Iracionální nerovnice Autor: Jana Buršová
Iracionální nerovnicí s neznámou x∈R nazýváme každou nerovnici obsahující výrazy s neznámou pod odmocninou. Tyto nerovnice řešíme umocňováním. Před vlastním řešením musíme určit definiční obor a podmínky řešitelnosti, kterými zaručíme, že na obou stranách nerovnosti jsou nezáporná čísla. Úvod
Typy příkladů 1. typ 𝑎 <𝑏 / 2 , 𝑎≥0∧𝑏>0∧𝑎< 𝑏 2 Obdobně 𝑎 ≤𝑏 𝑎 <𝑏 / 2 , 𝑎≥0∧𝑏>0∧𝑎< 𝑏 2 Obdobně 𝑎 ≤𝑏 2. typ 𝑎 >𝑏 / 2 , 𝑎≥0∧𝑏≥0∧𝑎> 𝑏 2 ∨ 𝑎<0∧𝑏<0 Obdobně 𝑎 ≥𝑏 K = 𝐾 𝑎 ⋃ 𝐾 𝑏 Typy příkladů
1. typ – př. 1 𝒙+𝟏𝟖 <𝟐 −𝒙 / 𝟐 x + 18 ≥ 0 ∧ 2 – x > 0 D = (-18, ∞) ∧ x + 18 < (2−𝑥) 2 x + 18 < 4 – 4x + 𝑥 2 𝑥 2 −5𝑥 −14 >𝟎 (x + 2)(x – 7) >0 x ∈ (-∞, -2) ∪ (7, ∞) K = −𝟏𝟖, −𝟐) 1. typ – př. 1
1. typ – další příklady 2. 𝑥+2 ≤1+ 𝑥 2 𝐾= −2 ∪ 2;∞) 2. 𝑥+2 ≤1+ 𝑥 2 𝐾= −2 ∪ 2;∞) 3. 5 −2𝑥 <6𝑥 −1 𝐾=( 1 2 ; 5 2 4. 6−𝑥 <3𝑥 −4 𝐾= 2; 6 5. 2𝑥−1 <𝑥−2 𝐾= 1 2 ;2)∪(5;∞ ) 6. 𝑥 2 −𝑥−2 < 𝑥−3 𝐾=∅ 7. 2𝑥− 𝑥 2 < 5−𝑥 𝐾= 0,2 8. 𝑥 2 +3𝑥+3 < 2𝑥+1 𝐾= 2 3 ;∞) 1. typ – další příklady
2. typ – př. 1 𝒙+𝟏 >𝒙−𝟏 a/ x+1≥0 ∧ x-1≥0; x≥-1∧x≥1; x∈ 1;∞) 𝒙+𝟏 >𝒙−𝟏 a/ x+1≥0 ∧ x-1≥0; x≥-1∧x≥1; x∈ 1;∞) x+1> 𝑥 2 +2𝑥+1;0> 𝑥 2 −3𝑥;0>𝑥 𝑥−3 𝐾 1 = 1;3) b/ x+1≥0∧x-1<0; x≥-1∧x<1; x∈ −1;1) = 𝐾 2 K= 𝑲 𝟏 ∪ 𝑲 𝟐 = −𝟏;𝟑) 2. typ – př. 1
2. typ – další příklady 2. 𝑥+5 >𝑥+3 𝐾= −3;−1) 2. 𝑥+5 >𝑥+3 𝐾= −3;−1) 3. 2𝑥+14 >𝑥+3 𝐾= −7;1) 4. 𝑥 2 +𝑥−2 >𝑥 𝐾=(−∞; −2 ∪ (2;∞) 5. 𝑥 2 −5𝑥−24 >𝑥+2 𝐾= −∞;−3 2. typ – další příklady
Iracionální nerovnice řešené substitucí – 1. př. 𝒙−𝟑 𝒙 −𝟒≥0 Subst. 𝑥 =𝑦 𝑦 2 −3𝑦−4≥0 𝑦∈(−∞; −1 ∪ 4;∞) Vzhledem k substituci vyhovuje pouze y≥4; 𝑥 ≥4; x≥16 𝑲= 𝟏𝟔;∞) Iracionální nerovnice řešené substitucí – 1. př.
Iracionální nerovnice řešené substitucí – 2. příklad 𝒙 −𝟑 𝒙−𝟐 >𝟎 Subst.: 𝑥 =y 𝑦−3 𝑦 2 −2 >0 𝑦= 𝑥 ∈(− 2 ; 2 )∪(3;∞)∧x≥0 𝑲= 𝟎 ;𝟐)∪(𝟗;∞) Iracionální nerovnice řešené substitucí – 2. příklad
Iracionální nerovnice řešené substitucí – 3. příklad 𝒙 −𝟑≤ 𝟐 𝒙 −𝟐 Subst.: 𝑥 =𝑦 𝑦−3≤ 2 𝑦−2 𝑦 2 −5𝑦+6−2 𝑦−2 ≤0 𝑦 2 −5𝑦+4 𝑦−2 ≤0 𝑦∈(−∞; 1 ∪(2; 4 Po návratu k substituci a využití podmínky 𝑥≥0 dostaneme: K= 𝟎;𝟏)∪(𝟒; 𝟏𝟔 Iracionální nerovnice řešené substitucí – 3. příklad