Soustavy lineárních rovnic

Soustava m lineárních rovnic o n neznámých a 11 x 1 + a 12 x 2 + … + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + … + a 2n x n = b 2 …. a m1 x 1 + a m2 x 2 + … + a mn x n = b m a ij koeficienty x j neznámé b i pravé strany

Maticový zápis soustavy A.x T = b T

Řešení soustavy každá uspořádaná n-tice reálných čísel (x 1, x 2, …x n ), která po dosazení do soustavy tuto soustavu identicky splňuje

Homogenní soustava lineárních rovnic b 1 = b 2 = … = b m = 0 Má vždy řešení (0, 0, …, 0)

Řešení soustavy n nezávislých lineárních rovnic o n neznámých hod A = n a |A|  0 x 1 + x 2 – x 3 = 5 2x 1 – x 2 + 2x 3 = 13 3x 1 + 2x 2 + x 3 = 32 Má jediné řešení (x 1, x 2, x 3 )

Cramerovo pravidlo soustava má jedno řešení (x 1, x 2, …x n ) |A|  0 kde k = 1, 2, …, n  D k  je determinant matice, která vznikne nahrazením k-tého sloupce matice A sloupcem pravých stran

x 1 + x 2 – x 3 = 5 2x 1 – x 2 + 2x 3 = 13 3x 1 + 2x 2 + x 3 = 32 x = (4, 6, 7)

pomocí inverzní matice A.x T = b T matice A je regulární (hod A = n ) jediné řešení x T = A –1.b T

x 1 + x 2 – x 3 = 5 2x 1 – x 2 + 2x 3 = 13 3x 1 + 2x 2 + x 3 = 32 x = (4, 6, 7) A.x T = b T x T = A -1.b T

Gaussova metoda matice soustavy A rozšířená matice soustavy A|B

Ekvivalentní úpravy Napíšeme rovnice v jiném pořadí. Vynásobíme libovolnou rovnici nenulovým číslem. K libovolné rovnici přičteme libovolný násobek jiné rovnice soustavy. Vynecháme rovnici, která je násobkem jiné rovnice. Vynecháme rovnici, která je lineární kombinací ostatních rovnic soustavy.

Ekvivalentními úpravami převedeme rozšířenou matici soustavy na trojúhelníkový tvar (tj. pod hlavní diagonálou samé nuly). Takto upravená matice je rozšířenou maticí soustavy, která je ekvivalentní s původní soustavou (má stejnou množinu řešení). Z takto upravené matice lze okamžitě zjistit hodnost matice soustavy (hod A) i hodnost rozšířené matice soustavy (hod A  B). Přepíšeme-li tuto upravenou matici zpětně na soustavu rovnic, můžeme postupně počítat hodnoty neznámých počínaje x n tzv. zpětným chodem.

x 1 + 2x 2 – x 3 = 2 x 1 + 4x 2 = 9 2x 1 + 6x 2 = 14 ~~ x 1 + 2x 2 – x 3 = 2  x – 3 = 2  x 1 = 1 2x 2 + x 3 = 7  2x = 7  x 2 = 2 x 3 = 3

Frobeniova věta kritérium řešitelnosti soustavy Soustava m lineárních rovnic o n neznámých je řešitelná (tj. má alespoň jedno řešení) právě tehdy, když hod A = hod A  B

Neřešitelná soustava soustava nemá žádné řešení právě tehdy, když hod A  hod A  B

3x 1 + 2x 2 + x 3 = 6 6x 1 + 4x 2 + 2x 3 = 4 9x 1 + 6x 2 + 3x 3 = 18 ~ hod A  hod A  B soustava nemá řešení

Určená soustava Je-li hod A = hod A  B = n (n je počet neznámých), pak je soustava určená (tj. má právě jedno řešení).

x 1 + 2x 2 – x 3 = 2 x 1 + 4x 2 = 9 2x 1 + 6x 2 = 14 ~~ x 1 + 2x 2 – x 3 = 2  x – 3 = 2  x 1 = 1 2x 2 + x 3 = 7  2x = 7  x 2 = 2 x 3 = 3 hod A = hod A  B = n soustava má jediné řešení

Neurčená soustava Je-li hod A = hod A  B = h < n, pak je soustava neurčená (tj. má nekonečně mnoho řešení). Tato řešení jsou závislá na volbě n – h parametrů

x 1 + 2x 2 + x 3 + x 5 + 2x 6 + x 7 = 7 x 1 + 2x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 2x 5 + 2x 6 – x 7 = 7 x 4 + 3x 5 + 2x 6 – x 7 = 0 x 1 + 2x 2 + x 3 + x 5 + 2x 6 + 2x 7 = 14 ~ hod A = hod A  B = 4 = h n = 7 n – h = 3 nekonečně mnoho řešení závislých na volbě tří parametrů

x 1 + 2x 2 + x 3 + x 5 + 2x 6 + x 7 = 7 x 3 + 2x 4 + x 5 – 2x 7 = 0 x 4 + 3x 5 + 2x 6 – x 7 = 0 x 7 = 7 x 4 + 3x 5 + 2x 6 = 7 volíme dva parametry, např. x 6 = p, x 5 = q x 4 = 7 – 2p – 3q x 3 + 2x 4 + x 5 – 2x 7 = 0 x 3 = 4p + 5q x 1 + 2x 2 = – 6p – 6q volíme jeden parametr, např. x 2 = r x 1 = – 6p – 6q – 2r x = (– 6p – 6q – 2r, r, 4p + 5q, 7 – 2p – 3q, q, p, 7), kde p, q, r  R

neřešitelná hod A  hod A  B nemá řešení řešitelná hod A = hod A  B má řešení –určená hod A = hod A  B = n má právě jedno řešení –neurčená hod A = hod A  B = h < n má nekonečně mnoho řešení volíme n – h parametrů