Zajištění obsluhy všech úseku dopravní sítě Předmět: Teorie dopravy - cvičení Ing. František Lachnit, Ph.D.

Prezentace na téma: "Zajištění obsluhy všech úseku dopravní sítě Předmět: Teorie dopravy - cvičení Ing. František Lachnit, Ph.D."— Transkript prezentace:

1 Zajištění obsluhy všech úseku dopravní sítě Předmět: Teorie dopravy - cvičení Ing. František Lachnit, Ph.D.

2 Zajištění obsluhy všech úseku dopravní sítě Úkol:
Projet všemi úseky dopravní sítě alespoň jednou a vrátit se do výchozího uzlu. „Úloho čínského pošťáka“ (autorem je čínský matematik Kwan)

3 Historie: Sedm mostů města Královce je slavný, již vyřešený matematický problém, založený na skutečném místě a skutečné situaci. Pruské město Královec (též Königsberg, nyní Kaliningrad na území Ruska) leží na řece Pregole, která vytváří dva ostrovy. Ostrovy byly s ostatním městem spojeny sedmi mosty. Otázka zní, zda je možné všechny mosty přejít tak, aby ten, kdo se o to pokouší, vstoupil na každý most pouze jednou. Leonhard Euler jako první dokázal, že to možné není, odpovídající graf totiž nelze projít pomocí tzv. eulerovského tahu. Leonhard Paul Euler ( Basilej, Švýcarsko – Petrohrad, Rusko) - švýcarský matematik a fyzik. Zdroj:

4 Eulerův sled – libovolná posloupnost vrcholů a hran grafu, který začíná a končí témže vrcholu a obsahuje všechny hrany. Eulerův tah – sled, ve kterém se neopakují žádné hrany. – takový tah, který obsahuje všechny hrany grafu a každou právě jednou. Eulerův graf – lze nakreslit jedním tahem. – musí být v něm taková počet hran, aby byly vrcholy sudého stupně, tzn. že počet hran, které ve vrcholu končí musí být sudý.

5 Nalezení Eulerova tahu
Fleuryho algoritmus - všechny vrcholy grafu jsou sudého stupně: 1. krok: Konstrukci E-tahu začínáme v libovolném vrcholu grafu, vybereme libovolnou hranu incidujicí s vrcholem, projdeme jí a označíme. 2. krok: Při příchodu do vi Î V grafu nikdy nepoužijeme hranu, která je v dané situaci mostem, jehož odstraněním by se graf složený z dosud neoznačených hran rozpadl na netriviální komponenty nebo na netriviální komponentu a vrchol, ve kterém tah začíná. (incidence - vzájemná poloha dvou geometrických útvarů majících společnou část)

6 Nalezení Eulerova tahu
- v grafu, který obsahuje vrcholy lichého stupně. Edmondsův algoritmus: 1. krok: V grafu určíme vrcholy lichého stupně, kterých je vždy sudý počet. 2. krok: Sestrojíme z vrcholů lichého stupně fiktivní kompletní graf, jehož hrany budou ohodnoceny vzdáleností příslušných vrcholů v původním grafu. 3. krok: Určíme párování minimální délky a fiktivní hrany minimálního párování přidáme do původního grafu mezi příslušné vrcholy. 4. krok: V upraveném grafu sestrojíme uzavřený E-tah minimální délky Fleuryho algoritmem.

7 Další metoda nalezení Eulerova tahu v grafu, kde všechny vrcholy jsou sudého stupně
Vyjdi z nějakého vrcholu A a označuj hrany, kterými si prošel. Pokud dosáhneš znovu vrcholu A a nejsou označeny ještě všechny hrany, najdi vrchol B z kterého vychází neoznačená hrana, pokračuj po ní a označuj hrany až do návratu do vrcholu B. Oba tyto tahy spoj a opakuj postup až do vyčerpání všech hran.

8 Příklad: Vyjít z vrcholu A a projít všechny hrany grafu po nejkratší trase a vrátit se do výchozího vrcholu A . (Ohodnocení hran je v délkových jednotkách)

9 V grafu určíme vrcholy lichého stupně, kterých je vždy sudý počet.

10 Sestrojíme z vrcholů lichého stupně fiktivní kompletní graf, jehož hrany budou ohodnoceny vzdáleností příslušných vrcholů v původním grafu.

11 Určíme párování minimální délky a fiktivní hrany minimálního párování přidáme do původního grafu mezi příslušné vrcholy.

12 Přidané hrany z párování minimální délky mezi příslušné vrcholy do původního grafu

13 V upraveném grafu sestrojíme uzavřený E-tah minimální délky Fleuryho algoritmem.
Modře znázorněno pořadí a směr průchodu hran grafu.

14 Zdroje: Mocková, D.. Základy teorie dopravy – Úlohy. Praha, Nakladatelství ČVUT, 2007, ISBN Tuzar, A., Maxa, P., Svoboda, V.. Teorie dopravy. Praha, ČVUT, ISBN