REÁLNÁ ČÍSLA (mocniny a odmocniny) mocniny a odmocniny.

Prezentace na téma: "REÁLNÁ ČÍSLA (mocniny a odmocniny) mocniny a odmocniny."— Transkript prezentace:

1 REÁLNÁ ČÍSLA (mocniny a odmocniny) mocniny a odmocniny

2 Pojem mocniny Zapiš úsporně: 5 + 5 + 5 1,3 + 1,3 + 1,3 + 1,3 + 1,3
(–2) + (–2) + (–2) + (–2) MOCNINA = 35 Mocnina je součin stejných činitelů. mocnitel základ mocniny (mocněnec) mocnina

3 Pojem mocniny  zápis mocniny Zapiš jako součin: 44, 53, (–1)5
Zapiš jako mocninu: , (–4).(–4) Zapiš rozklad čísel 28, 300, 960 na prvočinitele pomocí mocnin.

4 Druhá mocnina 8.8 = 82 Druhá mocnina je součin dvou stejných činitelů.
S = a.a = a2  výpočet druhé mocniny Vypočti druhou mocninu: 7002, , 0,0012, 0,000 42 Vypočti druhou mocninu:( )2, (–4)2, (–0,7)2, (– )2

5 Druhá mocnina  vlastnosti druhé mocniny druhá mocnina součinu
druhá mocnina podílu vztah čísla a jeho druhé mocniny nezápornost

6 Druhá mocnina  úlohy Odhadni, zda platí: 5 978,32 = 34 778 147,23
Odhadni výsledek: 782 4,162 0,1232 Urči obsah útvaru: , ,5 Pythagorova věta Povrch krychle  y

7 Druhá odmocnina - pojem
Urči délku strany čtverce s obsahem: 36 cm2, 0,49 dm2, 100 m2, 10 mm S = a.a ODMOCNINA a = ? Druhá odmocnina z nezáporného čísla a je nezáporné číslo b, pro které platí b2 = a, píšeme . Poznámka: Rozmysli, jak zdůvodnit, proč druhá odmocnina z 36 není –6, i když (–6).(–6) = 36. odmocnítko základ odmocniny odmocnina kontextuální definice Odmocni dvěma.

8 Druhá odmocnina  výpočet druhé odmocniny Vypočti: Odhadni:
Pro které x platí: kontextuální definice Odmocni dvěma.

9 Druhá odmocnina  vlastnosti druhé odmocniny co lze odmocnit
výsledek odmocňování odmocnina ze součinu odmocnina z podílu číslo a jeho druhá odmocnina porovnání dvou čísel (uspořádej podle velikosti: 23,7, 2,73) výpočet druhé odmocniny (tabulky, kalkulátor) úpravy číselných výrazů s mocninami a odmocninami: kontextuální definice

10 Třetí mocnina = 63 Třetí mocnina je součin tří stejných činitelů. V = a.a.a = a3  výpočet třetí mocniny Vypočti třetí mocninu: 1003, 0,0033, 0,023 Vypočti třetí mocninu: ( )3, ( )3, (–0,1)3, (–0,02)3 Pomocí tabulek vypočti: 63,23  vlastnosti třetí mocniny třetí mocnina součinu třetí mocnina podílu vztah čísla a jeho druhé a třetí mocniny

11 Třetí odmocnina Urči délku hrany krychle s objemem:
64cm3, 0,008m3, 125mm3, 10dm3 V = a.a.a ODMOCNINA a = ? Třetí odmocnina z nezáporného čísla a je nezáporné číslo b, pro které platí b3 = a, píšeme .  výpočet třetí odmocniny Vypočti: Odhadni: odmocnítko základ odmocniny odmocnina kontextuální definice

12 Třetí odmocnina vlastnosti třetí odmocniny - odmocnina ze součinu
odmocnina z podílu porovnání čísla a s jeho druhou a třetí odmocninou výpočet třetí odmocniny (tabulky, kalkulátor) výrazy s mocninami a odmocninami (vypočti a zaokrouhli): kontextuální definice

13 Vyšší mocniny – exponent je přirozené číslo
 pravidla pro počítání s mocninami (vyvození z definice) součin mocnin podíl mocnin mocnina mocniny  počítání s mocninami se stejným základem  vliv základu mocniny (>0, <0) a parity mocnitele na mocninu (> 0, < 0) 13

14 Vyšší mocniny Vypočti a doplň tabulku:
53, 30, (-4)1, 04, (-3)4, (-0,2)5,

15 Vyšší mocniny – exponent je celé číslo
motivace rozšíření oboru exponentu – dělení (1) an : an = : 24 = 1 an : an = an – n = a0 20 = 1, 50 = 1, (–2)0 = 1 (2) an : am = : 24 = an : am = an – m = a –(m – n) 2–3 = 1/23

16 Iracionální čísla důkaz existence př. Sečti dva čtverce o obsahu 1 j2 tak, aby vznikl čtverec.

17 Iracionální čísla 

18 Iracionální čísla – co je 2 ?
1 < 2 < 2 1,96 = 1,42 < 2 < 1,52 = 2,25 1,4 < 2 < 1,5 1,412 = 1,988 1, 1,422 = 2,016 4, 1,432 = 2,044 9 1,41 < 2 < 1,42 1, = 1,4142 < 2 <1,4152 = 2, 1,414 < 2 < 1,415 2 = 1, …

19 V rozkladu 2 by musel být sudý počet stejných prvočinitelů.
Iracionální čísla 2 nelze zapsat desetinným číslem, v opačném případě 2 = 1,414 … c, c  {0, 1, 2, 3, …, 9} 2 = ., … … … k, k je cifra, kterou končí c2 - poslední rovnost neplatí pro žádné c (k) 2 nelze zapsat periodickým číslem, v opačném případě 2 = n/k => = n2/k => k2 = n2 (rozklad) n2 = p12.p22…ps2 k2 = q12.q22… qt2 2. q12.q22… qt2 = p12.p22…ps2 2. q1q1.q2q2… qtqt = p1p1.p2p2…psps 2 = r1r1.r2r2…ruru V rozkladu 2 by musel být sudý počet stejných prvočinitelů.

20 Reálná čísla iracionální čísla = čísla, která mají neukončený neperiodický zápis např. 2, 3, 5, 6, … klasifikace čísel (podle zápisu) ukončený zápis – čísla desetinná racionální neukončený periodický – zlomky čísla reálná čísla neukončený neperiodický – iracionální čísla

21 Utváření pojmu reálné číslo
modely aritmetický (množina všech čísel) geometrický (číselná osa)  vlastnosti reálných čísel R je uspořádaná R je hustá R je archimedovská R je spojitá vlastnosti – na geometrickém modelu x nemožnost provádět aritmetické operace separované modely – zlomky, odmocniny, logaritmy, trig. funkce