CELÁ ČÍSLA

ZNÁZORNĚNÍ CELÝCH ČÍSEL Určitě všichni známe předpovědi počasí, kde nám hlasatelé hlásí, jestli bude hezky nebo zatažená obloha. Také nám říkají, kolik bude °C [stupňů Celsia]. Například: Praha → -2°C (říkáme, že v Praze je -2°C nebo také v Praze je 2 pod nulou) Cvičení: přečtěte tyto teploty a zakreslete je na číselnou osu. -5°C, 6°C, 13°C, 0°C, -2°C, -7°C, 28°C, 19°C, -13°C, -20°C, 15°C, 35°C, -17°C, -9°C, -6°C

Poznámka: Pro zápis těchto čísel se používají kladná čísla (+5°C, +6°C, +10°C) a záporná čísla (-6°C, -8°C, -12°C). U kladných čísel obvykle nepíšeme znaménko „+“ a rozumíme zápisu tak, jako by tam bylo, tedy +9°C je totéž jako 9°C. +6°C = 6°C +10°C = 10°C +25°C = 25°C Kladným číslům říkáme čísla přirozená.

Na této číselné ose jsou znázorněna celá záporná čísla. Nesmíme u nich nikdy vynechat znaménko minus. „-“ -4 -3 -2 -1 Celá kladná čísla, celá záporná čísla a nulu nazýváme celá čísla. Nula není ani kladné celé číslo, ani záporné celé číslo, je to ale celé číslo. Cvičení: vyjmenujte alespoň 5 celých kladných čísel a 5 celých záporných celých čísel.

znázorňujeme je na číselné ose CELÁ ČÍSLA jsou čísla ...., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, .... znázorňujeme je na číselné ose -3 -2 -1 1 2 3 záporná čísla kladná čísla celá čísla celá čísla

S celými čísly se můžeme setkat také na tlačítkách ve výtahu. Je to vlastně svislá číselná osa. 4 4 3 3 2 2 1 1 P -1 -1 -2 -2

CVIČENÍ: Zakreslete na časovou přímku následující data: a) Alexandr Veliký byl řeckým králem od roku 336 před naším letopočtem do roku 323 před naším letopočtem. b) Chrám v Athénách – Parthenon byl vybudován v letech 447 před naším letopočtem až 432 před naším letopočtem. c) Aristotelés žil v letech 384 před naším letopočtem až 322 před naším letopočtem. d) Pythagoras žil v letech 580 před naším letopočtem až 520 před naším letopočtem.

CVIČENÍ: 2) Elektrický motor má vykonávat 1280 otáček za minutu. Při kontrole 5 motorů tohoto typu byly zjištěny následující počty otáček za minutu: 1285, 1278, 1274, 1282, 1277. Pomocí kladných a záporných čísel vyjádři odchylky od stanoveného počtu otáček za minutu. motor norma odchylka 1 1280 2 1280 3 4 5

ABSOLUTNÍ HODNOTA CELÉHO ČÍSLA Na číselné ose jsou čísla zobrazena jako body. Vzdálenost obrazu čísla 1 od obrazu čísla 0 je jedna délková jednotka ( značíme ji d.j. ). -3 -2 -1 1 2 3 3 d. j. 1 d. j. Podle obrázku můžeme říci, že platí: vzdálenost obrazu čísla –3 od obrazu čísla 0 jsou 3 d. j. vzdálenost obrazu čísla 1 od obrazu čísla 0 je 1 d. j. Cvičení: Řekněte, kolik d. j. je vzdálenost obrazu čísla 2, 5, -6, -8, 9, -3, -7, 12, -5 od obrazu čísla 0.

ABSOLUTNÍ HODNOTA čísla udává vzdálenost obrazu tohoto čísla od obrazu čísla nula na číselné ose. Značíme ji → |5| → absolutní hodnota čísla 5 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 |-5| = 5 |4| = 4 Absolutní hodnota čísla 4 se rovná 4, píšeme |4| = 4. Absolutní hodnota čísla –5 se rovná 5, píšeme |-5| = 5. Absolutní hodnota čísla 0 se rovná 0, píšeme |0| = 0. Absolutní hodnota každého čísla je kladné číslo nebo nula.

CVIČENÍ: Zkontrolujte správnost zápisů: |2| = 2 |7| = 7 |-6| = 6 |3| = 3 |1| = -1 |-5| = 5 |-5| = -5 |0| = 0 |8| = 8 2) Zapište absolutní hodnoty těchto čísel: -3, 5, -6, -7, 12, 1, 0, 8, -9, -5, -10. 3) Vypočítejte: |-3| + |2| = |-11| + |-12| = |-7| - |5| = |-2| + |-5| = |13| + |7| = |2| + |-5| = |3| + |7| = |17| - |-7| = |-13| - |-2| = |-3| - |-8| = |13| + |12| = |-7| + |-2| =

OPAČNÉ ČÍSLO k číslu různému od nuly je číslo, které se mu nerovná, ale má stejnou absolutní hodnotu. Opačné číslo k číslu –5 je 5: |-5| = |5| a -5 ≠ 5 opačné číslo k číslu 6 je –6: |6| = |-6| a -6 ≠ 6 opačné číslo k číslu 0 je 0. Tedy jsou to čísla navzájem opačná. Cvičení: 1) Zapište opačné číslo k číslu -5, 6, -7, 2, 13, 17, -20, -44, -8, 9, 0, -4, 120, -105, 340.

Z číselné osy víme, že opačné číslo k číslu +7 je –7. Tedy – (+7) = -7. Tak tedy: stejná znaménka za sebou se mění v „+“ a opačná znaménka za sebou se mění v „-“. + a + se mění v + - a - se mění v + + a - se mění v - - a + se mění v - Opačné číslo k zápornému číslu je kladné číslo. Opačné číslo ke kladnému číslu je záporné číslo. Opačné číslo k nule je nula.

b) |x| + 4 = 8 e) |x| < 2 h) |x| = -1 c) |x| = 0 f) |x| + 1 = 0 Zakresli na číselnou osu všechna celá čísla, která můžeš dosadit za x tak, aby platilo: a) |x| = 5 d) 7 - |x| = 0 g) |x| ≤ 2 b) |x| + 4 = 8 e) |x| < 2 h) |x| = -1 c) |x| = 0 f) |x| + 1 = 0 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4

POROVNÁVÁNÍ CELÝCH ČÍSEL Na číselné ose jsou čísla uspořádána podle velikosti. Číslo vlevo je vždy menší než číslo vpravo. Cvičení: Zkontroluj, které zápisy jsou správné -2 > 1 -6 = 6 -4 > 5 3 < 5 -7 > 6 0 < 2 -4 < -5 -1 > 0 3 < 5

Každé kladné číslo je větší než nula. Každé záporné číslo je menší než nula. Každé kladné číslo je větší než jakékoli záporné číslo. Porovnávání celých záporných čísel. Větší je to záporné číslo, které má menší absolutní hodnotu. Tedy větší je to záporné číslo, jehož obraz je blíže k nule.

SČÍTÁNÍ A ODČÍTÁNÍ CELÝCH ČÍSEL Odpovězte na otázky: Jaký je dluh Jirky, který si od otce půjčil 80 Kč a od matky 35 Kč? Venku byla teplota –9°C, pak stoupla o 2°C. Jaká e nyní venku teplota? Hladina vody ve studni je –10 m, ale zdá se, že do týdne ještě klesne o 1 m. Jaká je pak úroveň vodní hladiny? V hotelu s podzemními garážemi sjel výtah ze 4. patra o 6 podlaží dolů. Ve kterém podlaží se zastavil?

Řešení: dluh Jirky u otce.................... –80 Kč dluh Jirky u matky................. –35 Kč celkový dluh.......................... –115 Kč -80 + (-35) = -115 b) původní teplota......................... –9°C stoupla o ................................... 2°C výsledná teplota........................ –7°C -9 + 2 = -7

původní hladina vody............................ –10 m klesne o .................................................. –1 m výsledná výška hladiny......................... –11 m -10 + (-1) = -11 výchozí patro ...................................... 4 sjel o .................................................... –6 cílové patro ........................................ –2 4 – 6 = -2

Řešte a procvičujte odstraňování závorek: -8 + (-7) = (-16) – (-15) = (-5) – (-4) = -9 – (-6) = 13 + (-16) = 4 – (-5) = -5 + (+3) = 14 – (+3) = 3 – (+7) = -13 + (-3) = (-17) – (-10) = 2 + (- 6) = 14 – (+4) = 5 + (+6) = -5 – (-12) =

Počítejte postupně: 3 + 5 –7 = 7 + 4 – 9 + 15 = 7 + 8 – 9 = 7 – 3 – 2 + 6 = -12 + 6 + 3 = 2 + 6 – 12 + 1 = 16 – 9 + 5 + 6 – 7 + 8 = 12 + 5 – 7 + 8 + 2 – 1 = - 7 + 2 – 3 – 7 – 8 + 12 =

NÁSOBENÍ A DĚLENÍ CELÝCH ČÍSEL Už víme, že násobit 3 · 5 znamená sčítat 5 + 5 + 5. Tedy násobení je opakované sčítání. Př: 3 · (-7) = (-7) + (-7) + (-7) 3 · (-7) = - 7 – 7 – 7 = - 21 Jak násobíme číslem – 1 ? 1 · 5 = 5 1 · (-5) = - 5 - 1 · 5 = - 5 -1 · (- 5) = 5 Násobíme-li číslem – 1 libovolné číslo, dostaneme číslo k němu opačné. Jak vynásobíme – 3 · (-7)? – 3 · (-7) = - 1 · 3 · (-7) = - 1 · (-21) = 21

Pravidla pro násobení celých nenulových čísel: Násobíme-li dvě čísla se stejnými znaménky, vynásobíme absolutní hodnoty činitelů a výsledek je číslo kladné. (+) Násobíme-li dvě čísla s různými znaménky, vynásobíme absolutní hodnoty činitelů a výsledek je číslo záporné. (-) + · + = + - · - = + + · - = + - · + = +

Zkontrolujte: 7 · (-4) = - 28 -4 · (-9) = 36 -6 · (-5) = 30 3 · 5 = 15 -8 · 3 = - 24 2 · 6 = 12 -7 · (-1) = 7 6 · (-3) = - 18 -4 · (-4) = 16 Počítejte: 7 · (-7) = 3 · 3 = 7 · (3 - 4) = 2 · 5 = 6 · (-7) = 6 · (2 – 8) = 6 · 3 = 8 · (-9) = 7 · (-3) · (-2) = - 6 · 5 = 7 · (-5) = (-5) · (-2) · (-3) = -7 · (-8) = 2 · 6 = 7 · 2 · (-3) = Násobíme-li nenulové číslo číslem – 1 , měníme jen jeho znaménko. Násobíme-li nulou, pak je výsledek nula.

Pravidla pro dělení celých nenulových čísel: Dělíme-li dvě celá čísla se stejnými znaménky, vydělíme absolutní hodnoty čísel a výsledek je číslo kladné. Dělíme-li dvě čísla s různými znaménky, vydělíme absolutní hodnoty čísel a výsledek je číslo záporné. + : + = + : - = + : + = - + : - = -

Počítejte: 25 : (- 1) = - 36 : (- 6) = 33 : (- 1) = 50 : (- 5) = 25 : (- 5) = - 81 : 9 = 48 : (- 8) = - 28 : (- 1) = 32 : (- 4) = -74 : (- 1) = - 54 : (- 6) = Vypočtěte: (18 – 22) : (- 2) = (- 14 – 26) : (- 8) = (14 - 44) : (- 3) = 25 : ( 17 – 22) = (33 – 63) : 5 = (57 – 12) : (- 9) =

Doplňte x tak, aby byl výsledek správný: 45 : x = - 9 62 : x = - 2 42 : x = - 7 - 64 : x = 8 33 : x = - 11 - 27 : x = 9 - 45 : x = 9 - 90 : x = 10