Fraktální geometrie.

Prezentace na téma: "Fraktální geometrie."— Transkript prezentace:

1 Fraktální geometrie

2 Lewis Richardson, délka pobřeží ostrova Korsika

3 Východní pobřeží 11 x 1km 10 km

4 Východní pobřeží Délka pobřeží k.n(k) lim k→0 k.n(k) = D

5 Západní pobřeží

6 Západní pobřeží lim k→0 k.n(k) =∞

7 Soběpodobnost

8 Kochova vločka Niels Fabian Helge von Koch (25. ledna 1870 Stockholm – 11. března 1924 Stockholm)

9 Délka Kochovy vločky (4/3)n*3 →∞
/3 * 3 = /3*4/3*3 = 5, (4/3)3*3=7,11 (4/3)n*3 →∞

10 Sierpinského koberec

11 Plocha Sierpinskeho koberce
Plocha děr 1/9 8/9 * 1/9 (8/9)2 * 1/9 (8/9)n * 1/9 Celkem 1/9 * ∑(8/9)i = 1 Plocha zbytku (koberce) = 0

12 Mengerova houba

13 Mandelbrotova množina

14

15

16

17

18 Juliova množina

19 Přirozené fraktály

20 Soběpodobnost v přírodě

21 Matematická definice Fraktál je útvar, jehož Hausdorfova dimenze je jiná než dimenze geometrická

22 U nefraktálních útvarů
Zjemním měřítko s krát, počet naměřených úseků se změní sD krát, D je geometrická dimenze

23 Dimenze Kochovy vločky
Kochova křivka 3 x zjemnění => 4 x délka s = 3 => N = 4 D = logN/logs = log4/log3 =

24 Další Hausdorfovy dimenze
Sierpinskeho koberec 1,58 Mengerova houba 2,72 Peanova křivka 2 Mořské pobřeží 1,02 – 1,25

25 Polynomické fraktály Definován rekurzivní předpis Kn+1 = f(kn)
Pokud pro počáteční hodnotu k0 posloupnost konverguje, je hodnota k0 prvkem fraktálu

26 Mandelbrotova množina

27 Mandelbrotova množina
Část roviny komplexních čísel z0 = 0, zn+1 = zn2 + c Mandelbrotova množina je množina všech takových c, pro které posloupnost z nejde do nekonečna.

28 Příklady bodů C Z0 Z1 Z2 Z3 Z4 0 + 0i 0,0 1+0i 1,0 2,0 5,0 26,0 -1+0i
-1,0 Příklad nestabilního systému: -2+0i, -2, i;