Příklad 1 Urči pravděpodobnost získání výhry ve Sportce pro 4 uhodnutá čísla. Řešení: Ve Sportce se losuje 6 výherních čísel ze 49 čísel v osudí. Výherní čtveřice čísel např.{11;16;28;42;46;49} vyhrává stejně jako čtveřice {28;49;16;46;11;42}, takže na pořadí losovaných čísel nezáleží.

Vytváříme tedy kombinace šesté třídy ze 49 prvků, což je počet všech možností a zapisujeme jako 𝐂 𝟔 𝟒𝟗 = 𝟒𝟗 𝟔 Příznivým případem bude situace, kdy bude vylosována jakákoliv čtveřice z šesti správných, výherních čísel a k této čtveřici bude doplněna jakákoliv dvojice ze zbývajících nevýherních čísel, což zapisujeme jako 𝐂 𝟒 𝟔 = 𝟔 𝟒 a 𝐂 𝟐 𝟒𝟑 = 𝟒𝟑 𝟐 Hledaná pravděpodobnost pak bude dána zlomkem 𝐏 𝐀 = 𝟔 𝟒 . 𝟒𝟑 𝟐 𝟒𝟗 𝟔 = …  

Příklad 2 V bedně je celkem 8 výrobků, z toho 5 dobrých a 3 vadné. Náhodně vybíráme 4 výrobky. Jaká je pravděpodobnost, že vybereme a) všechny dobré b) právě dva vadné ? Řešení: 𝐏 𝐀 = 𝟓 𝟒 . 𝟑 𝟎 𝟖 𝟒 = … 𝐏 𝐀 = 𝟓 𝟐 . 𝟑 𝟐 𝟖 𝟒 = …

Příklad 3 Řešení: 𝐏 𝐀 = 𝟓 𝟎 . 𝟏𝟔 𝟑 𝟐𝟏 𝟑 = … 𝐏(𝐁)= 𝟓 𝟑 . 𝟏𝟔 𝟎 𝟐𝟏 𝟑 = … Ke zkoušce je nutno znát 21 otázek. Student 5 otázek nezná. Losuje si tři otázky. Jaká je pravděpodobnost, že a) nevylosuje si žádnou, kterou nezná b) vylosuje všechny, které nezná c) vylosuje pouze 1, kterou nezná Řešení: 𝐏 𝐀 = 𝟓 𝟎 . 𝟏𝟔 𝟑 𝟐𝟏 𝟑 = … 𝐏(𝐁)= 𝟓 𝟑 . 𝟏𝟔 𝟎 𝟐𝟏 𝟑 = … 𝐏 𝐂 = 𝟓 𝟏 . 𝟏𝟔 𝟐 𝟐𝟏 𝟑 = …

Příklad 4 V obchodě je 85 výrobků první a 15 výrobků druhé jakosti. Prvních 10 zákazníků dostalo výrobek první jakosti. Jaká je pravděpodobnost, že jedenáctý zákazník obdrží výrobek druhé jakosti ? Řešení: Pro jedenáctého zákazníka je připraveno 75 výrobků první a 15 výrobků druhé jakosti. 𝐏 𝐀 = 𝟏𝟓 𝟏 𝟗𝟎 𝟏 =𝟎,𝟏𝟔𝟔

Příklad 5 Házíme třemi hracími kostkami. Jaká je pravděpodobnost jevu B, že padne součet větší než 5? Užijte doplňkový jev. Příznivým případem doplňkového jevu je součet menší nebo roven 5, který může nastat následujícím způsobem: součet 3 : 1+1+1 jedna možnost součet 4: 1+1+2 tři možnosti součet 5: 1+1+3 tři možnosti 1+2+2 tři možnosti Všech možností je 63 =216. Platí tedy 𝐏(𝐁´)= 𝟏𝟎 𝟔 𝟑 = 0,0463 Pravděpodobnost součtu většího než 5 je: P(B) = 1 – 0,0463 = 0,953.

Příklad 6 Jaká je pravděpodobnost jevu C, že náhodně zvolené dvouciferné číslo je dělitelné 10 nebo 13 ? Řešení: Počet všech možností je n=90. Dvouciferná čísla dělitelná deseti tvoří devítiprvkovou množinu A ={10;20;30;40;50;60;70;80;90}. Čísla dělitelná třinácti tvoří sedmiprvkovou množinu B = {13;26;39;52;65;78;91 } Je zřejmé, že průnik 𝑨∩𝑩= ∅ a proto 𝐏 𝐂 =𝐏 𝐀 ∪𝐏 𝐁 =𝐏 𝐀 +𝐏 𝐁 = 𝟗 𝟗𝟎 + 𝟕 𝟗𝟎 =𝟎,𝟏𝟕𝟖

Příklad 7 Jaká je pravděpodobnost jevu D, že náhodně zvolené dvouciferné číslo je dělitelné 10 nebo 15 ? Řešení: Dvouciferná čísla dělitelná deseti tvoří devítiprvkovou množinu A={10;20;30;40;50;60;70;80;90}. Čísla dělitelná patnácti tvoří šestiprvkovou množinu B={15;30;45;60;75;90} Průnik 𝐀∩𝐁={𝟑𝟎;𝟔𝟎;𝟗𝟎} a proto 𝐏 𝐂 =𝐏 𝐀 ∪𝐏 𝐁 = 𝐏 𝐀 +𝐏 𝐁 −𝐏 𝐀 ∩𝐁 = 𝟗 𝟗𝟎 + 𝟔 𝟗𝟎 − 𝟑 𝟗𝟎 =𝟎,𝟏𝟑𝟑

Příklad 8 𝐏 𝐂 =𝐏 𝐀 +𝐏 𝐁 −𝐏 𝐀 ∩𝐁 = 𝟑 𝟑𝟔 + 𝟔 𝟑𝟔 − 𝟏 𝟑𝟔 =𝟎,𝟐𝟐 Urči pravděpodobnost jevu, že při hodu dvěma kostkami hodíme součet 10 nebo stejné číslo na obou kostkách. Součet 10 může nastat celkem třemi způsoby: 𝐀= 𝟒;𝟔 , 𝟔;𝟒 , 𝟓;𝟓 Stejná čísla na obou kostkách celkem 6 způsoby: 𝐁= 𝟏;𝟏 , 𝟐;𝟐 , 𝟑;𝟑 , 𝟒;𝟒 , 𝟓;𝟓 , 𝟔;𝟔 𝐀∩𝐁≠∅ = 𝟓;𝟓 Všech možností je 62=36 𝐏 𝐂 =𝐏 𝐀 +𝐏 𝐁 −𝐏 𝐀 ∩𝐁 = 𝟑 𝟑𝟔 + 𝟔 𝟑𝟔 − 𝟏 𝟑𝟔 =𝟎,𝟐𝟐

Příklad 9 Urči pravděpodobnost, že při hodu třemi stejnými mincemi padne: a) jednou rub a dvakrát líc b) na všech mincích stejná strana c) třikrát rub Řešení: Množina všech možných výsledků celkem 23 = 8 možností. Příznivé případy jsou výsledky (l;l;r), (l;r;l), (r;l;l). 𝐏 𝐀 = 𝟑 𝟖 b) Příznivé případy jsou (l;l;l) nebo (r;r;r) 𝐏 𝐁 = 𝟐 𝟖 = 𝟏 𝟒 c) Jeden příznivý výsledek ( r;r;r) 𝐏 𝐂 = 𝟏 𝟖

Příklad 10 Urči pravděpodobnost, že při deseti hodech mincí a) nepadne ani jeden líc b) padne dvakrát rub a osmkrát líc c) padne maximálně třikrát rub Řešení: Množinou všech možných výsledků jsou všechny uspořádané desetice se dvěma opakujícími se prvky líc a rub, tzn. 210 možností. a) příznivý výsledek je, že padnou samé ruby (jediná) 𝐏 𝐀 = 𝟏 𝟐 𝟏𝟎 =𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟗𝟖

b) příznivým výsledkem jsou uspořádané desetice ze dvou rubů a osmi líců 𝟏𝟎 𝟐 =𝟒𝟓 možností 𝐏 𝐁 = 𝟏𝟎 𝟐 𝟐 𝟏𝟎 = 𝟒𝟓 𝟏𝟎𝟐𝟒 =𝟎,𝟎𝟒𝟒 c) maximálně třikrát rub znamená: ani jednou = 1 možnost 1 rub a 9 líců = 𝟏𝟎 𝟏 =𝟏𝟎 možností 2 ruby a 8 líců = 𝟏𝟎 𝟐 = 45 možností 3 ruby a 7 líců = 𝟏𝟎 𝟑 =𝟏𝟐𝟎 možností. 𝑷 𝑪 = 𝟏+𝟏𝟎+𝟒𝟓+𝟏𝟐𝟎 𝟐 𝟏𝟎 = 𝟏𝟕𝟔 𝟏𝟎𝟐𝟒= =𝟎,𝟏𝟔𝟗

Příklad 11 Určete pravděpodobnost, se kterou padne při hodu dvěma kostkami a) součet 7 b) součet 8 Řešení: Množina všech možností jsou vlastně variace s opakováním druhé třídy ze šesti prvků V´2(6) = 62 = 36 možností. Příznivou možností pro součet 7 je množina dvojic {(4;3), (3;4), (5;2),(2;5), (6;1), (1;6) } 𝐏 𝐀 = 𝟔 𝟑𝟔 = 𝟏 𝟔 =𝟎,𝟏𝟔𝟕 Příznivou možností pro součet 8 je množina dvojic {(2;6), (6;2), (3;5),(5;3), (4;4)} 𝐏 𝐀 = 𝟓 𝟑𝟔 =𝟎,𝟏𝟑𝟗

Příklad 12 Určete pravděpodobnost, že ve třech následujících hodech po sobě padne pokaždé šestka. Řešení: Počet všech možností je 63 . Příznivá možnost pouze 1. 𝐏 𝐀 = 𝟏 𝟔 𝟑 =𝟎,𝟎𝟎𝟒𝟔

Příklad 13 Hrajeme šesti hracími kostkami. Jaká je pravděpodobnost, že a) padne „ postupka 1;2;3;4;5;6“ b) padnou jen sudá čísla Řešení: Počet všech možností je V´6(6) = 66 a) příznivou možností je jakákoli permutace z 6 prvků 𝑷 𝑨 = 𝟔! 𝟔 𝟔 =𝟎,𝟎𝟏𝟓𝟒 b) příznivou možností jsou V´6(3) = 36 𝑷 𝑩 = 𝟑 𝟔 𝟔 𝟔 =𝟎,𝟎𝟏𝟓𝟔

Příklad 14 Při hře s 32 kartami každý hráč ze čtyř hráčů dostává 8 karet. Jaká je pravděpodobnost, že jeden z nich bude mít všechna čtyři esa? Řešení: Počet všech možných výsledků jsou kombinace osmé třídy ze 32 prvků. Příznivým případem je každá čtveřice es C4(4) kombinovaná se čtveřicí ze zbývajících 28 karet C4(28) . 𝐏 𝐀 = 𝟒 𝟒 . 𝟐𝟖 𝟒 𝟑𝟐 𝟖 =

Příklad 15 Jaká je pravděpodobnost, že během deseti hodů hrací kostkou hodíme aspoň jednou šestku? Řešení: Množina všech možností : uspořádané desetice ze šesti možných čísel, tzn. 610 možností. Zkusme určit množinu všech případů, kdy nepadne ani jedna šestka: jsou to uspořádané desetice z čísel 1;2;3;4;5 a těch je 510 možností. Příznivým případem (padne aspoň jedna šestka) pak bude rozdíl 610 - 510. 𝐏 𝐀 = 𝟔 𝟏𝟎 − 𝟓 𝟏𝟎 𝟔 𝟏𝟎 =𝟎,𝟖𝟑𝟖