počítačích (každá částice má svůj procesor) a paralelně simulovat jejich interakce přímo. Klíčovým problémem se ukázala volba silových interakcí. Interakce Lennard-Jonesova typu byly testovány s nevalným výsledkem, i když dnes se Lennard Jonesův potenciál používá při řešení problémů molekulární dynamiky docela úspěšně, např. Aoki, Akiyama, Phys.Review Lepší výsledky simulací byly získány pro empirické silové interakce typu kde F jsou síly působící mezi dvojicí částic jejichž vzdálenost je  (l je jak patrno rovnovážná vzdálenost odpovídající nulové statické síle). Koeficienty Ed (efektivní modul pružnosti) a d (viskozita) byly stanoveny na základě rovnovážné konfigurace nekonečného počtu částic, makroskopické stavové rovnice a viskozity odpovídající smykovému toku. Integrace pohybových rovnic byla implementována v programu PARMOSI (PARticle MOtion SImulation) na kalkulátoru HP85 a použita pro modelování dynamiky viskoelastického nosníku a proudění kapaliny v dutině. Cílem bylo prokázat, že lze sjednotit řešení problémů mechaniky tekutin i tuhých látek, ale kalkulátor HP umožnil simulovat současně jen max. 5 až 9 částic, Stejně to nedopadlo moc dobře, závěrečná zpráva R.Žitný: Numerické algoritmy pro modelování transportních dějů, ČVUT FS Praha 1983, byla při jednání Akademie Věd kritizována a v projektu DEM se už dále nepokračovalo. Konec konců byla to jen má mladická nerozvážnost, a vlastně jen díky tomu, že výsledky tištěné na termálním papíře rychle blednou, už ani nepůjde dohledat spousta chyb, nesmyslů a kontroverzí, které v celém projektu byly.

4 DEM NAP12 Bierstadt D.O. Potyondy, P.A. Cundall / International Journal of Rock Mechanics & Mining Sciences 41 (2004) 1329–1364

5 DEM NAP12 Klíčový předpoklad DEM je to, že časový krok simulací lze zvolit tak malý, aby se silové interakce uplatnily jen u bezprostředně sousedících částic i a j. Pro každou částici je třeba řešit trojici pohybových rovnic translačního pohybu Ri a trojici rovnic popisujících rotace částice Poznámka: Většinou se uvažují kulové částice, nebo aglomeráty koulí (a i pak se pro výpočet kontaktních sil uvažují vztahy pro kontakt koulí)

6 DEM NAP12 Dynamika normálového rázu dvou koulí R2 R1 Fn m1 m2
=R1+R2+x1-x2 m1 m2 Fn x1 x2 Počáteční podmínky pro čas t=0 Výsledkem řešení předchozích rovnic pro konkrétní model silové interakce jsou časové průběhy (t), charakteristický čas tn (doba kontaktu) a koeficient restituce en t  tn závislost stlačení (překryvu) v průběhu kontaktu d/dt t tn poměr rychlostí po a na začátku kontaktu v0 vn Kruggel-EmdenH.et al.: Review and extension of normal force models for DEM. Powder Technology 171 (2007), pp

7 DEM kontaktní síly NAP12 Pro stanovení kontaktních sil se používají modely lineární a nelineární viskoelasticity, viskoplasticity a modely potenciálové. Nejjednodušší jsou modely lineární viskoelasticity, paralelní kombinace lineární pružiny a tlumiče  Diferenciální rovnice druhého řádu s konstantními koeficienty má řešení exponenciálního typu =exp(t) , kde  musí splňovat charakteristickou rovnici Cundall Strack (1979) Výsledné řešení (splňující počáteční podmínku (0)=0) Z tohoto řešení plyne čas kontaktu a restituční koeficient (jak patrno, tyto parametry závisí jen na materiálu a ne na rychlosti kolize).

8 DEM kontaktní síly NAP12 Problém elastického rázu koulí řešil Hertz H.: Über die Berührung fester elastischer Körper, J. für die Reine und Angewandte Mathematik 92 již v roce Závislost síly na posunutí není dle Hertzovy teorie lineární, ale progresivně rostoucí (s exponentem 3/2) a tuhost pomyslné pružiny roste s odmocninou poloměru koule. Hertzův model je základem nelineárních modelů viskoelasticity V DEM aplikacích se používá několik variant nelineárních viskoelastických modelů lišících se exponentem m v dissipativním členu (m=0 Lee Herrmann, exponent m=0.5 navrhují Kuwabara a Kono, a m=0.25 používá model, který odvodil Tsuj). Modely plasticity (hysterezní, s jinou charakteristikou při zatěžování a odlehčování) Lineární model tohoto typu publikovali Walton a Brown (1986)  0 označuje konečnou plastickou deformaci (viz též poloha zoubku na „řechtačce“) Nelineární variantu uvažující Hertzovskou závislost F~3/2 a několik fází rozvoje plastických deformací předložil Thornton (1997).

9 DEM nekontaktní síly NAP12
Modely silových interakcí založené na Lennard Jonesově potenciálu mezimolekulrátních sil (d-průměr částice) je vzdálenost středů částic Tyto interakce se původně používaly jen pro simulace v molekulární dynamice, ale existují i aplikace u vibračních granulačních vrstev (Aoki 1995, Akiyama 1996). Spíše než jako modely kontaktních interakcí se používají pro modelování Van der Waalsovských „dálkových“ sil, jenže s jinými exponenty. Lennard Jonesův potenciál, odvozený pouze pro izolovanou dvojici molekul, totiž klesá s rostoucí vzdáleností příliš rychle (s šestou mocninou). Úspěšnější je Hamakerův model (již z roku 1937), který předpokládá aditivitu interakcí jednotlivých párů nekonečného počtu molekul a výsledkem je stejný typ závislosti Van der Waalsovských (dipolových) a Coulombovských (elektrostatických) sil tyto síly klesají s kvadrátem vzdálenosti.

10 DEM NAP12 Předchozí stránky se týkaly jen normálových sil. Podobné vztahy existují pro smykové, tečné interakce. Přehled používaných vztahů lze nalézt např. v přehledovém článku Zhu et al: „Discrete particle simulation of particulate systems“ Theoretical developments. Chem.Eng.Sci. 62 (2007),pp , z něhož jsou převzaty následující tabulky kontaktních a kohezních sil

11 DEM NAP12 Z téhož článku (Zhu et al.) je převzat i přehled modelů používaných pro interakce s tekutinou, která částice obtéká

12 DEM - CFD NAP12 U vícefázových systémů částice – kapalina, kde dominuje vliv hydrodynamických sil, se někdy používá detailní popis proudění mezi diskrétními částicemi (přímá numerická simulace Navier Stokesových rovnic DNS-DEM). Méně výpočtově náročné jsou metody kombinující popis proudění tekutiny jako kontinua standardními metodami CFD (přítomnost částic se projeví jen existencí zdrojovým členů výměnných sil v rovnicích bilance hybnosti) a částice se popisují metodami DEM, tedy včetně uvažování vzájemných kolizí. Rovnice CFD jsou de-facto rovnice Euler-Euler popsané v NAP11, ale zjednodušené na dvě nestlačitelné fáze (tuhá a tekutina, jejíž podíl je charakterizován porozitou )

13 DEM software NAP12 Turner

14 DEM software NAP12 YADE – dokumentace, download (a řada příkladů)
Jako příklad volně dostupného software uvedu program YADE, vyvíjený od devadesátých let na univerzitě Joseph Fourier v Grenoblu profesorem Fredericem Donze (popis YADE je např. disertace 2007 J.Kozicki). V řešitelském týmu vývoje YADE jsou i studenti ČVUT, Václav Šmilauer (teze disertace ČVUT, dnes působí na Univerzität Innsbruck) a Jan Stránský doktorand na katedře mechaniky stavební fakulty ČVUT, článek Macroscopic elastic properties of particle models). YADE – dokumentace, download (a řada příkladů) DEM program YADE umožňuje propojení na CFD kódy, např. OPENFOAM (některé aplikace, např. 2D proudění v zemině, DEM-CFD model kolony chromatografu, jsou popsané v disertaci Chen University of Tennessee) Komerčně dostupný software EDEM , CFDEM

15 DEM příklady aplikací NAP12
ReviewTutDiscreteElementModling CSIRO Australia 2006 Turner

16 DEM aerocyklon NAP12 K.W. Chu, B.Wang, D.L.Xu, Y.X.Chen, A.B.Yu: CFD–DEM simulation of the gas–solid flow in a cyclone separator. Chemical Engineering Science 66 (2011) 834–847 V tomto článku se používá pro simulaci pohybu částic v aerocyklonu nelineární model viskoelastického kontaktu (Hertzovské síly). Dvoufázové proudění vzduchu je popisováno modelem turbulence RSM (Reynolds Stress Modelling). Technicky je celé řešení založeno na programu Fluent, do kterého je kód DEM integrován jako UDF (User Defined Function). Simulace jsou prováděny pro maximální objemové koncentrace tuhé fáze 1% (zdánlivě málo), ale přesto je vliv interakcí částice-částice a částice-stěna daleko významnější než částice-vzduch (vypočtené síly umožňují stanovit abrazi, a rozrušování částic). Simulace byly omezeny na velké kulové monodispersní částice (2mm) – menší částice dramaticky zvyšují dobu výpočtu. Současně s numerickým modelem byl proveden laboratorní experiment (stejný průměr cyklonu 0.2m, stejné částice a průtoky), který potvrdil predikované tlakové ztráty (klesání gradientu tlaku s rostoucím podílem tuhé fáze!), a prostorové rozložení koncentrace částic.

17 DEM prosévání NAP12 J. Li et al. / Powder Technology 133 (2003) 190–202 Prosévání částic (s různými průměry 2,3,5,8 mm) na skloněném vibrujícím sítu. Je použita DEM s lineárními viskoelastickými interakcemi částic. Optimální časový krok pro polyetylénové částice je 10-7 s. Podobně vypadá článek K.J. Dong et al. / Minerals Engineering 22 (2009) 910–920 o banánových sítech. Není to o prosévání banánů, ale o nových banánově prohnutých vibračních sítech a o jejich modelování metodami DEM.

18 DEM přenos tepla NAP12 K.F. Malone, B.H. Xu: Particle-scale simulation of heat transfer in liquid-fluidised beds. Powder Technology 184 (2008) 189–204 V článku je pro popis přenosu tepla ve fluidním loži (kapalina-tuhá fáze) použita metoda CCDM (myslím si, že je to totéž jako DEM-CFD) a víceméně standardní modely interakcí částic i CFD (dvousložkový model doplněný o rovnici bilance energie). Specifické je to, jakým způsobem se modeluje přenos tepla kondukcí při kontaktu částic  a Tento vztah vůbec není triviální a vyplývá z analytického řešení stacionárního teplotní pole v okolí kontaktu dvou rozlehlých hladkých těles, když poloměr kontaktu je a. Výsledek je neuvěřitelně jednoduchý a odvodil ho již v roce 1967 M.Yovanovich.

19 DEM tryskající lože NAP12
Trojice článků stejných autorů, ze stejného roku, obsahově skoro stejná… Nečekejte nic nového, současný způsob hodnocení vědy vede k opakovaným publikacím totožných postupů… Bing Ren, Yingjuan Shao, Wenqi Zhong, Baosheng Jin, Zhulin Yuan, Yong Lu. Investigation of mixing behaviors in a spouted bed with different density particles using discrete element method. Powder Technology 222 (2012) 85–94 Bing Ren, Wenqi Zhong, Baosheng Jin, Yingjuan Shao, Zhulin Yuan: Numerical simulation on mixing behavior of corn-shaped particles in a spouted bed. Powder Technology (2012) Bing Ren,Wenqi Zhong, Yu Chen,Xi Chen,Baosheng Jin,Zhulin Yuan,Yong Lu.: CFD-DEM simulation of spouting of corn-shaped particles. Particuology xxx (2012) xxx–xxx Heslovitě: Nekulové částice jako agregáty koulí, Hertzovský kontakt, vztlakové síly (Magnus a Saffman), vlastní CFD solver (metoda SMAC Simplified Marker and Cell, Harlow 1970)

20 DEM mixers blenders NAP12
M. Lemieux et al. Large-scale numerical investigation of solids mixing in a V-blender using the discrete element method. Powder Technology 181 (2008) 205–216 V-blender simulovaný víceméně klasickou metodou DEM. Hertzovský kontakt, nelineární vazké tlumeni s exponentem m=0.25. Stejně tak tangenciální síly modelované nelineární teorií Mindlin Deresiewicz (dnes již téměř standard). Nebylo vůbec nutné uvažovat plynnou fázi. Atypický je ale velký počet částic, a dlouhý čas simulace 120s (při časovém kroku menším než 10s to znamená víc než 10 milionů časových kroků). Tak vysoké nároky byly řešeny periodicky aktualizovaným seznamem možných kolizních sousedů a dynamickým přiřazováním výpočtových subdomén jednotlivým procesorů clusteru dle zatížení (64 procesorů AMD). Simulační krok byl omezen dobou trvání kolize dvojice částic, počítané dle R-efektivní poloměr, E-Youngův modul pružnosti a  hustota částice. viz C. O'Sullivan, J.D. Bray, Selecting a suitable time step for discrete element simulations that use the central difference time integration scheme,Engineering Computations 21 (2004) 278–303.

21 DEM mixers blenders NAP12
H. Mio et al.: Effect of paddle rotational speed on particle mixing behavior in electrophotographic systém by using parallel discrete element method. Advanced Powder Technology 20 (2009) 406–415 DEM aplikovaná na model mísení částic toneru ve vyvíjecím tanku - v lopatkovém mísiči s šikmými lopatkami ve tvaru elips. Článek není ničím zvláštním z hlediska použité technologie DEM (lineární normálové i smykové viskoelastické síly v kontaktu, použití metody MPI = Message Passing Interface pro paralelizaci výpočtu). Je zde ale porovnání s experimentem technikou PIV (Particle Image Velocimetry) VIDEO DEM (>106 částic)

22 SPH NAP12 SPH=Smooth Particle Hydromechanics
je metoda, která také počítá trajektorie částic numerickou integrací pohybových rovnic typu midui/dt= síly od okolních částic , ale částice jsou víceméně fiktivní (imitují tekutinu) a i síly jsou počítané trochu umělým způsobem navrženým tak, aby byly splněny třeba Navierovy Stokesovy rovnice. Monaghan J.J.: Simulating free surface flows with SPH. J.Comp.Phys. 110, p (1994) Whistler

23 SPH NAP12 SPH metoda byla původně navržena a aplikována pro modelování astrofyzikálních jevů, jako jsou exploze hvězd. Lucy L.B.: A numerical approach to the testing of the fission hypothesis, The Astronomical Journal, 82, , (1997), je první článek, kde se principy SPH objevují - pojmenování SPH se ovšem v tomto článku ještě neobjevilo. Rozpad hvězdy (hvězda je charakterizována souborem konečného počtu diskrétních plynných částic) je popisován diferenciálními rovnicemi expanze plynu s uvažování vlastních gravitačních sil (rovnice hybnosti a stavové rovnice), plus rovnicí pro entropii. Základem numerického řešení je aproximace prostorového rozložení hustot, tlaku, teploty a rychlosti, konvolučními integrály, které vyhlazují „signály“ vysílané diskrétními částicemi Osově symetrická protohvězda v bezrozměrném čase =22 Rozpad na dvě části v bezrozměrném čase =52 Lucy konstruuje zvonovité váhové funkce w (jádra konvolučního integrálu) jako polynomy čtvrtého stupně ( je charakteristický poloměr dosahu působení částice)

24 SPH NAP12 SPH metoda byla později aplikována i na úlohy s dynamikou plynů, radiaci, nukleární reakce a proudění s volnou hladinou. Například v článku Monaghan J.J.: Simulating free surface flows with SPH. J.Comp.Phys. 110, p (1994) je analyzována dynamika kapky tvořené souborem 1884 diskrétních částic. Kapka měnila svůj tvar ze sférického do eliptického tvaru a při simulacích si zachovávala soudržnost a nerozpadala se. Dalším problémem, který byl v článku řešen je protržení přehrady (vytvoření vlny s volnou hladinou po odstranění přehradní hráze). Pro oba případy je pohyb diskrétních částic kapaliny modelován řešením pohybových rovnic Monaghan používá jako interpolační funkci jádra konvolučního integrálu Gaussovskou funkci Lucy Monaghan Historicky vzato je SPH matkou nesíťových metod, které budou blíže popisovány v příští přednášce.